probabilidad matematicas, Apuntes de Matemáticas

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PROBABILIDAD

AAD

Conceptos básicos sobre conjuntos

 Conjunto: es una agrupación de

objetos considerada un objeto en sí.

 Podemos definirlo por extensión, mencionando cada uno de sus elementos, o por comprensión, enunciando las características que los determinan.

Ejm:

A={1,2,3}

B=conjunto de los números pares

 Cardinal de un conjunto: Número de

elementos del conjunto.

 Subconjunto: parte de un conjunto o

conjunto formado por cualquier

número de elementos de otro dado.

Obs.- Todo conjunto tiene como subconjunto al

conjunto vacío, Ø, y a él mismo.

 Relación de inclusión: Si A es un

subconjunto de B, entonces A está

contenido en B y se denota así: A ⊆B

 Propiedades de la relación de

inclusión:

 1. Si A⊆B, y B⊆C entonces A⊆C

 2. Si A⊆B y B⊆A entonces A=B

 3. Para cualquier conjunto A

A, Ø ⊆A

 Diferencia de conjuntos: El conjunto

de elementos que están en un

conjunto y no en el otro es

 el conjunto diferencia: A-B

 Conjunto complementario: Dado un

conjunto B que contiene a otro A

definimos el, complementario de A

en B como “B-A”. Lo denotamos así:

A =A ={x∈B tales que x∉A}

 Unión de conjuntos: Sean A y B dos

conjuntos. El conjunto obtenido con

todos los elementos de A y todos los

elementos de B es la unión de A y B.

A U B={x : x∈A ó x∈B }

c _

 Intersección de conjuntos: Sean A y B

dos conjuntos. El conjunto obtenido

con todos los elementos que

pertenecen a A y que pertenecen a B

es el conjunto intersección de A y B y

se denota A ∩ B

 Propiedades de la unión e

intersección:

TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

• Estudio de los experimentos aleatorios

EXPERIMENTO determinista

Experimento aleatorio: No se puede predecir el resultado.

Experimento determinista: Si se realiza bajo las mismas condiciones, se obtienen los mismos resultados.

aleatorio

ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS

Definición: Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y se denota por Ω, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento.

Ejemplo 1: Exp. aleatorio: “Lanzar un dado”

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

El espacio muestral puede ser finito o infinito.

ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS

Definición: Se llama suceso a cada subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo 2: Exp. aleatorio: “Lanzar una moneda tres veces”

A = “la primera vez sale cara” = {ccc, ccx, cxc, cxx} B = “la tercera vez sale cruz” = {ccx, cxx, xcx, xxx} C = “las tres veces sale lo mismo” = {ccc, xxx}

ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS

• SUCESO IMPOSIBLE (no se verifica nunca):
• SUCESO SEGURO (se verifica siempre): Ω
• SUCESO COMPUESTO: formado por más de un elemento del espacio muestral.
• SUCESO ELEMENTAL: formado por un solo elemento del espacio muestral.



ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS

• Se dice que A y B son sucesos incompatibles o mutuamente

excluyentes si  Se dirán compatibles si ocurre

lo contrario.

A  B  .

Definición: Sean A y B dos sucesos

ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS

Ejemplo 2: Exp. aleatorio: “Lanzar una moneda tres veces”

A = “la primera vez sale cara” = {ccc, ccx, cxc, cxx} B = “la tercera vez sale cruz” = {ccx, cxx, xcx, xxx} C = “las tres veces sale lo mismo” = {ccc, xxx}

= {ccc, ccx, cxc, cxx, xcx, xxx}

= {ccx, cxx}

= {xcx, xxx}

A  B

A  B

A  (^)  B  C 

Recordemos que Ω = {ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx}

Experimentos compuestos  Los experimentos formados por varios experimentos simples se llaman experimentos compuestos.  Dados dos experimentos simples de espacios muestrales Ω y Ω', el espacio muestral del experimento compuesto obtenido por la realización simultánea de ambos es el producto cartesiano Ω x Ω'.

• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar un dado”: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda”: Ω' = {C, X}
• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda y un dado a la vez”: Ω " = {(C,1), (X,1), (C,2), (X,2), (C,3), (X,3), (C,4), (X,4), (C,5), (X,5), (C,6), (X,6)}

C

X

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

Podemos obtener este espacio muestral mediante un diagrama en árbol.

(C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (X,1) (X,2) (X,3) (X,4) (X,5) (X,6)

PROBABLIDAD

Medida de la ocurrencia de un suceso de un experimento aleatorio.

La idea de probabilidad surge por la

necesidad de medir la incertidumbre o

verosimilitud que posee cada suceso asociado

a un experimento aleatorio.