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Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles.
Ejemplos.
- Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz.
- Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles uno cualquiera de los 30. La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la medición de la incertidumbre ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente. Esto nos lleva a la probabilidad.
Conceptos básicos:
Supongamos que se realiza un experimento aleatorio:
- Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles.
- Se llama Espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles.
- Se llama suceso al compuesto por uno o más sucesos elementales.
- Se llama suceso seguro , que notaremos con E, al formado por todos los resultados posibles.
• Se llama suceso imposible , que notaremos con ᶲ , al que no contiene
ninguno de los resultados posibles.
Ejemplo:
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
Operaciones con sucesos:
- Unión de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, AUB, constituido por los sucesos elementales de A y los de B. Se realiza cuando tiene lugar cualquiera los sucesos elementales que lo forma.
- Intersección de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, , constituido por los sucesos elementales que están a la vez en A y en B. Se realiza, cuando se realiza A y B.
- Contrario de un suceso A: Está formado por todos los suceso elementales de E que no están en A. Se nota con
- Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si su intersección es el suceso imposible.
Concepto de probabilidad
Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, la probabilidad es una aplicación que asocia a cada suceso un número real.
Es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas:
- Para cualquier suceso A, su probabilidad P(A) es mayor o igual a cero.
- La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: P(E)=
- Dados dos sucesos incompatibles A y B, se verifica que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:
Concepto clásico o probabilidad de Laplace.
Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos. Se asume que todos los resultados posibles, ligados al experimento aleatorio, tienen la misma posibilidad de ocurrir. Dado un suceso A se determina su probabilidad como el cociente:
Concepto frecuencialista de probabilidad
Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos. Se asume que el experimento aleatorio puede realizarse un número grande de veces. Dado un suceso A, se determina su probabilidad como la frecuencia relativa con que aparece o tiene lugar.
Probabilidad condicionada.
Dado un suceso B con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra A, supuesto que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicionada de A dado B. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado:
De modo similar se define la probabilidad condicionada del suceso B dado A, supuesto que A no es el suceso imposible:
Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del suceso intersección mediante:
Sucesos independientes:
Dos sucesos A y B se dice que son independientes si la realización de uno de ellos no afecta a la realización del otro. Es decir: P(A/B)=P(A) ó P(B/A)=P(B) O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección, es igual al producto de las probabilidades:
Ejemplo
En una Facultad el 25% de los alumnos suspendió matemáticas, el 15% química
y el 10% las dos. Se selecciona un estudiante al azar.
a) Si suspendió química, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera matemáticas?
b) Si suspendió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera química?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda química?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda ninguna de las dos?
f) ¿Son independientes los dos sucesos?
a)
b)
Ejemplo
La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores de una empresa, según el sector de producción en que trabaja y número de bajas registradas durante un año.
Seleccionado un trabajador al azar:
a) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días. b) Probabilidad de que pertenezca al sector B. c) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector B. d) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días ó que pertenezca al sector B. e) Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días? f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer al sector B? g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días. h) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B.
Ejemplo T ema 3: Probabilidad
Teorema de Bayes
Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica:
1) Su unión es el suceso seguro, es decir:
- Para cualesquiera sucesos Ai y Aj, su intersección es el suceso imposible, es decir:
En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica:
Ejemplo 1:
Tres oficinas O1, O2 y O3, de una Compañía Aseguradora, tienen respectivamente un total de asegurados igual a 1200, 2300 y 750 respectivamente. Los porcentajes de reclamaciones, por parte de sus clientes son respectivamente del 2%, 1,8% y 3%.
- Si se selecciona al azar un asegurado, ¿cuál es la probabilidad de que reclame?
- Dada una reclamación ¿qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O2?
