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“ En matemáticas, la libertad consiste en la capacidad de cambiar de punto de vista sin cambiar de objeto ”. H. Poincaré
Repasamos lo que sabemos
Se lanza dos dados con caras numeradas de 1 a 6. Determina el espacio
muestral y el suceso A: La suma de los números de las caras superiores
es un número primo. Luego, define un suceso seguro y uno imposible.
SITUACIÓN SIGNIFICATIVA: RETO PROBABILÍSTICO: LA RULETA
La profesora Tania reta nuevamente a sus estudiantes, mostrándoles una ruleta con los números del 1 al 10. Enrique uno de los estudiantes se emociona al ver la ruleta y le pide a su profesora girar la ruleta. Entonces Enrique al girar la ruleta espera que salga un número múltiplo de 3, luego la profesora pregunta: ¿Qué resultados puede obtener Enrique en la ruleta? ¿Cuáles son los posibles resultados que espera Enrique? ¿Cuál es el cardinal del espacio muestral? ¿Cuál es el cardinal de ese suceso? ¿Cuál es el número primo mayor que 7? ¿Cuál es el cardinal de este suceso? En la vida cotidiana te encontrarás frente a muchos sucesos aleatorios como, por ejemplo, los posibles resultados al lanzar dados o al extraer una bolilla de una urna de bingo. Estos sucesos pueden ser estudiados con el fin de predecir un futuro resultado. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. ESPACIO MUESTRAL ( 𝜴) Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa por “ 𝜴 " (letra griega omega) 𝐨 "𝐒 " Ejemplo: Al lanzar un dado los resultados posibles son: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Entonces, se obtiene su espacio muestral: 𝜴 = { 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔} ¿Cuál será el espacio muestral en el experimento de arrojar una moneda y anotar la figura que sale? Al arrojar una moneda los resultados posibles son: …….…………,..................Entonces, se obtiene su espacio muestral: Ω = {………………….,........................} SUCESO O EVENTO Es un hecho que puede ocurrir o no, y se le denota por letras mayúsculas. Un evento es la acción a la cual se le quiere estudiar su grado de ocurrencia (probabilidad) Si A representa un suceso o evento, entonces A es un subconjunto del espacio muestral: es decir: A ⊂ Ω.
Para consolidar el aprendizaje haremos un resumen, tal como se muestra en el cuadro.
CLASES DE EVENTOS O SUCESOS
Área: Matemática Quinto^ Grado
Actividad N° 15: “ La probabilidad: ¿destino o
casualidad? ”
Institución Educativa
NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO
Promotor: Obispado de Chiclayo
Iniciam
Observemos juntas el siguiente. video sobre probabilidad:
https://www.youtube.com/watch?v=xYco67hkECs&t=402s
R E S U E L V E P R O B L E M A S D E G E S T I Ó N D E D A T O S E I N C E R T I D U M B R E
Experimento aleatorio Espacio muestral Suceso o evento 𝐸 1 : Lanzar una moneda y observar la figura que sale.
Ω 1 = {C, S}
2 resultados posibles 𝐴 1 : Sale cara. 𝐴 2 : Sale sello. 𝐸 2 : Lanzar un dado y observar el número que sale.
6 resultados posibles 𝐵 1 : Sale un número par. 𝐵 2 : Sale un número menor que 3. 𝐸 3 : Escoger una carta de una baraja de naipes.
Ω 3 = {A; 2; 3; …; J; Q; K}
52 resultados posibles 𝐶 1 : Sale el as de espada. 𝐶 2 : Sale una carta roja.
CONOCEMOS EL ESPACIO MUESTRAL Y LOS
SUCESOS O EVENTOS
Situación significativa
Adela lanza un dado y una moneda a la vez. Determina cuáles y cuántos son los posibles resultados del experimento.
Sabemos que, al lanzar un dado, podemos obtener los números 1; 2; 3; 4; 5 o 6, y al lanzar una moneda, podemos
obtener cara (c) o sello (s).
Determinamos el conjunto de los posibles resultados ( Ω):
Por comprensión: Ω= {x/x es un número del 1 al 6 y una cara o un sello}
Representamos los posibles resultados:
c s c s c s c s c s c s
1c 1s 2c 2s 3c 3s 4c 4s 5c 5s 6c 6s
Por extensión: {1c, 1s, 2c, 2s, 3c, 3s, 4c, 4s, 5c, 5s, 6c, 6s}, Entonces n (Ω) = 12
Los posibles resultados del experimento son 12
Dado
Moneda
Resultado
TEN EN CUENTA
El diagrama del árbol es muy útil para hallar todos los
resultados posibles de un experimento aleatorio, así como
también una tabla de doble entrada.
Espacio muestral
Se lanzan dos dados sobre una mesa, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 9?
Solución:
Al lanzar dos dados se obtiene el siguiente espacio muestral: Ω = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3); (4;4), (4;5) ;(4;6), (5;1), (5;2), (5;3),(5,4), (5;5),(5;6), (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}
Luego el número de casos posibles o totales es: n (Ω) = 36 elementos
El número de casos favorables del evento o suceso es los pares ordenados que suman 9:
A= {(3;6); (4;5), (5;4), (6;3)}
Luego el cardinal o número de casos posibles es: n(A) = 4 elementos
Aplicamos La Regla de La Place para calcular la probabilidad del suceso:
𝐍𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐍 𝐦𝐞𝐫𝐨 ú 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
𝐏(𝐀)^ =
n(A)
𝒏 ( Ω) 36 9
Respuesta: La probabilidad de obtener 9 al lanzar dos dados sobre una mesa es 11%
ESCALA DE PROBABILIDAD
La escala de probabilidades es una representación de una recta que permite asignar valores numéricos a los sucesos y los
relaciona con el lenguaje natural.
Entonces, considerando el ejemplo 1, significa que la probabilidad de obtener una suma igual a 9, es poco probable por que 𝐏(𝐀)
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de Ω es 1: P(Ω) = 1
La probabilidad de un suceso varía desde 0 (suceso imposible) hasta 1 (suceso seguro)
𝟎 ≤ 𝐏(𝐀)^ ≤ 𝟏
EJEMPLO 1
Se lanza un dado una sola vez. A partir de ello, determina la probabilidad de cada suceso y designa según la escala de
probabilidad el resultado seguro, imposible o probable.
Suceso A: Que salga un número par
Suceso B: Que salga un número compuesto mayor que 4.
Suceso C: Que salga un número primo mayor que 5.
Suceso B: Que salga un número menor que 10.
La Probabilidad de un suceso puede expresarse como
fracción, como decimal o como porcentaje.
Seguro
Muy
probable
Probable
Poco
probable
Imposible
I)Escribe el espacio muestral para este experimento: Se va a seleccionar un comité de 3 miembros a partir de un grupo de 5 personas. II)Dos objectos A y B se distribuyen al azar en tres celdas 1, 2 y 3, Defina un espacio muestral adecuado para este experimento. III)En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligieron 3 personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números de las insignias. Halla el espacio muestral donde el número menor de las insignias sea 5 y el espacio muestral de que el número mayor de las insignias sea 5,
1 )En un concurso participan 8 alumnos y 9 alumnas; si deben de haber 2 ganadores.
Halla la probabilidad de que los ganadores sea una pareja mixta. 2)En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado; una persona toma al azar 3 focos, halla la probabilidad de que por lo menos uno este en buen estén en buen estado.
- 10 libros de los cuales 6 son de aritmética y 4 de algebra se colocan al azar en un estante. Calcula la probabilidad de que los libros de cada materia estén juntos. 4)Una persona lanza una moneda 3 veces. Halla la probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo menos una cara 5)Una compañía dedicada al transporte público explota 3 líneas de una ciudad de forma que el 20 % de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 50% cubre el servicio de la tercera línea, Se sabe que la probabilidad de que diariamente un autobús se averió es del 3%; 4% y 5% respectivamente por cada línea. Halla la probabilidad de que un día un autobús sufra una averia
