¡Descarga Probabilidad Condicionada: Concepto, Definición y Aplicaciones y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Probabilidad condicionada
Consideremos el espacio probabil´ıstico (Ω, A, P ) que sirve de modelo a cierto ex- perimento aleatorio, y supongamos que se sabe que en una realizaci´on experimental ha ocurrido un suceso B ∈ A. La informaci´on de esa ocurrencia puede modificar la proba- bilidad de que ocurran otros sucesos asociados al experimento (en la misma realizaci´on o en otras).
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Por probabilidad de un suceso A ∈ A condicionada por otro suceso B ∈ A, enten- deremos la probabilidad de que ocurra A supuesto que ha ocurrido B. Para establecer una definici´on formal del concepto de probabilidad condicionada, podr´ıamos analizar la forma en que se cuantificar´ıa dicha probabilidad si se consideraran tanto la definici´on cl´asica como la definici´on frecuentista de la probabilidad. Mediante argumentos similares a los de las variables estad´ısticas bidimensionales en Estad´ıstica Descriptiva, llegar´ıamos a la conclusi´on de que la probabilidad de A condicionada por B vendr´ıa dada por el cociente entre las probabilidades de A ∩ B y la de B.
La formalizaci´on de esa relaci´on conduce a la definici´on formal de la probabilidad del suceso A condicionada por el suceso B que, supuesto que P (B) > 0, viene dada por:
PB (A) = P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
La denominaci´on de probabilidad para el t´ermino precedente es correcta, en el sen- tido de que, fijado B ∈ A con P (B) > 0, PB es una aplicaci´on de A en R que cumple los tres axiomas de probabilidad sobre A, es decir:
Ax.1) PB (A) ≥ 0, para todo A ∈ A, ya que:
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
[por ser P probabilidad]
Ax.2) PB (Ω) = 1, ya que:
PB (Ω) =
P (Ω ∩ B)
P (B)
P (B)
P (B)
Ax.3) Si A 1 , A 2 ,... , An,... ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅ para i 6 = j, entonces:
PB (A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An ∪.. .) = PB (A 1 ) + PB (A 2 ) +... + PB (An) +... ,
ya que
PB (A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An ∪.. .) = P ((A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An ∪.. .) ∩ B) P (B)
P ((A 1 ∩ B) ∪ (A 2 ∩ B) ∪... ∪ (An ∩ B) ∪.. .)) P (B)
= [por ser P probabilidad] P (A 1 ∩ B) + P (A 2 ∩ B) +... + P (An ∩ B) +... P (B)
=
P (A 1 ∩ B)
P (B)
P (A 2 ∩ B)
P (B)
P (An ∩ B) P (B)
= PB (A 1 ) + PB (A 2 ) +... + PB (An) +....
De este modo, queda totalmente determinado un nuevo espacio probabil´ıstico: el es- pacio (Ω, A, PB ) que de alguna forma “sustituye” al original tras la informaci´on recibida sobre la ocurrencia del suceso B. En lo que sigue, emplearemos preferentemente la notaci´on P (A|B) en lugar de PB (A).
SUCESOS INDEPENDIENTES
A veces el conocimiento de la ocurrencia de un suceso B en cierta realizaci´on del experimento favorece o desfavorece la ocurrencia de otro suceso A en esa u otra reali- zaci´on, pero en ocasiones ese conocimiento no supone modificaci´on en la probabilidad que previamente ten´ıa asignada A, esto es, se cumple que:
P (A|B) = P (A).
Diremos en tal caso que A es (probabil´ısticamente o estad´ısticamente) independiente de B. Si suponemos que P (A) > 0 y P (B) > 0, la definici´on de las probabilidades condicionadas nos permite garantizar que:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
= P (A)
⇔ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
⇔ P (B|A) =
P (A ∩ B)
P (A)
= P (B),
de manera que, si A es independiente de B, tambi´en B es independiente de A.
En consecuencia, en lugar de hablar de un suceso independiente de otro, como una condici´on ‘dirigida’, puede definirse la independencia de dos sucesos como el cumpli- miento de la igualdad central anterior. De este modo, si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico y A, B ∈ A, se dice que A y B son sucesos (probabil´ısticamente o estad´ısticamente) independientes si y s´olo si: P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
El concepto de independencia entre dos sucesos puede generalizarse a m´as de dos sucesos, lo que requiere a˜nadir m´as condiciones. Diremos que los sucesos A 1 , A 2 ,... , An son independientes en su conjunto cuando cada sub-colecci´on de k sucesos dis- tintos (con k ∈ { 2 ,... , n}) verifica la regla del producto siguiente:
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai) · P (Aj ) para i, j ∈ { 1 , 2 ,... , n} con i 6 = j,
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) = P (Ai) · P (Aj ) · P (Ak) para i, j, k ∈ { 1 , 2 ,... , n} con i 6 = j, k, j 6 = k,
................................................ P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ An) = P (A 1 ) · P (A 2 ) ·... · P (An). Evidentemente, cualquier colecci´on de sucesos independientes en su conjunto son tambi´en independientes dos a dos (o mutuamente independientes), si bien el rec´ıproco no es cierto, como se ve en el siguiente: Contraejemplo: Consideremos el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento consecutivo de dos monedas no cargadas (es decir, salir cara y salir cruz son igualmente probables en cada moneda). Se definen los sucesos asociados al experimento: A = ‘sacar cara en la segunda moneda’, B = ‘sacar cara en la primera moneda’, C = ‘sacar el mismo lado en las dos monedas’. El espacio muestral para este experimento es
Ω = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)},
donde (· 1 , · 2 ) denota que · 1 es el resultado de la primera moneda y · 2 es el resultado de la segunda moneda. Las probabilidades de cada uno de los elementos del espacio muestral son las mismas, ya que al ser no cargadas las monedas los V R 2 , 2 = 4 posibles resultados del lanzamiento son igualmente probables, es decir:
P (cara, cara) = P (cara, cruz) = P (cruz, cara) = P (cruz, cruz) =
Por otro lado, los sucesos A, B y C pueden identificarse con los conjuntos de resul- tados siguientes: A = {(cara, cara), (cruz, cara)}, B = {(cara, cara), (cara, cruz)}, C = {(cara, cara), (cruz, cruz)}. Sus probabilidades vendr´an dadas, por tanto, por:
P (A) = P (cara, cara) + P (cruz, cara) = 0.25 + 0.25 = 0. 5 ,
P (B) = P (cara, cara) + P (cara, cruz) = 0.25 + 0.25 = 0. 5 ,
P (C) = P (cara, cara) + P (cruz, cruz) = 0.25 + 0.25 = 0. 5. Los sucesos, A, B y C son dos a dos independientes, ya que:
P (A ∩ B) = P (cara, cara) = 0.25 = 0. 5 · 0 .5 = P (A) · P (B) ⇒ A y B independientes,
P (A ∩ C) = P (cara, cara) = 0.25 = 0. 5 · 0 .5 = P (A) · P (C) ⇒ A y C independientes,
P (B ∩ C) = P (cara, cara) = 0.25 = 0. 5 · 0 .5 = P (B) · P (C) ⇒ B y C independientes.
Sin embargo, A, B y C no son independientes en su conjunto, ya que
P (A ∩ B ∩ C) = P (cara, cara) = 0. 25 6 = 0.125 = 0. 5 · 0. 5 · 0 .5 = P (A) · P (B) · P (C).
RESULTADOS RELATIVOS A LA PROBABILIDAD CONDICIONADA
Los siguientes teoremas est´an basados en el empleo de la probabilidad condicionada. La f´ormula de la probabilidad compuesta (denominada tambi´en en algunos textos como regla de la cadena) establece un mecanismo para hallar la probabilidad de ocurren- cia de n sucesos cuando ´estos ocurren o pueden entenderse de forma secuencial (a menudo, siguiendo un orden cronol´ogico).
F´ormula de la probabilidad compuesta. Sea (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico y A 1 , A 2 ,... , An ∈ A tales que P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ An− 1 ) > 0. Se cumple entonces que:
P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ An− 1 ∩ An)
= P (A 1 ) · P (A 2 |A 1 ) · P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) ·... · P (An|A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ An− 1 ).
Demostraci´on: En efecto, vamos a probar el resultado recurriendo al principio de in- ducci´on completa. Para n = 2, la f´ormula de la probabilidad compuesta equivale a
P (A 1 ∩ A 2 ) = P (A 1 ) · P (A 2 |A 1 ),
que equivale a la igualdad P (A 2 |A 1 ) = P (A 1 ∩ A 2 )/P (A 1 ) que es trivialmente cierta por la definici´on de probabilidad condicionada. Aplicando el razonamiento de inducci´on, supongamos que la f´ormula es v´alida para n = k − 1 (es decir, P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ Ak− 1 ) = P (A 1 ) · P (A 2 |A 1 ) · P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) ·... · P (Ak− 1 |A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ Ak− 2 )),
y vamos a probar que tambi´en lo es para n = k. Como
P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ Ak− 1 ∩ Ak) = P
(A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ Ak− 1 ) ∩ Ak
F´ormula de la probabilidad total. Si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico, los sucesos A 1 , A 2 ,... , An ∈ A determinan un sistema completo de sucesos y P (Ai) > 0 para i ∈ { 1 , 2 ,... , n}, entonces cualquiera que sea B ∈ A se cumple que:
P (B) =
∑^ n
i=
P (B|Ai) · P (Ai).
Demostraci´on: En efecto:
P (B) = P (B ∩ Ω) = P
B ∩ (A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An)
= P
(B ∩ A 1 ) ∪ (B ∩ A 2 ) ∪... ∪ (B ∩ An)
Como {A 1 , A 2 ,... , An} es un sistema completo de sucesos, Ai ∩ Aj = ∅ para i 6 = j, de modo que (B ∩ Ai) ∩ (B ∩ Aj ) = ∅ para i 6 = j. Por lo tanto, de acuerdo con el Axioma 3 de la probabilidad, se tiene que:
P (B) = P (B ∩ A 1 ) + P (B ∩ A 2 ) +... + P (B ∩ An).
La aplicaci´on de la F´ormula de la probabilidad compuesta para cada uno de los suman- dos anteriores implica que:
P (B) = P (B|A 1 ) · P (A 1 ) + P (B|A 2 ) · P (A 2 ) +... + P (B|An) · P (An). (^) §
En el ejemplo de la urna con 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 4 bolas blancas, si se considera el experimento aleatorio consistente en extraer al azar, de una en una y sin reposici´on, dos bolas de esa urna, la probabilidad de que la segunda bola extra´ıda sea blanca puede calcularse teniendo en cuenta que la composici´on de la urna en la segunda extracci´on depende del resultado de la primera extracci´on. As´ı, si denotamos por A 1 = ‘la primera bola extra´ıda es roja’, A 2 = ‘la primera bola extra´ıda es verde’, A 3 = ‘la primera bola extra´ıda es blanca’, es evidente que {A 1 , A 2 , A 3 } es un sistema completo de sucesos, y que
P (A 1 ) =
, P (A 2 ) =
, P (A 3 ) =
Para el suceso B = ‘la segunda bola extra´ıda es blanca’, se determinan f´acilmente las probabilidades siguientes:
P (B|A 1 ) =
, P (B|A 2 ) =
, P (B|A 3 ) =
de donde aplicando la F´ormula de la probabilidad total:
P (B) =
∑^3
i=
P (B|Ai) · P (Ai) =
Si se dispone de la informaci´on de las probabilidades de cierto suceso B condi- cionadas por los sucesos Ai de un sistema completo, y de las probabilidades de los Ai, es posible determinar las probabilidades de los sucesos Ai condicionadas por B seg´un la:
F´ormula de Bayes. Si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico, los sucesos A 1 , A 2 ,
... , An ∈ A determinan un sistema completo de sucesos, P (Ai) > 0 para todo i ∈ { 1 , 2 ,... , n}, y dado B ∈ A se satisface para alg´un i ∈ { 1 , 2 ,... , n} que P (B|Ai) > 0 , entonces se cumple que cualquiera que sea l ∈ { 1 , 2 ,... , n}:
P (Al|B) =
P (B|Al) · P (Al) ∑^ n
i=
P (B|Ai) · P (Ai)
Demostraci´on: En efecto, como P (Al|B) = P (Al ∩ B) P (B)
la aplicaci´on de la F´ormula de la probabilidad compuesta para el numerador y de la F´ormula de la probabilidad total para el denominador garantiza que:
P (Al|B) = P (B|Al) · P (Al) ∑^ n
i=
P (B|Ai) · P (Ai)
En el ejemplo de la urna con 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 4 bolas blancas, si se considera de nuevo el experimento aleatorio consistente en extraer al azar, de una en una y sin reposici´on, dos bolas de esa urna, la probabilidad de que si la segunda bola extra´ıda ha sido blanca el color de la bola en la primera extracci´on fuera verde ser´ıa (seg´un las notaciones precedentes) P (A 2 |B), que seg´un la F´ormula de Bayes vendr´ıa dada por:
P (A 2 |B) =
P (B|A 2 ) · P (A 2 )
∑^3
i=
P (B|Ai) · P (Ai)
Observaci´on: La f´ormula de Bayes permite ‘revisar’, ‘corregir’ o ‘actualizar’ las pro- babilidades iniciales asignadas a los sucesos Ai, P (Ai) (a menudo denominadas pro- babilidades a priori) a la luz del conocimiento de la ocurrencia de un suceso B con probabilidad positiva, para obtener tras la correcci´on las P (Ai|B) (habitualmente cono- cidas como probabilidades a posteriori) empleando para esa revisi´on las probabilidades P (B|Ai) (que suelen recibir el nombre de verosimilitudes).
