Universidad de Puerto Rico en Bayamón
Departamento de Matemáticas
MÓDULO 8:
PROBABILIDAD
(4to – 6to)
Preparado por:
Prof. Adalberto Agosto
Catedrático Auxiliar, Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Bayamón
julio 2010
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Ejemplos de probabilidades con dados y cartas y diagramas de venn
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 45
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Universidad de Puerto Rico en Bayamón Departamento de Matemáticas
MÓDULO 8:
PROBABILIDAD
(4to – 6to)
Preparado por: Prof. Adalberto Agosto Catedrático Auxiliar, Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Bayamón julio 2010
PRE-PRUEBA
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios y escoja la alternativa correcta.
- La probabilidad que se basa en la frecuencia relativa de un evento se conoce como probabilidad a. empírica b. teórica c. subjetiva d. clásica
- El conjunto de todos los eventos simples posibles en un experimento aleatorio es conocido como a. evento compuesto b. elementos c. población d. espacio muestral
- Al lanzar al azar un dado balanceado de seis caras, la probabilidad de obtener un número primo es a. 1 / (^6) b. 1 / (^3) c. 1 / (^2) d. 2 / (^3)
- La siguiente ruleta circular está dividida en 6 sectores iguales. Si se gira la ruleta aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja caiga en un sector marcado sólo con líneas verticales? (Suponga que la aguja no cae en las divisiones.) a. 1 / (^6) b. 1 / (^3) c. 2 / (^5) d. 2 / (^3)
- La siguiente ruleta se hace girar aleatoriamente en 10 ocasiones y los resultados obtenidos se marcan en la gráfica a su lado.
Utilizando la probabilidad empírica, si hacemos rotar aleatoriamente una vez más la ruleta, ¿cuál es la probabilidad de obtener G?
a. 2% b. 10% c. 20% d. 25%
Utilice la siguiente información para contestar las preguntas 9 - 10.
Un líder comunitario desea conocer la opinión de la gente de su comunidad sobre cierta medida legislativa que se discute en el Senado. La siguiente tabla ilustra los resultados de los 300 miembros de la comunidad.
Si seleccionamos, al azar, a un individuo de la muestra:
- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre y que esté a favor de la medida legislativa? a. 0. b. 0. c. 0. d. 0.
A favor En contra Neutral Totales Hombres 45 15 10 70 Mujeres 90 110 30 230 Totales 135 125 40 300
10. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada no esté a favor?
- a. 0.
- b. 0.
- c. 0.
- d. 0.
JUSTIFICACIÓN
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles. La teoría de la probabilidad tiene sus comienzos con los juegos de azar, pero hoy en día se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para llegar a conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales.
Este módulo ha sido diseñado con el propósito de desarrollar en usted los conocimientos básicos acerca de conceptos de probabilidad, así como las destrezas relacionadas al uso de sus reglas para calcular la probabilidad de que ocurran eventos. Además, discutimos el uso de experimentos aleatorios para hacer predicciones de eventos futuros.
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Un experimento es una situación que da lugar a uno o varios resultados identificables. La probabilidad pertenece a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios , o sea, regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no se tiene la certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado y la extracción de una carta de un paquete de cartas. De aquí en adelante, cada vez que decimos experimento nos referimos a un experimento aleatorio.
Conceptos Básicos
A continuación les presentamos algunas definiciones de conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Evento - Llamamos evento a cualquier conjunto de uno o más resultados u observaciones de un experimento.
Ejemplo 1: Obtener un 5 al realizar el experimento de lanzar al azar un dado de seis caras balanceado (todas las caras del dado son igualmente probables).
De aquí en adelante, de no especificar otro tipo de dado nos referimos a un dado balanceado.
Para el siguiente ejemplo entendamos que tradicionalmente decimos cara cuando obtenemos el lado de la moneda americana que contiene la imagen de un presidente y al otro lado lo llamamos cruz.
Ejemplo 6: Halle el espacio muestral de lanzar al azar dos monedas americanas.
Respuesta: Para hallar el espacio muestral de este experimento utilizaremos un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser
llevado a cabo. En este caso utilizaremos c para representar cara y x
para representar cruz. Veamos que la primera moneda puede salir cara o cruz y después lanzamos la segunda moneda la cual también puede salir cara o cruz.
Por lo tanto, S = {(cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara), (cruz-cruz)}.
Ejemplo 7: Si seleccionamos una bola de un primer envase A que tiene tres bolas enumeradas de 1 al 3 y luego seleccionamos una bola de un segundo envase B que tiene tres bolas enumeradas de 4 al 6, halle el espacio muestral de los números obtenidos.
Primera Moneda
Segunda Moneda Cara - Cara
Cara - Cruz Cruz - Cara
Cruz - Cruz
Respuesta: Para hallar el espacio muestral podemos utilizar el siguiente diagrama de árbol:
Por lo tanto,
S = {^ (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) }^.
REPUESTAS A LOS EJERCICIOS 1
- a. S = {(1-cara), (2-cara), (3-cara), (4-cara), (5-cara), (6-cara), (1-cruz), (2-cruz), (3-cruz), (4-cruz), (5-cruz), (6-cruz)} b. i. simple ii. no es simple iii. no es simple
- a. S = {FFF, FFM, FMF, FMM, MFF, MFM, MMF, MMM} b. i. no es simple ii. simple iii. no es simple iv. no es simple
Notación de Probabilidad
Antes de seguir profundizando en el campo de la teoría de la probabilidad es importante presentarles algunas notaciones básicas de la misma. Utilizaremos la letra P para denotar una probabilidad. Es común utilizar letras mayúsculas como A , B y C para denotar eventos específicos de un experimento. Por otro lado, la probabilidad de que ocurra el evento A lo denotamos como P ( A ).
Definiciones de Probabilidad
La probabilidad de que ocurra un evento se mide por un número entre cero y uno, inclusive. Si un evento nunca ocurre, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre, su probabilidad sería igual a uno. Así, las
probabilidades suelen venir expresadas como decimales, fracciones o porcentajes. En el caso de utilizar fracciones para expresar probabilidades, las mismas pueden ser simplificadas pero no es necesario hacerlo.
Existen diferentes formas para definir la probabilidad de un evento basadas en formas distintas de calcular o estimar la probabilidad. A continuación discutiremos tres diferentes enfoques. Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema.
1. Definición Clásica de Laplace, “A Priori” o Teórica
El enfoque clásico o " a priori " para definir la probabilidad es proveniente de los juegos de azar. Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones: i. El espacio muestral ( S ) del experimento es finito (su número total de elementos es un número natural n = 1, 2, 3, …).
ii. Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables (tienen la misma posibilidad de ocurrir).
Bajo estas condiciones, suponga que realizamos un experimento. El número total de elementos del espacio muestral del experimento es denotado como n ( S ). Dicho de otro modo, n ( S ) representa el número total de eventos simples distintos posibles al realizar un experimento. Además, si A es un evento de este experimento, el número total de elementos del espacio muestral contenidos en A es denotado como n ( A ). Es decir, n ( A ) representa el número total de formas distintas en que A puede ocurrir. Entonces, la probabilidad de que A ocurra la definimos como
( ) (^ )^ número de formas distintas en que^ puede ocurrir
( ) número total de eventos simples distintos posibles
P A n A^ A
n S
b. Suponga que R es el evento de obtener una carta que sea roja,
entonces
P R = 52 = 2 porque el evento de "extraer una carta roja" consta
de 26 de los 52 resultados igualmente probables.
c. Suponga que D es el evento de obtener una carta que sea de
diamante, entonces^ P D (^^ )^ =^1352 =^14 porque el evento de "extraer una carta de diamante" consta de 13 de los 52 resultados igualmente probables.
Ejemplo 10: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, haya dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?
Solución: Usando " a " para niña y " o " para niño, el espacio muestral es: S = { aaa , aao , aoa , aoo , oaa , oao , ooa , ooo } por lo que n ( S ) = 8. Definimos el evento A como que haya dos niñas y un niño, entonces A = { aao , aoa , oaa } y
n ( A ) = 3. Por lo tanto,
( ) (^ )^3
P A n A
= n S =
P A ( ) =0.
P A ( ) = 37.5%.
Bajo las mismas premisas de este ejemplo, podemos concluir que el 37.5% de las familias que tienen tres hijos, de éstos dos son niñas y uno es niño.
Ejemplo 11: La siguiente ruleta circular está dividida en 6 sectores iguales. Si se gira la ruleta aleatoriamente, (Suponga que la aguja no cae en las divisiones.)
a. ¿cuál es la probabilidad de que la aguja caiga en un sector marcado con puntos? b. ¿cuál evento predecirías?
Solución:
a. Suponga que A es el evento de que la aguja caiga en un sector
marcado con puntos. Notemos que S = {^ , , }^ , con los 6
sectores igualmente probables, de los cuales sólo 1 es marcado con puntos.
Por lo tanto, n A (^ )^^ =^1 , n S (^^ )^ =^6 y
( ) (^ )^1
P A n A
= n S = .
b. El evento que debemos predecir es que la aguja caiga en un sector marcado sólo con líneas verticales ya que es el evento con mayor número de sectores. Por lo tanto, es el evento más probable.
Ejercicios 2: Conteste
- Si usted es una de 7 personas de las cuales seleccionarán una al azar y todas las personas tienen igual probabilidad de ser seleccionada, ¿cuál es la probabilidad de que usted sea seleccionada?
- En un envase hay 2 canicas rojas, 4 negras y 5 blancas. Si seleccionamos al azar una de estas canicas, ¿cuál es la probabilidad de que la canica sea negra?
REPUESTAS A LOS EJERCICIOS 2
- a. 28 =^14 b.
- a. 365 b. 7
- a. 407 b. 4031
- casada 2. Definición Empírica, “A Posteriori”, Experimental o de Frecuencia Relativa
La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Lamentablemente, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición “a priori” no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Para responder a estas preguntas podemos utilizar el enfoque empírico, en el cual para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. La definición empírica se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de repeticiones del experimento. En otras palabras, la definición empírica se basa
número de veces que ocurrió el evento entre el número total de repeticiones del experimento. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número grande de veces.
Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque realizamos el experimento un gran número de veces y contamos cuántas veces A ocurre. Con base en estos resultados reales, P ( A ) se estima de la siguiente forma:
( ) número de veces que ocurrió
número de veces que se repitió el experimento
P A =^ A
Este enfoque de probabilidad no implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
Ejemplo 12: Queremos seleccionar una moneda al azar de un envase que contiene una cantidad desconocida de monedas de 25¢, 10¢, 5¢ y 1¢. Para determinar la probabilidad de cada evento posible, seleccionamos 50 monedas al azar con reemplazo (la moneda seleccionada vuelve a echarse en el envase para la próxima selección) de este envase. La siguiente tabla resume las frecuencias (veces que ocurren) de cada moneda.
Según los datos recopilados, si seleccionamos una moneda de este envase, a. ¿cuál es la probabilidad de que sea de 25¢? b. ¿cuál es el evento menos probable? c. ¿cuál es el evento que debemos predecir?
Moneda Obtenida Frecuencia 25¢ 15 10¢ 12 5¢ 18 1¢ 5