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MSc. Ing. Franklin Torres E.
- Definición de Probabilidad.
Es el estudio de experimentos aleatorios o elementos libres de determinación. Es decir, si se tiene un suceso denotado por E y existe n casos posibles ó n oportunidades, para todos estos con la misma posibilidad o factibilidad, entonces puede presentarse solo en h de todos los casos.
La probabilidad de aparición de un suceso E está dado por:
E un determinado suceso
P (E) = h / n
Es decir, si lanzamos un dado perfectamente equilibrado, la probabilidad de obtener un número uno ó un as (suceso E), se seguirá el siguiente análisis:
Existen 6 casos posibles para obtener en el suceso E pero solo es posible obtener uno.
Entonces:
E1 Será el suceso de E1 “Obtener el número uno al lanzar el dado” La probabilidad de que ocurra el suceso E1 será:
P (E1) = 1/
De la misma manera se puede determinar la probabilidad de obtener un cinco al lanzar el mismo dado, entonces:
E2 Será el suceso de E2 “Obtener el número 5 al lanzar el dado” La probabilidad de que ocurra el suceso E2 será:
P (E2) = 1/
También a la expresión P (E), que es la probabilidad de ocurrencia del suceso E, se le denota por p y se le llama probabilidad de éxito, y a la probabilidad de fallo que se le denota por q y será la probabilidad de no-ocurrencia del suceso E, es decir:
P (E) = p Probabilidad de éxito. P (no-E) = q Probabilidad de fallo.
Donde q se puede determinar mediante la sig. Relación:
q = (n-h) / n = n / n – h / n = 1 – p
p + q = 1
o que es lo mismo que:
q = 1 – P(E)
De manera que la probabilidad de éxito mas la probabilidad de fallo es igual a uno:
MSc. Ing. Franklin Torres E.
p + q = 1
O lo que es lo mismo:
P (E) + P (no-E) = 1
Utilizando el ejemplo anterior la probabilidad de que no se obtenga el suceso E1 “Obtener el número uno al lanzar el dado” será:
P (no-E1) = 5/
Que también ocurre la probabilidad de que no ocurra el suceso E2 “Obtener el número 5 al lanzar el dado” será:
P (no-E2) = 5/
Se debe tomar en cuenta de que si un suceso no puede ocurrir, es decir, se trata de un suceso imposible, su probabilidad es cero, ó si un suceso tiene que ocurrir necesariamente, es decir, es completamente cierto, su probabilidad es uno.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra, la tendencia a favor de su aparición será:
Tendencia a Favor = p /q
y se lee de p a q, y la tendencia en contra de su aparición será:
Tendencia en Contra = q / p
y se lee de q a p.
La tendencia a favor de un suceso E1 “Obtener el número uno al lanzar el dado” será: p = 1/ q = 5/
Tendencia a favor del suceso E1 = p/q = 1/
Y la tendencia en contra del suceso E1. p = 1/ q = 5/ Tendencia en Contra de E1 = q/p = 5
MSc. Ing. Franklin Torres E.
En general si E1, E2, E3,… En, son n sucesos independientes y sus probabilidades se denotan por p1, p2, p3,… p n. Y son sucesos independientes, entonces, la probabilidad de que ocurran E1 y E2 y E3 y…. En. Es: P1p2p 3*p4… *pn
Ejemplo.-
Sean E1 y E2 respectivamente los sucesos:
E1 “Obtener Número en el Segundo lanzamiento de una moneda”
E2 “Obtener Número en el Tercer lanzamiento de una moneda”
E1E2 P(E1E2)
E1E2, P(E1E2) Son sucesos independientes?
Entonces E1 y E2 son sucesos independientes y suponiendo que la moneda está bien confeccionada, entonces la probabilidad de obtener número en ambos lanzamientos será: E1E
p(E1E2)=p(E1)*p(E2/E1)
E1 y E2 son sucesos independientes
p(E1E2)=p(E1)*p(E2)
p(E1E2)=1/2*1/2 = ¼ = 25%
Otro Ejemplo.-
La probabilidad de que la persona a Ana viva 25 años es 0.7 y la probabilidad de que la persona b Humberto viva 25 años es 0.5, entonces la probabilidad de que ambos vivan 25 años es:
E1 “La persona a viva 25 años” E2” La persona b viva 25 años” E1 E2 ambas personas vivan 25 años
P(E1E2) = p(E1)p(E2/E1) E1 y E2 son sucesos independientes p(E1E2)=p(E1)p(E2)
= 0.7*0.5= 0.35= 35%
MSc. Ing. Franklin Torres E.
Otro.-
Supóngase que una caja contiene tres bolas blancas y dos bolas negras.
Sea E1 “la primera bola extraída sea negra”. Sea E2 “la segunda bola extraída sea negra”.
E1E2 Suceso Comp.
Existen dos situaciones:
Extracciones con reemplazo. Extracciones sin reemplazo.
Si son extracciones con reemplazo será: Suceso Compuesto E1E2 “Que en las dos extracciones sean Bolillas negras”
P (E1E2) = P (E1). P (E2/E1). Son Sucesos Independientes. P (E1E2) = P (E1). P (E2).
P (E1E2)= 2/5*2/5= 4/25= 0.16= 16%
Si son extracciones sin reemplazo, son sucesos dependientes:
Entonces:
P (E1E2) = P (E1). P (E2/E1).
P (E1) será la probabilidad de la primera bola extraída sea negra 2/5. P (E2/E1) será la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra dado que la primera bola extraída sea negra ¼.
Entonces:
P (E1E2) = 2/5 * ¼.
= 2 / 20
= 1/10.=0.1 = 10%
MSc. Ing. Franklin Torres E.
Otro Ejemplo.
Si E1 es el suceso “Extracción de un as de una baraja de 52 Cartas” y E2 es el suceso de “Extraer espada de una baraja de 52 Cartas”
P(E1+E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2)
La probabilidad de extraer un as o una espada
Entonces E1 y E2 no son mutuamente excluyentes puesto que puede ser extraído el as de espadas.
P(E1+E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2)
= 4/52+13/52- 1/ = 16/52= 30.76%
Así la probabilidad de extraer en una sola extracción de un as ó un espada ó ambos se tiene:
Retronar
