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Probabilidad
En este capítulo se introduce el concepto de la probabilidad, necesaria para la compresión de temas a desarrollar en capítulos posteriores. Se comienza con el enfoque probabilístico clási- co, se sigue con desarrollos algebraicos, para llegar a los teoremas básicos, vinculantes de los ín- dices clínicos entre sí. La mayoría de los conceptos científicos tienen un significado exacto como las cantidades físicas; en cambio, la probabilidad es a menudo asociada con un concepto vago de casualidad, incertidumbre o azar. Muchas veces esta ignorancia oculta la verdadera naturaleza matemática de la teoría de las probabilidades, como una disciplina científica más. Una ciencia exacta con conclusiones obtenidas por la lógica, partiendo de axiomas y principios básicos y con muchas ramificaciones de uso extendido en la práctica. Sin embargo debe dejarse muy en claro que la incertidumbre, es una palabra usada para disimular la ignorancia que se tiene acerca de las múltiples causas que pueden ocasionar un efecto. Y que el azar, o la probabilidad es una forma de cuantificar dicha incertidumbre.
5.1 Introducción
J. J. Bernoulli fue el primero en estudiar este tema en forma sistemática con un enfoque científico. Observando los resultados del lanzamiento de una moneda un número grande de ve- ces, notó que el número de caras y secas tendía a igualarse. Es decir, que la frecuencia relativa de la obtención de caras se acercaba más al número de secas, cuanto mayor era el número de lanza- mientos. O bien, ambas frecuencias relativas se parecían cada vez más a 0,5. Otro tanto le ocurría en el lanzamiento de dados: la frecuencia relativa de un as tendía a 1/6. Repitió una y otra vez es- te tipo de experimentos con monedas, dados y cartas, y siempre llegaba a la misma conclusión. Imaginó haber encontrado un fenómeno más general y así dio comienzo la teoría de probabilida- des. Sus resultados teóricos se corresponden razonablemente con la realidad. Sin embargo, debe marcarse siempre una clara distinción entre los resultados empíricos y los teóricos. El uso co- menzó en la teoría de juegos de azar, en los albores del siglo XVII, y gracias a estos se hizo po- pular entre los “geómetras” de aquel entonces. Hoy se la emplea en el campo de los seguros, con- trol de calidad, genética, investigación operativa, mecánica estadística y muchos más.
Probabilidad teórica : La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se define como el cociente entre el número esperado de veces que ocurra un suceso N (^) A y el número total de casos posibles N
P ( A ) = N A / N
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Esta definición primaria de probabilidad se calcula en forma teórica. Por ejemplo, una moneda tiene dos caras ( N = 2) y una sola de ellas es cara (N cara = 1), o sea que la probabili- dad de sacar una cara en un lanzamiento, teóricamente es P (sacar cara) = 1/2. Por otra parte, se puede calcular la probabilidad a partir de experimentos, como por ejemplo tirar la moneda para ver si en efecto hay una proporción 0,5 de obtener cara. Esta noción se define como:
Probabilidad empírica : La probabilidad empírica de ocurrencia de un suceso A es igual a su frecuencia relativa (FrA ). O sea, el cociente entre el número de veces en que ocurrió el suceso A (FA ) y el número total de experimentos (Ft).
Fr A = F A / Ft
La relación entre ambas, fue descripta por Bernoulli en su “Ley empírica del azar” de su famoso libro Ars Conjectandi publicado en 1713 donde se dice: “Si la probabilidad de un suceso es p y se realiza un número muy grande N de pruebas, el cociente entre el número de casos favo- rables obtenidos y el número total de pruebas llega a diferir de p en tan poco como se quiera, con tal de tomar a N lo suficientemente grande.” Esto es:
Fr A p (si N es grande)
Sin embargo, fue Laplace en su “Teoría Analítica de Probabilidades” (1812) quien le dio una forma más rigurosa definiendo la diferencia en valor absoluto entre ambas probabilidades como menor o igual a un cierto valor positivo ε, haciendo a este tan pequeño como se quiera.
Fr A - P ( A ) ≤ ε o sea:
Fr A P ( A ) N ∞
Naturalmente, como un experimento real nunca puede llegar a tener lugar infinitas veces, no se usa la definición clásica de límites sino una aproximación del tipo
Fr A ≈ P ( A ) (si N es lo suficientemente grande)
Laplace introdujo dos conceptos nuevos en la definición de la probabilidad teórica:
Principio de equiprobabilidad : todos los casos deben tener igual probabilidad de ocurrencia.
Principio de razón suficiente : mientras nada haga sospechar lo contrario, se debe suponer que todos los casos son igualmente probables.
Agregando estos dos principios se completa la definición clásica de probabilidad. En los casos de un dado cargado, una moneda mal balanceada, y otros análogos, no se puede aplicar la definición porque los casos ya no tienen la misma probabilidad. Hay otros casos: por ejemplo, suponiendo un dado tal que tiene dos ases pintados en sus caras pues le falta el número 4, allí habría cinco casos posibles en lugar de seis. Pero si el dado está bien construido la definición se sigue cum-
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Hay otro tipo de probabilidades como la llamada probabilidad subjetiva o intuitiva que es una cierta evaluación personal de la probabilidad, en lugar de ser teórica o experimental. Por ejemplo, si se desea opinar acerca de la probabilidad de lluvia el día de mañana, cada uno puede emitir una opinión, como 0,9 si hoy está nublado y no aparece el sol, o bien 0,1 si se está en el medio de una magnífica temporada estival. En Medicina, el uso de esta clase de probabilidades se hace cuando el clínico asigna un valor subjetivo de probabilidad a un paciente que está eva- luando, la llamada probabilidad Pre-test, y mediante un cálculo obtiene la probabilidad Post-test para evaluar si le conviene hacerle el test al paciente o no. Notar que la misma pregunta puede ser contestada de manera diferente por una misma persona, de acuerdo al momento en que se le haga. Además, diferentes individuos darán diferentes valores subjetivos de probabilidad. Las en- cuestas de opinión calculan la frecuencia de las respuestas obtenidas, a preguntas subjetivas, para conformar técnicas de mercadeo, propaganda, etc.
Hasta ahora, se han planteado casos con N de tamaño finito, pero si se trabaja con las probabilidades de encontrar un punto en una recta donde cualquier segmento de la misma tendrá infinitos puntos posibles, las definiciones vistas ya no sirven. Si por ejemplo el suceso A (unos pocos centímetros) ocurre dentro de una recta de 3 metros, el cociente dado por la fórmula clási- ca sería una razón irresoluble de infinitos. Por eso se desarrolló el concepto de la probabilidad geométrica , como la razón entre el espacio o tiempo, ocupado por los sucesos A , y el total. Como ser, si se sabe que el suceso dura 20 s, la probabilidad que ocurra en la hora siguiente se puede obtener con: 20 s / 3600 s = 1/180.
En síntesis, la noción de probabilidad tiene cuatro acepciones básicas:
- Clásica (teórica con casos equiprobables)
- Empírica (práctica con la frecuencia relativa)
- Intuitiva (creencias o mediciones subjetivas)
- Axiomática (modelo matemático)
5.2 Concepto de partición.
Para desarrollar un modelo matemático conviene empezar con la teoría de conjuntos, re- pasar los conceptos básicos, y luego formular axiomas que permitan definir la noción de probabi- lidad en forma más precisa. Con los axiomas y ciertas reglas de comportamiento interno se puede definir un álgebra, dentro de un espacio de probabilidades (Álgebra de Boole). A partir de allí se deducen ciertas propiedades interesantes para poder demostrar teoremas como el de Bayes, de uso extendido en el campo del diagnóstico clínico. En cambio, cuando los resultados posibles no son finitos se requerirá de un álgebra especial (σ-álgebra), pero este caso escapa a los contenidos planeados para el presente trabajo.
Las nociones básicas de la teoría de conjuntos fueron vistas en asignaturas anteriores de- ntro de las matemáticas. Sin embargo, para quien desee repasar estos conceptos se le sugiere ver el Apéndice 1 al final de este capítulo. Análogamente en el Apéndice 2, para repasar la teoría del cálculo combinatorio que se necesita para la obtención del número total de casos, o bien para calcular el número de casos favorables de ocurrencia del suceso A. Lo que interesa por ahora es recordar como se llega al concepto de partición , cuyo uso se vio en las Tablas 1.1 a 1.
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Sean n conjuntos C 1 , C 2 , C 3 , ..., Cn pertenecientes al universo ℘℘℘℘, se dice que:
- La unión de todos ellos pertenece al universo y en el caso particular que resulten ser iguales, se los llama colectivamente exhaustivos. n ∪ Ci ⊆ ℘℘℘℘ i=
Por ejemplo, si cada marca comercial que se vende en una farmacia es un conjunto Ci, entonces el conjunto de todas las marcas existentes en la misma será el conjunto universo, detallado en el listado completo del stock actualizado.
- Son mutuamente excluyentes, cuando se excluyen entre sí todos los pares posibles, o sea
Ci ∩ Cj = ∅∅∅∅ ∀ i ≠ j
El conjunto de medicamentos fabricado por los Laboratorios Roché: Ci, no tiene ningún elemen- to en común con el conjunto de los fabricados por Bayer: Cj. Por lo que son excluyentes entre sí.
- Forman una partición del universo cuando estos conjuntos son a la vez: mutuamente exclu- yentes y colectivamente exhaustivos. Esto se puede denotar así: los Ci particionan a ℘℘℘℘ si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Ci ∩ Cj = ∅∅∅∅ ∀ i ≠ j
N Partición de ℘℘℘℘ ∪ Ci ==== ℘℘℘℘ i=
Si se clasifica a la población en: Sanos y Enfermos de una cierta dolencia, se tiene una partición de la misma, pues cada individuo de esta puede estar sano o enfermo únicamente y, además, la unión de sanos y enfermos conforman todos los casos posibles. Lo mismo ocurre si se clasifica a la población en Positivos y Negativos. Así los cuatro casos posibles en la Tabla de la verdad con- forman una partición del universo de pacientes.
- Particionan al conjunto A cuando a la vez son mutuamente excluyentes y colectivamente ex- haustivos, dentro de A. Esto es, los Ci particionan a A si se cumplen:
Ci ∩∩∩∩ Cj ∩∩∩∩ A = ∅∅∅∅ ∀ i ≠ j Partición de A n ∪∪∪∪ Ci ⊃⊃⊃⊃ A y=
Si se toma el subconjunto: enfermos de gripe de la población de Posadas. Este se puede particio- nar con la condición de: Medicado – No medicado, pues ambos casos son mutuamente excluyen- tes entre sí y colectivamente exhaustivos para el conjunto de engripados. El conjunto de resulta- dos positivos está particionado por los dos conjuntos: Sano y Enfermo, lo mismo que el conjunto de resultados negativos. Estos cuatro casos se visualizan mejor en el Gráfico 5.1 siguiente:
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A : luego de efectuarle todos los estudios se concluye que el paciente está infectado; B : luego de efectuarle todos los estudios se concluye que el paciente no está infectado.
Esos dos serían los resultados posibles o sucesos, no importa el camino seguido para rea- lizar tal diagnóstico. Habrá un conjunto de análisis diferentes, en la batería de análisis, los resul- tados finales serán A o B. Es evidente que si se hace el estudio y se observa paso a paso el cami- no seguido, se podrá determinar la serie de evidencias que condujeron al diagnóstico final. O sea, se podrá verificar uno de los dos sucesos. Ahora bien, es imposible que ocurran ambos sucesos a la vez, esto es A y B debe ser igual al suceso 0. Pero es seguro que ocurrirá uno de ambos, en- tonces A o B coincide con S. Por su parte, el complemento de A es B y viceversa. Análogamente, un cliente que entra a la farmacia puede hacer dos cosas: comprar algo ( A ) o no comprar ( B ). En resumen:
Un conjunto de sucesos observables que presenta una estructura de Álgebra de Boole para las leyes de composición interna: conjunción, intersección y complemento, se la denomina Álgebra de Sucesos.
A su vez, un Álgebra de Sucesos siempre puede ser representada por un Álgebra de Conjuntos que es isomorfa a ella. En particular, tomando el conjunto de los números reales ℜℜℜℜ, se puede de- finir una aplicación ΡΡΡΡ del Álgebra de Sucesos ΨΨΨΨ sobre tal conjunto, ΡΡΡΡ :^ ΨΨΨΨ →→→→ ℜℜℜℜ como una proba- bilidad si cumple los tres axiomas siguientes:
- La probabilidad de que ocurra un suceso A es siempre positiva o nula
P ( A ) ≥ 0
- La probabilidad de que ocurra el suceso seguro es una certeza y vale 1
P ( S ) = 1
- Si dos sucesos son excluyentes, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabi- lidades individuales
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) ⇔ A ∩ B = 0
Definición : sea un conjunto de sucesos que definen un espacio muestral S ; la probabilidad de ocurrencia de un suceso A perteneciente al mismo es un número adimensional que cumple con los tres axiomas anteriores.
Debe destacarse que no se ha hecho mención en la definición de la probabilidad axiomá- tica a la manera en que se obtendrá la cantidad P ( A ). Se puede usar una forma intuitiva de valo- rarla, o realizar un experimento para medir la empírica, o bien, hacer deducciones teóricas para su cálculo. Todas las maneras son igualmente válidas para este enfoque algebraico. La mejor aproximación a la realidad que se obtenga dependerá del modo de calcularla, y no del modelo matemático usado. Mediante este modelo axiomático o algebraico se pueden traducir a símbolos las relaciones entre acontecimientos para ver la aplicabilidad de los conceptos teóricos en la vida real. La idea central es que todo modelo estadístico debe ceñirse a la realidad lo más posible y no
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a la inversa. El peligro fue advertido por Einstein cuando afirmó “... los científicos suelen ver la realidad a través de los anteojos que les pone la teoría en la que creen...”.
Para analizar la consistencia entre probabilidad y frecuencia relativa se pueden ver:
. Cuando se tenga la certeza que ocurrirá un resultado al hacer una prueba, entonces en todos los casos se verificará la ocurrencia del suceso en cuestión. Por lo tanto, la frecuencia de casos favo- rables coincidirá con la frecuencia total, y así la frecuencia relativa será la unidad.
Fr A = F A / Ft = 1 ≈ P ( A ) = P ( S )
. Cuando se tenga la certeza que nunca ocurrirá un resultado al hacer una prueba, entonces el número de casos favorables será nulo, y así anulará la frecuencia relativa.
Fr A = F A / Ft = 0 ≈ P ( A ) = P ( 0 )
De los dos puntos anteriores se deducen de inmediato los dos valores extremos de frecuencia re- lativa o probabilidad.
0 ≤ Fr A ≈ P ( A ) ≤ 1
Cuando dos sucesos se excluyan mutuamente, la frecuencia relativa de ambos ocurriendo simul- táneamente será nula (F AB = 0), y por lo tanto:
Fr A o B = (F A + F B +F AB ) / Ft = ( F A / Ft ) + ( F B / Ft ) = Fr A + Fr B ≈ P ( A ∪ B )
Con los tres puntos anteriores se puede denotar la consistencia entre el modelo teórico de la pro- babilidad axiomática y las probabilidades empíricas relacionadas. El símbolo ≈≈≈≈ fue usado en el sentido de la ley empírica de Bernoulli.
5.3.1 Propiedades derivadas
Al desarrollar los tres axiomas anteriores, deduciendo propiedades a partir de ellos, se va armando la teoría de probabilidades.
1) Inclusión de sucesos entre sí:
si A ⊂ B entonces P ( A ) ≤ P ( B )
Lo que se demuestra con B = A ∪ ( B ∇ A ) y como estos dos conjuntos no tienen elementos comunes, se les puede aplicar el axioma 3, así: P ( B ) = P ( A ) + P( B ∇ A ). Y como toda proba- bilidad es siempre positiva o nula, se deduce que la P ( B ) es siempre mayor, o a lo sumo igual que la P ( A ). Por ejemplo, el conjunto A (10 personas) de los internados por fracturas en un pabe- llón del hospital, es un subconjunto ( B ) de todos los internados que hay en el mismo (20 perso- nas), y por lo tanto P ( A ) ≤ P ( B ). Si en el hospital hay 100 internados en total se pueden estimar: P ( A ) = 10/100 = 0,1 ≤ P ( B ) = 20/100 = 0.2 con lo que se muestra esta propiedad de inclusión que tienen los subconjuntos.
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P ( B ∩ A ) + P ( B ∩ A ) = P ( B ) luego es : P( B ∩ A ) = P ( B ) - P ( B ∩ A )
Por ejemplo, sea A el conjunto de todas las embarazadas que concurren al hospital, luego su complemento será el conjunto de todas las mujeres que no están embarazadas que concurren al hospital. Sea B el conjunto de todas las personas que vienen al hospital a tratarse de enfermeda- des venéreas. Entonces, el complemento relativo P( B ∇ A ) = P( B ∩ A ) es la probabilidad de encontrar un mujer que concurra por una enfermedad venérea y que no esté embarazada.
4) Unión de dos sucesos cualesquiera:
Sean dos sucesos A y B , pertenecientes al espacio de probabilidades S ; la probabilidad de la unión de ambos es la suma de sus probabilidades individuales, menos la de su intersección.
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )
Esto es una generalización del axioma 3, al caso general, cuando los conjuntos no son excluyen- tes, como en la figura del Gráfico 5.2 anterior. Puede verse que el suceso ( A ∪ B ) es la unión de tres sucesos mutuamente excluyentes entre sí, a saber, la intersección entre ambos y los dos com- plementos relativos. O sea,
( A ∩ B ) ∩ ( B ∩ A ) ∩ ( A ∩ B ) = 0
( A ∩ B ) ∪ ( B ∩ A ) ∪ ( A ∩ B ) = ( A ∪ B )
Aplicado el axioma 3 generalizado, resulta:
P( A ∩ B ) + P( B ∩ A ) + P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) Reemplazando resulta:
P( A ∩ B ) + { P( B ) - P( A ∩ B )} + { P( A ) - P( A ∩ B )} = P( A ∪ B ) O sea,
P( B ) + P( A ) - P( A ∩ B ) = P( A ∪ B )
Usando el mismo ejemplo anterior sería: P ( A ∪ B ) la probabilidad del conjunto formado por mujeres embarazadas o que tengan enfermedades venéreas, la que será igual a la suma de la pro- babilidad de que una mujer está embarazada P ( A ), más la probabilidad de que una mujer tenga una enfermedad venérea P ( B ), menos la probabilidad del conjunto formado por las mujeres embarazadas y con enfermedades venéreas P( A ∩ B ).
5) Particiones de sucesos:
Sean n sucesos pertenecientes al mismo espacio muestral S , tales que particionan al suceso A (ver Gráfico 5.2), entonces se cumple que: ( Ci ∩ Cj ) ∩ A = 0 ∀ i ≠ j n n P( A ) = ∑ P( A ∩ Ci ) ⇔ ∪ Ci ⊃⊃⊃⊃ A i=1 i=
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Si se piensa que el suceso A está particionado por los Ci , entonces queda dividido en n pedazos del tipo: ( A ∩ Ci ) , que son sucesos mutuamente excluyentes entre sí y, a su vez, su unión total debe ser igual al suceso A ; entonces aplicando el axioma 3 generalizado se demuestra la expre- sión anterior. Por ejemplo, el suceso A resultar positivo está particionado por los sucesos C 1 : sa- no y C 2 : enfermo. Entonces:
P( A ) = ∑ P( A ∩ Ci ) = P( A ∩ C 1 ) + P( A ∩ C 2 ) = P( FP ) + P( VP ) = (fp/N) + (vp/N) = TP/N
6) Conteo de resultados :
Sea una prueba clínica con un total de N resultados posibles C 1 ,C 2 ...C (^) n que forman el espacio muestral S. Entonces cada experimento tendrá una probabilidad individual dada por P ( Ci ). Sea R un suceso cualquiera formado por r resultados, entonces puede ser escrito con:
r r R = ∪ Ci Y de allí resulta P ( R ) = ∑ P( Ci ) por la propiedad anterior. i=1 i=
Extendiendo el caso al universo S al tomar todos los resultados posibles será:
N P ( S ) = ∑ P( Ci ) = 1 i=
Para el caso particular de resultados igualmente probables la expresión se reduce a:
P( C 1 ) = P( C 2 ) = P( C 3 ) = ... = P( Cn ) = 1/N
7) Conclusión:
De las expresiones del punto anterior se sabe que la P ( R ) es la suma de las probabilidades de cada uno de los resultados que verifican R , y si estos a su vez son equiprobables resulta:
r P ( R ) = ∑ P( Ci ) = (1/N) + (1/N) + .... + (1/N) = N R / N = r / N i= r veces
o sea, P ( R ) = N R / N
Entonces, la probabilidad P ( R ) de un evento cualquiera R es igual al número N R , de elemen- tos de R , dividido por el número total de elementos N. Lo que se parece mucho a la definición clásica de probabilidad; sin embargo existe una diferencia fundamental:
. En el enfoque de la probabilidad axiomática, la equiprobabilidad es un supuesto usado para es- tablecer las probabilidades de los resultados de un experimento cualquiera. . En el enfoque de la probabilidad clásica, la equiprobabilidad es una conclusión lógica y es usa- da de hecho para definir a la misma.
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g) Se fabrica un medicamento con 11,9 g de sulfato ferroso (SO 4 Fe. 7 H 2 O) en 100 ml. y el re- sto excipientes como sacarosa, sorbitol y ácido cítrico con agua triple destilada. Las normas esta- blecen una tolerancia para el sulfato de + 2,1 g/100ml, junto con otras especificaciones para los demás componentes. El farmacéutico a cargo del control de calidad sabe, por su larga experien- cia, que el 1% de lo producido se rechaza por superar el límite y el 2% por no llegar al valor mí- nimo en el caso del sulfato. Además, un 4% se rechaza por no cumplir las restantes especifica- ciones. Si tiene que inspeccionar 10.000 unidades: ¿cuál será el número total de unidades que es- pera aceptar? Sea el esquema siguiente:
S : lote de 10.000 unidades fabricadas A : unidades rechazadas por sobrepasar límite de sulfato B : unidades rechazadas por no llegar al límite de sulfato R : unidades rechazadas A X : unidades aceptadas = R R C : unidades rechazadas por otras causas B R = C ∪ ( B ∩ R ) ∪ ( A ∩ R ) (sombreado)
P ( X ) = 1 - P( X ) = 1 - P ( A ∪ B ∪ C ) = 1-{ P( A ) + P( B ) + P( C ) - P( A ∩ C ) - P( B ∩ C )}
P ( X ) = 1 - { P( A ) - P( A ∩ C )} - { P( B ) - P( B ∩ C )} - P( C )
P ( X ) = 1 - { P ( A ∩ C ) } - { P( B ) - P( B ∩ C } - P( C )
De los datos del problema surgen:
P ( C ) = 4% = 0,04 P ( A ∩ C ) = 1% = 0,01 P( B ∩ C ) = 2% = 0,
De allí es P( X ) = 1 - 0,01 - 0,02 - 0,04 = 0,93. O sea un 93% de unidades aceptadas, lo que sig- nifica N. X = 9.300 unidades aceptadas.
5.3.3 Índices clínicos como probabilidades
Sean los cuatro sucesos posibles al efectuar un diagnóstico:
Tabla 5.1: Eventos posibles al realizar un diagnóstico o Tabla de diagnóstico
Diagnóstico verificado Test clínico Enfermo: C 1 Sano: C 2 Total
(+) VP : verdadero positivo FP : falso positivo TP : de Positivos (-) FN : falso negativo VN : verdadero negativo TN : de Negativos
Total TE : Total Enfermos TS : Total Sanos N : Total pacientes
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La Tabla 5.1 es un Diagrama de Venn, donde los sucesos sano ( C 2 ) y enfermo ( C 1 ) particionan al universo, igual que positivo y negativo. Y a su vez, los cuatro sucesos posibles VP, FP, VN, FN también particionan al universo. Notar que si el suceso es VP su valor observado o medido es la frecuencia (vp) usada en la Tabla 1.1, y lo mismo con los tres casos restantes. . FP = ( C 2 ∩ TP ) VP = ( C 1 ∩ TP ) FN = ( C 1 ∩ TN ) VN = ( C 2 ∩ TN )
P ( VP ) = número de casos posibles / número total de casos = vp / N – es una probabilidad
P ( C 1 ) = TE / N = p es una probabilidad llamada la prevalencia de la enfermedad.
Por lo tanto el cociente entre ambas probabilidades será: Sensibilidad = vp / TP = P ( VP ) / P ( C 1 ) De donde se deduce que la sensibilidad es un cociente de probabilidades. Análogamente para la especificidad E = vn / TS pues:
P ( VN ) = vn / N y P ( C 2 ) = TS / N es igual al complemento de la prevalencia; o sea que el co- ciente entre ambas probabilidades será la Especificidad = P ( VN ) / P ( C 2 )
Puede verse que los índices clínicos principales S y E son en realidad un cociente de probabilida- des, cuyo significado se explicará mejor en el capítulo siguiente. Lo mismo ocurre con los valo- res predictivos. En efecto:
P ( TP ) = TP / N y por su lado P( TN ) = TN / N
VPP = vp / TP = P ( VP ) / P ( TP ) = (vp / N) / (TP / N) = vp / TP
VPN = vn / TN = P ( VN ) / P ( TN ) = (vn / N) / (TN / N) = vn / TN
Por su parte la Eficiencia (A) se puede obtener con la unión de los dos tipos de éxitos:
P (n º de éxitos) = A = P( VP ∪ VN ) = P ( VP ) + P ( VN ) = (vp / N) + (vn / N) = (vp + vn) / N
En resumen, mientras que la prevalencia y eficiencia son probabilidades simples y direc- tas, los índices tales como la sensibilidad, especificidad y valores predictivos son un cociente de probabilidades directas.
5.4. Odds
Este concepto, que no tiene aún una traducción del idioma inglés, se puede definir como un cociente de probabilidades de la manera siguiente:
Odds: es el cociente entre la probabilidad de ocurrencia de un suceso A y la de su complemento. _ Odds = P( A ) / P( A ) = P( A ) / [1- P( A ) ]
Se pueden definir diferente tipos de Odds como los de Enfermos o Sanos con:
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Caso 4 ) Si el suceso analizado es la cantidad de fallas cometidas en el diagnóstico se tiene:
Odds de fallas = P (fracasos) / [1 – P(fracasos)] = P(fracasos) / P(éxitos)
Pero la P(fracasos) = (fn + fp) / N y la P(éxitos) = (tn + tp) /N Luego reemplazando y simplifi- cando en la relación anterior se obtiene:
Odds de fallas = Failure Odds = (fp + fn) / (tp + tn)
Significa que si se tiene 1 falla en 10 pruebas el FO = 1/9, o bien cuando el FO = 2/8 entonces habrá 2 fallas cada 10 pruebas, o cada 8 éxitos. Se puede tomar a este número como otro índice para calificar la calidad de un diagnóstico.
5.5 Cuadro resumen de los índices clínicos
En el cuadro siguiente se muestra las relaciones teóricas de todos los índices clínicos con los dos índices básicos: sensibilidad, especificidad. Además se clasifica entre aquellos que varían con la prevalencia y los demás:
Cuadro 5.2 Relaciones entre índices clínicos de diagnóstico
Índices clínicos básicos : Parámetros o características principales de un test clínico
Sensibilidad = S = vp / TE Especificidad = E = vn / TS
Índices clínicos derivados : No dependen de la prevalencia, son otros parámetros del test clínico.
Índice de Youden = Y = S + E – Likelihood Ratio de positivos : LR+ = S / (1 – E) Likelihood Ratio de negativos: LR- = (1 – S) / E
Índices clínicos extrínsecos : Dependen de la prevalencia, son variables del test clínico
Valor Predictivo de Positivos : VPP = vp / TP = S. p / {[(1-p) (1 – E)] + [S .p ]} Valor Predictivo de negativos: NPP = vn / TN = E (1 – p)/ {[E (1-p)] + [p (1 – S)]} Eficiencia: A = (vp + vn) / N = E (1 – p) + S. p
Efecto de la población en los tests clínicos:
Prevalencia : p = TE / N Odds de enfermedad: O = p / (1-p) = TE / TS Odds / (1 + Odds) = Prevalencia ; o bien: p = O / (1 + O)
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5.6 Problemas propuestos
La probabilidad teórica es exactamente igual a la empírica. V F
A medida que aumenta N la probabilidad empírica se aproxima mejor a la teórica. V^ F
La noción de probabilidad tiene 4 acepciones básicas. V F
El conjunto universo está formado por todos los casos posibles. V F
El complemento del conjunto universo es el conjunto elemental. V F
El conjunto vacío tiene el cero como único elemento. V F
Un elemento pertenece a un conjunto es lo mismo que decir: está incluido en él. V^ F
Si A está incluido en B, entonces son iguales. V F
Si A está incluido en B, y este se incluye en C, entonces A está incluido en C. V F
El complemento de A está formado por los del universo que no son A. V F
La unión de un conjunto y su complemento forman al universo. V F
Dos conjuntos se dicen excluyentes si no tienen elementos comunes. V^ F
La unión del conjunto universo con otro cualquiera es un nuevo universo. V F
La intersección de un conjunto con el vacío es el mismo conjunto. V F
La unión de un conjunto con el conjunto vacío es el conjunto elemental. V F
La intersección de un conjunto con el universo es el mismo conjunto. V F
La unión de un conjunto con otro más grande es igual al más grande. V^ F
Un grupo de conjuntos es colectivamente exhaustivo si es igual al universo. V F
Un grupo de conjuntos es mutuamente excluyente si lo son todos los pares posibles. V F
Una partición se forma con un grupo de conjuntos mutuamente excluyentes. V F
Las combinaciones son el cociente entre variaciones y permutaciones. V F
Escribir las fórmulas de cálculo de combinaciones, variaciones y permutaciones.
Es lo mismo realizar extracciones con y sin reposición en el cálculo combinatorio. V^ F
Definir los sucesos: Universo, Vacío y Elemental.
Para que un conjunto de sucesos observables sea un Álgebra de Boole debe cumplir ............
Los tres axiomas básicos del Álgebra de Probabilidades son: ..................................................
Las probabilidades del conjunto vacío y del universo son complementarias. V^ F
La probabilidad de la unión de sucesos excluyentes, es igual a la suma directa de: ................
Para la partición del universo por un grupo de conjuntos se requiere: .....................................
La relación entre los índices clínicos está dada por la relación: ..............................................
Once estudiantes de la Facultad son condenados a muerte y se les concede pedir un último deseo. Cuando el que aprobó Bioestadística nota que tardan 5 minutos en formarlos contra la pa- red, pide que los ejecuten luego de que los coloquen en el paredón de todas las formas posibles. Explicar porqué salvó a sus compañeros.
Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra contiene 3 blancas y 5 negras; si se extrae una bola de cada bolsa. Hallar la probabilidad de que: a) ambas sean blancas; b) ambas sean negras; c) una blanca y la otra negra.
De cuántas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante si: a) es posible cualquier ordenación; b) tres libros determinados deben estar juntos;
Bioestadística aplicada a Bioquímica y Farmacia J.C. Azzimonti Renzo: [email protected]
- Primer matemático en estudiar probabilidades. 2. Teorema de ..... relaciona probabilidades empíricas con las teó- ricas. 3. Un grupo de conjuntos colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes forman una .... del universo.
- Una .... está formada cuando dos conjuntos no tienen ningún elemento en común. 5. Lo inverso del punto anterior, cuando un conjunto tiene todos los elementos de otro. 6. Suceso .... cuando no puede ocurrir. 7. Lo contrario del anterior. 8. El conjunto que tiene todos los elementos posibles. 9. El que no tiene ningún elemento. 10. Un conjunto es ... de otro cuando contiene a todos los elemen- tos del universo que no pertenecen al primero. 11. Los tres ... básicos del Álgebra de Probabili- dades. 12. El principio de razón .... se agregó a la definición clásica de probabilidad. 13. Probabi- lidad ... se calcula como cociente de frecuencia experimentales. 14. Una ... de n elementos se cal- cula con el factorial de tal número.
- Conociendo los siguientes valores de Prevalencia de una enfermedad, calcular los correspon- dientes Odds y la Probabilidad de estar sano:
Prevalencia Odds enfermos (1 – Prevalencia) 10 20 33 43 50 66 80 88 94
Para los valores de las Tablas 4.1 y 4.2 del capítulo anterior, calcular los correspondientes LR+ y LR- para cada uno de los puntos de corte adoptados. ¿Cuánto vale el Odds?
Encontrar la relación entre el VP+ y LR+ reemplazando en las ecuaciones dadas en el punto 5.5.3 anterior. ¿Qué relación se encuentra con los Odds de enfermedad?
Calcular todos los índices clínicos conociendo los datos de las tabla siguiente:
En Rea- lidad Diagnóstico Está D+ D- Total Sano 45 98 143
Enfermo 105 102 207 Total 150 200 350
- Con la tabla de datos obtenidas en un experimento hecho sobre 400 sujetos, se pide calcular los índices clínicos y compararlos con los del ejemplo anterior. Explicar cual de los dos es el me- jor de acuerdo a los tres Tipos de enfermedades posibles, efectuando una comparación cualitativa entre los mismos. Es decir una comparación “a ojo” sin tener la correspondiente validación esta- dística de estas conclusiones.
Bioestadística aplicada a Bioquímica y Farmacia J.C. Azzimonti Renzo: [email protected]
Verdad Diagnóstico + - Total Sano 180 98 278
Enfermo 40 82 122 Total 220 180 400
- Analizar la calidad de el test clínico desde un punto de vista dual, es decir teniendo en cuenta Sensibilidad, Especificidad si es una enfermedad del Tipo II. Analizar que ocurre con el Delta Predictor simulando 10 valores de prevalencia entre 0,1 y 0,9.
Verdad Diagnóstico + - Total Sano 100 250 350 Enfermo 400 250 650 Total 500 500 1000
- Lo mismo que en el ejemplo anterior pero si se trata de una enfermedad del Tipo I
Verdad Diagnóstico + - Total Sano 90 350 440 Enfermo 310 50 360 Total 400 400 800
- Ídem anterior pero para una enfermedad del Tipo III
Verdad Diagnóstico + - Total Sano 40 460 500 Enfermo 360 40 400 Total 400 500 900
- Conociendo la sensibilidad (90%) y la especificidad (75%) de una prueba clínica se pide cal- cular todos los siguientes índices clínicos que conozca. Representar la variabilidad de ciertos ín- dices con la prevalencia, y la obtención de sus valores para p = 0,4.
