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UNMSM-FIEE- Curso Probabilidad y Estadística Período Académico 2020 - I
Tema: Determinación del tamaño de muestra e Intervalos de Confianza.
Lista Nº 16
- La directora de un colegio particular, año a año incrementa el monto de la pensión de
pago por enseñanza. Para hacer este incremento, debe tener información respecto del
ingreso medio del padre de familia de todos los alumnos, como no lo conoce va hacer una
estimación del ingreso medio, tomando una muestra de padres de familia, por lo que
previamente debe determinar el tamaño de muestra. Por información anterior, sabe que la
variabilidad de los ingresos respecto a la media es de 70 nuevos soles (
X
), además espera,
que el ingreso medio muestral difiera del ingreso medio poblacional en menos de 10 nuevos
soles y desea que eso ocurra con una probabilidad 0.95.
Individuo: Padres de familia de un colegio particular
Conjunto de individuos: Todos los padres de familia de un colegio particular
Muestra: No se precisa la muestra
Variable poblacional de interés, X: Ingreso medio.
Datos:
σ = 70
1 − α =0.
Sea μ el ingreso medio muestral y
X el ingreso medio poblacional, por lo cual según el
problema: P (|
X − μ |< 10 )=0.
Como se conoce la varianza poblacional, usaremos Normal. Sin embargo, observamos que
no se conoce la media de la muestra. Esto significa que debemos pasar a N(0, 1) para
resolver el problema y n debe aparecer de alguna manera en el proceso.
P (|^
X − μ |< 10 )=0.95 → P (− 10 <
X − μ < 10 )=0.
P
√ n
X − μ
√ n
√ n^
P (−0.1029 √ n < Z <0.1029 √ n )^ =0.
Con las propiedades de la normal nos queda: 2 P (^ Z <0.1029 √ n )=0.
Por la tabla de normal: φ ( 0.975 )=1.
Por lo tanto, nos quedaría:
0.1029 √ n =1.
√ n =19.
n =362.
Finalmente, el tamaño de muestra que debe tener es de n = 363
- Suponga que una tienda de pinturas quiere estimar la cantidad correcta de pintura que
hay en latas de un galón comprados a un conocido fabricante. Por las especificaciones
del producto se sabe que la desviación estándar de la cantidad de pintura es igual a 0.
galones. Se selecciono una muestra aleatoria de 50 latas de un galón, estas fueron
pesadas y la cantidad media de pintura por lata de un galón es de 0.995 galones.
a. Obtenga una estimación por intervalos para la media de pintura por lata de un galón.
b. Con base a los resultados de “a”, ¿Es posible que el propietario de la tienda tuviera
derecho a quejarse al fabricante? ¿Por qué?
a) Datos del problema σ^ =0.02, n = 50,
X =0.
UO: Pinturas en lata de una tienda de pintura
CUO: Todas las pinturas en lata de una tienda de pintura
Muestra: Se tomó una muestra aleatoria de 50 latas
Variable poblacional de interés, X: Cantidad de galones en una lata
Consideramos una estimación con el 99% de confianza
Usaremos la normal, ya que la cantidad de datos excede a 30
Ya que la varianza es conocida, 1 − α =0.99, entonces α =0.
Luego:
α
Z
1 − α / 2
= Z
(Factor de fiabilidad)
Si reemplazamos en la fórmula nos quedaría
√^50
≤ μ ≤ 0.995+2.
√^50
Quedando finalmente:
0.987714 ≤ μ ≤ 1.002286, ese sería el IC al 99%.
El intervalo (0.988, 1.002) contiene el valor de la media de cantidad de galones en una lata
de pintura con una confianza del 99%
b) Según lo hallado se puede apreciar que varía en torno a la media en 0.07 galones,
por lo que este valor es muy pequeño y no debería ser motivo de queja.
- Se van a realizar durante un mes pruebas de mercado de un nuevo cereal para desayuno,
en las tiendas de una gran cadena de supermercados. Los resultados para una muestra de
16 tiendas señalaron ventas promedio de 1200 soles con una desviación estándar de 180
soles.
Obtenga un intervalo de confianza del 99% de las ventas promedio reales de este nuevo
cereal para desayuno.
UO: Tienda de una cadena de supermercados
CUO: Todas las tiendas de una cadena de supermercados
Muestra: Se tomó una muestra aleatoria de 16 tiendas
Variable poblacional de interés, X: Promedio de ventas de un cereal nuevo.
Datos del problema σ = 180 , n = 16, μ = 1200 ,
Ya que la varianza es conocida: 1 − α =0.
α
Z
1 − α / 2
= Z
(Factor de fiabilidad)
Si reemplazamos en la fórmula nos quedaría
- Se seleccionó una muestra aleatoria de 30 docentes de entre los profesores de una
universidad con el objeto de estimar la experiencia docente media de ellos. Los
resultados obtenidos en la muestra (medidos en años) fueron:
Utilizando la información anterior, obtenga:
a. Una estimación puntual para estimar la experiencia docente media de los profesores
de la universidad
b. Un intervalo de confianza 0.99 para estimar la experiencia docente media de los
profesores de la universidad.
Individuo: Docente de una universidad
Conjunto de individuos: Todos los docentes de una universidad
Muestra: Se tomó una muestra aleatoria de 30 docentes
Variable poblacional de interés, X: Años de experiencia
Hallando los datos a partir de Excel:
Media P. 4
Desviación 1.
Varianza 1.
Datos:
X =4, s =1.
El intervalo de confianza es (^) I =(
X − E ,
X + E ) para^
μ x
, con una confianza de 99%
Utilizamos t de Student con 30-1 grados de libertad
El valor de
t ( 30 − 1 ) y con un nivel de confianza del 90% es
t ( 30 −1,0.99)
Luego nos quedaría:
I =
(
√^30
≤ μ x
√^30
)
I =( 4 −0.254 ≤ μ x
I =( 3.746 ≤ μ x
El intervalo (3.746, 4.254) contiene el valor de la media experiencia de cada docente
con una confianza del 90%
- La gerencia de una empresa manufacturera desea determinar el tiempo medio requerido
para realizar un determinada operación manual. Se precisa tener una confianza 0.95 de
que el error en la estimación no exceda a 2 minutos.
a. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si la desviación estándar del tiempo necesario
para realizar la operación ha sido estimada por un experto en estudios de tiempos y
movimientos en 10 minutos?
b. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si la desviación estándar del tiempo necesario
para realizar la operación ha sido estimada por un experto en estudios de tiempos y
movimientos en 16 minutos?
c. Explique intuitivamente (Sin hacer referencias a la fórmula) por qué el tamaño
necesario es mayor en (b) que en (a).
Individuo: Empleado de una empresa manufaturera
CUO: Todos los empleados de una empresa manufaturera
Muestra: No precisado.
Variable poblacional de interés, X: Tiempo requerido para una determinada
operación manual
Datos del problema:
E = 2
1 − α =0.
k = φ ( 0.975) =1.
a. Tamaño de la muestra para: σ^ x
E = k
(
σ x
√ n
)
Reemplazando datos :1.
(
√ n
)
n =96.
El tamaño de la muestra para una desviación de 10, será n=
b. Tamaño de la muestra para σ^ x
E = k
(
σ x
√ n
)
Reemplazando datos :1.
(
√ n
)
n =245.
El tamaño de la muestra para una desviación de 16, será n=
c. La desviación al ser mayor hace que la varianza de los datos sea mucho mayor y
por ende para una mayor precisión se requiere que el tamaño de la muestra sea
mayo.
- El departamento de servicios al cliente de una empresa local de servicios públicos de
gas quiere estimar el tiempo medio entre la llegada de la solicitud de servicio y la
conexión del mismo. De los registros disponibles del año anterior se seleccionó una
muestra aleatoria de 15 casas. Los resultados en días fueron los siguientes:
Obtenga un intervalo de confianza del tiempo de espera medio del año anterior.
Individuo: Casa de una determinada ciudad
Conjunto de individuos: Todas las casas de la ciudad sería la población
