¡Descarga Probabilidad de Formación de Triángulos al Seleccionar Aleatoriamente sus Lados y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Monografía Matemática Probabilidad geométricas en la construción de triángulos Introducción Planteo del problema Se divide una varilla en tres piezas eligiendo los dos putnos de corte al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que con las tres partes se forme un triángulo, si: a) Las tres partes fueran las lados del mismo? (Caso 1) b) Dos partes son lados del triángulo y el restante es la altura con respecto a uno de ellos? (Caso 2) c) Dos partes son lados del triángulo y el restante es la altura con respecto al tercer lado? (Caso 3) d) Dos partes son lados del triángulo y el restante es la mediana con respecto a uno de ellos? Como es usual la primera etapa es modelar matemáticamente el experimento aleatorio. Tomaremos la longitud de la varilla como nuestra unidad de longitud, es decir identificamos a la varilla con el intervalo [0;1]. Para dividir la varilla en tres partes necesitamos seleccionar dos puntos en el intervalo. Así, con X denotamos el primer punto y con Y el segundo punto elegido. Como X e Y son elegidos al azar (son variables aleatorias). Cada par (X,Y) posible es un punto del plano, en el cuadrado de lado 1, como muestra en la figura. Este cuadrado es el espacio muestral de nuestro experimento. Figura 20 Caso 1: Selección al azar de los tres lados. ¿Qué sucede si ambos números elegidos al azar fueran menor que 2 1 ? Si ambos números elegidos al azar fueran menores que 2 1 , es decir, si x < 2 1 y y < 2 1 , no es posible contruir un triángulo ¿por qué? Geométricamente: “Sin pérdida de generalidad, supongamos x < y entonces los lados del posible triángulo son: a = x b = y – x c = 1 – y
Fig. Una justificación analítica sería la siguiente: La desigualdad a<b+c se cumple en forma trivial. La desigualdad b<a+c se cumple porque a + c = x + ( 1 – y) = 1 – b pero a+ c > 2 1 entonces 1 – b > 2 1 y por lo tanto b < 2 1 y la desigualdad en cuestión se cumple. Mostremos que no se cumple que c < a + b ; como y < 2 1 entonces 1 – y > 2 1 o sea c > 2 1 , por otro lado a + b = x+ (y – x) = y < 2 1 o sea c debe ser menor que 2 1
. Lo que es imposible. ¿Qué sucede si ambos números elegidos al azar fueran mayores que 2 1 ? Siguiendo un razonamiento análogo al del párrafo anterior es fácil probar qure no es posible formar un triángulo si ambos números elegidos son mayores que 2 1 . ¿Qué sucede si un número elegido al azar fuera menor que 2 1 y el otro mayor que 2 1 ? Consideramos la situación x < 2 1 ; y > 2 1 entonces si asignamos los números aleatorios a las medidas de los posibles lados del triángulo como: a = x , b = y – x y _c = 1
- y_. Fig. 23 Es trival que a < b + c y c < a + b es siempre verdadero. Pero la desigualdad b < a + c no siempre se cumple, por ejemplo: Si x = 4 1 e y = 10 9
a =
4 1 ; b = 10 9
- 4 1 ; c = 10 1 pero b = 10 9 - 4 1 = 40 26 > 4 1 + 10 1 = 40 14 = a + b La desigualdad b < a + c se cumple cuando los números aleatorios cumplen la misma, es decir si: y – x < x + ( 1 – y) o equivalentemente y – x < 2 1 Así la región del palno de los puntos cuyas coordenadas permiten formar un triángulo bajo las condiciones impuestas es la de la siguiente figura: Fig.
Análogamente trabajando con x > y se obtienen las restricciones x > 2 1 , x – y < 2 1 e y < 2 1 . Este enfoque nos permite generalizar el problema a la construcción al azar de un polígono. Es decir, si se elige n puntos al azar en un segmento de longitud 1, la pregunta sería ¿Cuál es la probabilidad que un polígono de n + 1 lados pueda ser construido a partir de los n + 1 segmentos obtenidos? Las condiciones para la construcción de un polígono es que cada lado del mismo sea menor que la suma de los restantes y como además deben sumar 1 se puede demostrar que equivale decir que cada segmento mida menos de
Caso 2: Selección al azar de dos lados y la altura con respecto a uno de ellos. Sean los lados seleccionados a y b , y la altura con respecto al lado a : ha. Como antes, sean x e y los números aleatorios seleccionados en el intervalo [0;1], supongamos que x < y y hagamos las asignamos como se ilustra en la siguiente figura: Fig. 28 a = x b = y – x ha = 1 – y De acuerdo con a las condiciones geométricas realizadas en el problema 5 de la construcción de triángulos, la altura con respecto al lado a no debe ser mayor con respecto al otro lado: b.
Es decir que nuestro contexto , debe ocurrir que: 1 – y y – x que es equivalente a y
2 x
2 1
. La región correspondiente en el cuadrado de referencia se muestra en la siguiente figura: Fig. Con la condición x < y se obtiene el triángulo simétrico respecto a la recta y = x. Por lo tanto, la región favorable a la situación completa es la que se muestra en la siguiente figura: Fig. 30 Caso 3: Selección al azar de dos lados y la altura con respecto al tercer lado. Sean los lados seleccionados a y b , y la altura con respecto al lado c : hc. Como antes, sean x e y los números aleatorios seleccionados en el intervalo [0;1], supongamos que x < y y hagamos las asignaciones como se ilustra en la figura: Fig.
De acuerdo a las consideraciones geométraicas realizadas anteriormente, cada uno de los lados no pueden ser menores que la altura con respecto al otro lado. Es decir en nuestro
contexto, debe ocurrir que: x 1 – y e y – x 1 – y.
Cada uno de los gráficos siguientes ilustra una de las dos desiguladades anteriores. Fig. 32 Por lo tanto la intersección de ambas regiones cumple simultáneamente las dos inecuaciones: Fig.
Así cuando x < y los puntos del cuadrado unitario que verifican simultáneamente x 1 –
y , 2 y – x 1 son los del triángulo de la figura. Éste tiene un lado de magnitud 1
considerado como base y la altura correspondiente igual a 1/3 entonces su área es de 1/6. Con la otra condición x < y , realizando las asginaciones siguientes: Fig. a = y b = x – y hc = 1 – x Las restricciones para la obtención de un triángulo se traducen en función de las longitudes
de los posibles lados como: y 1 – x y x – y 1 – x. Procediendo similarmente con
las desigualdades se obtiene el triángulo de la Fig.35, como la región de puntos del cuadrado que verifican simultáneamente las desigualdades. Este triángulo tiene la misma área que el triángulo de la figura anterior porque es su simétrico con respecto a la recta y = x. Fig. Así en la región formada por la unión de los triángulos obtenidos anteriormente se cumplen las restricciones correspondientes a la construcción de un triángulo conociendo dos de sus lados y la altura con respecto al tercero. Por lo tanto la probabilidad de contruir un triángulo bajo las condiciones expuestas en apartado es de 1/3. Caso 4: Selección al azar de dos lados y la mediana con respecto a uno de ellos. Sean los lados seleccionados a y b , y la mediana con respecto al lado a : ma. Como antes, sean x e y los números aleatorios seleccionados en el intervalo [0;1]. Supongamos primero que x < y , y hagamos las asignaciones como se ilustra en la figura. Fig.
