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ES UN PROBLEMARIO CON DIVERSOSO EJERCICIOS DE CALCULO INTEGRAL QUE PUEDEN AYUDAR A MADURAR LOS CONOCIMIENTOS VISTOS EN CLASES
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Universidad Aut´onoma Chapingo
Preparatoria Agr´ıcola Area de Matem´´ aticas
PROBLEMARIO DE C ´ALCULO INTEGRAL Enero 2020
Elabor´o: ACADEMIA DE C ´ALCULO/2. Basado en la propuesta del Prof. J. Jes´us P´erez y Prof. Margarito Soriano.
5.2.1. Caso 1. f
5.2.2. Caso 2. f
5.2.3. Caso 3. f
8 Sol: 3. 2148
3 Sol: 4. 0375
sin(31. 5 ◦) Sol: 0. 5226
Resuelva los siguientes problemas aproximando con diferenciales.
πm^3
πr^3. Emplee diferenciales para determinar el incremento aproximado del volumen de la bacteria cuando el radio aumenta de 2. 2 μm a 2. 3 μm Resp. ≈ 6. 08 μm^3
cm de espesor. Si el costo del metal que se emplear´a es de $0.20 por cent´ımetro c´ubico, utilece diferenciales para determinar el costo aproximado del metal utilizado en la construcci´on de la caja. Resp. ≈ $
f t =
in
Calcule las siguientes integrales inmediatas.
(3 − 2 x) dx = 3x − x^2 + C
(100 − 3 x^2 ) dx = 100x − x^3 + C
(x^2 − x^3 ) dx = x^3 3
x^4 4
√ (^38) x (^7) dx = 3 5 x^10 /^3 + C
ax dx = 2 x
ax 3
4 x^2 − 2
x x dx = 2x^2 − 4
x + C
(x + 1)(x − 2) √ x dx =
x^5 /^2 −
x^3 /^2 − 4 x^1 /^2 + C
(x − 1)^2 x dx = x^4 4
2 x^3 3
x^2 2
(2x + 3)^2 dx = 4 x^3 3
(2x + 3)(3x − 2) dx = 2x^3 + 5 x^2 2 − 6 x + C
− 8 x^4 + 3x^2 + 9 3 x^3 dx = −
x^2 + ln(x) −
2 x^2
x
x^4
dx = 5 ln(x) +
x^3 +
x^3
a +
√ x)^2 x dx = 2a
x + 2
ax + 2 x^3 /^2 3
√^2 a x
b x^2
x^2
dx = 4a
x + b x
hx^5 /^3 + C
(nx)
1 −nn dx = (nx) n^1
sin(x) + cos(x) cos(x) dx = ln |sec(x)| + x + C
csc^2 (x) − 2 ex
dx = − 2 ex^ − cot(x) + C
1 + tan^2 (x)
dx = tan(x) + C
sec(x) (sec(x) + tan(x)) dx = tan(x) + sec(x) + C
2.2.2. Integrales que originan un logaritmo natural
dx 2 x − 3
ln | 2 x − 3 | + C
dx 3 x + 2
ln | 3 x + 2| + C
x x^2 − 1 dx =
ln |x^2 − 1 | + C = ln
x^2 − 1 + C
2 x + 3 x^2 + 3x dx = ln |x^2 + 3x| + C
x + 2 x^2 + 4x
dx =
ln |x^2 + 4x| + C
x^2 1 − 2 x^3 dx = −
ln | 1 − 2 x^3 | + C
x^2 + 2 x^3 + 6x − 1 dx =
ln |x^3 + 6x − 1 | + C
x^2 − a^2 x^3 − 3 a^2 x dx =
ln |x^3 − 3 a^2 x| + C
5 x^2 10 x^3 + 15 dx =
ln | 10 x^3 + 15| + C
5 bx 8 a − 6 bx^2 dx = −
ln | 8 a − 6 bx^2 | + C
√ dx x(1 +
x) = 2 ln
x
xn−^1 − 1 xn^ − nx dx =
n ln |xn^ − nx| + C
sin(x) a + b cos(x) dx = −
b ln |a + b cos(x)| + C
sec^2 (x) 1 + 3 tan(x)
dx =
ln |1 + 3 tan(x)| + C
1 + cos(x) x + sin(x) dx = ln |x + sin(x)| + C
sin(x) 1 + cos(x) dx = − ln |1 + cos(x)| + C
cos(x) 1 + sin(x) dx = ln |1 + sin(x)| + C
2 ex ex^ + 1 dx = 2 ln |ex^ + 1| + C
ex a + bex^ dx =
b ln |a + bex| + C
e^2 x e^2 x^ + 1 dx = ln
e^2 x^ + 1 + C Para verificar las siguientes integrales, puede proceder de alguna(s) de las siguientes formas: (1) Mediante un cambio de variable, selec- ci´onelo con cuidado. (2) Realizando la divisi´on antes de integrar. (3) Sumando y restando, luego separar el quebrado.
x + 2 x + 1 dx = x + ln |x + 1| + C
2 x − 1 2 x + 3 dx = x − 2 ln | 2 x + 3| + C
dx ex^ + 1 = x − ln |ex^ + 1| + C
e^3 x ex^ − 1 dx = e^2 x 2
ex^ − 1 ex^ + 1
dx = 2 ln |ex^ + 1| − x + C
aex^ + b aex^ − b dx = 2 ln |aex^ − b| − x + C
2.2.3. Funci´on exponencial
Verificar las siguientes integrales usando cambio de variable simple.
e^5 x^ dx =
e^5 x^ + C
e−^3 x^ dx = −
e−^3 x^ + C
ex^ dx = −e−x^ + C
e nx dx = ne xn
xex 2 dx =
ex 2
e
√x √ x dx = 2e
√x
e
√x − 3 √ x dx = 2e
√x − 6
x + C
esin(x)^ cos(x) dx = esin^ x^ + C
e2 cos(x)^ sin(x) dx = − e2 cos^ x 2
e3 cos(2x)^ sin(2x) dx = − e3 cos(2x) 6
e xa
e xa
(ex^ + 1)^2 dx =
e^2 x^ + 2ex^ + x + C
etan(x) cos^2 (x)
dx = etan^ x^ + C
a^2 x^ dx =
a^2 x ln(a)
103 x^ − 10 −^3 x^ dx = 103 x^ + 10−^3 x 3 ln(10)
x · 2 x 2 dx = 2 x^2 −^1 ln(2)
√x √ x dx =
√x
ln(7)
ktan(x) cos^2 (x) dx = ktan(x) ln(k)
(tan(2x) − sec(2x)) dx = − ln |sin(2x) + 1| 2
dx 1 + cos(x)
= − cot(x) + csc(x) + C
dx 1 − sen(x) = tan(x) + sec(x) + C
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la soluci´on de cualquier problema. George Polya
Resolver los siguientes problemas usando integraci´on indefinida.
2.3.1. Integraci´on con condiciones iniciales
Resp. y = 4x^2 − 4 x − 3; y(4) = 45.
Resp. y = f (x) = x^3 − x − 2.
Resp. y = x^2 − 3 x + 2.
x. Si el punto (9, 4) est´a en la curva, obtenga la ecuaci´on de la misma.
Resp. y = 2x^3 /^2 − 50.
Sugerencia considere d^2 y dx^2
dy′ dx , y obtenga una ecuaci´on que con- tenga a y′, x y la constante C 1. A partir de esta ecuaci´on determine otra ecuaci´on que involucre a y, x, C 1 y C 2. Calcule C 1 y C 2 a partir de las condiciones.
Resp. y = x^2 −
x^3 +
x + 2
Resp. y = 121 x^4 − 3 x^2 + 2x − 121.
Resp. y = x^3 − 2 x + 4
Resp. y =
x^2 −
x^4 −
x +
Resp. y =
x^3 − x^2 − x +
2.3.2. Problemas de f´ısica. Optativo
a) Encontrar la funci´on posici´on que expresa la altura s en funci´on del tiempo t. b) ¿Cu´ando llegar´a la pelota al suelo?
Resp. a. s(t) = − 16 t^2 + 64t + 80 , b. t = 5 seg.
a) ¿Cu´anto tiempo ascender´a la pelota?
b) ¿Qu´e tan alto llegar´a la pelota? c) ¿Cu´anto tiempo tardar´a la pelota en llegar al suelo?
Resp. a. 2.039 s. , b. 20.387 m. , c. 4.077 s.
a) ¿Cu´anto tiempo le tomar´a a la piedra alcanzar el suelo? b) ¿Con qu´e rapidez golpear´a la pelota el suelo?
Resp. a. 3.029 s. , b. 29.714 m/s hacia abajo.
v =
(P 1 − P 2 )r 2 lη
dr,
donde P 1 y P 2 son las presiones en los extremos del tubo, η es la viscosidad del fluido y l es la longitud del tubo. Si v = 0 cuando r 0 = R demuestre que
v =
(P 1 − P 2 )(R^2 − r^2 ) 4 lη
Resp. y = 40x^5 /^2 + 19000.
a) ¿Cu´al fue la matr´ıcula en el 2000? b) ¿Cu´al es la matr´ıcula esperada para el 2008, si se supone que se incrementar´a a la misma tasa?
Resp. a. 8000 , b. 12000.
dG dP
Si G = 38 cuando P = 10, encuentre G.
Resp. G = −P 50 2 + 2P + 20
a) ¿cu´al era el ´area de la herida el lunes? y
b) ¿cu´al es el ´area anticipada de la citada herida para el viernes si contin´ua cicatrizando con la misma rapidez?
Resp. a. 5/2, b. 3/
Si y = 57.3 cuando x = 1, encuentre y.
es un modelo razonable para el aprendizaje. c) Encuentre P (t), considerando que P = 0 cuando t = 0, e in- terprete.
a) Suponga que la concentraci´on al tiempo t = 0 es 100 mg/dl. Determine la concentraci´on en cualquier tiempo, resolviendo la ecuaci´on diferencial b) Asumiendo que 160 < r k
encuentre l´ım t→∞ C(t) e interprete el resultado.
2.4.1. Integrales que originan trigonom´etricas inversas
Para empezar, resolver las siguientes integrales inmediatas.
dx x^2 + 9
arctan
(x 3
dx √ 1 − x^2
= arcsin(x) + C
√ dx 4 − x^2
= arcsin
(x 2
Compruebe las siguientes integrales por medio de cambio de variable simple.
dx 4 x^2 + 9
arctan
2 x 3
x x^4 + 3 dx =
arctan
x^2 √ 3
dx x
4 x^2 − 9
arcsec
2 x 3
√ dx 25 − 16 x^2
arcsin
4 x 5
dx x
x^4 − 1
arcsec
x^2
Para los siguientes ejercicios se requiere completar el trinomio cua- drado perfecto.
dx x^2 + 10x + 30
arctan
5(x + 5) 5
dx x^2 − 8 x + 25
arctan
x − 4 3
dz 2 z^2 + 2z + 5
arctan
2 z + 1 3
dx √ 20 + 8x − x^2
= arcsin
x − 4 6
dx 2 x^2 − 2 x + 1
= arctan (2x − 1) + C
√ dx 28 − 12 x − x^2
= arcsin
x + 6 8
c dx b^2 x^2 − a^2
c 2 ab ln
∣∣^ bx^ −^ a bx + a
Para los siguientes ejercicios se requiere completar el trinomio cua- drado perfecto.
dx x^2 + 6x + 8
ln
x + 2 x + 4
dx 3 − 2 x − x^2
ln
∣∣^ x^ + 3 x − 1
dr 4 r − r^2
ln
r r − 4
Verificar las siguientes integrales indefinidas
cos(x) dx 16 − 4 sin^2 (x)
ln
2 sin(x) + 1 2 sin(x) − 1
x + 2 √ x^2 + 9
dx =
x^2 + 9 + 2 ln
∣x^ +^
x^2 + 9
x + 2 √ x^2 + 2x − 3
dx =
x^2 + 2x − 3 + ln
∣∣x + 1 + √x (^2) + 2x − 3
2.4.3. Integrales que contiene ra´ıces de suma y diferencia de cuadrados. Optativo
25 − r^2 dr =
r
25 − r^2 +
arcsin
( (^) r 5
3 − 4 x^2 dx =
x
3 − 4 x^2 +
arcsin
2 x
x^2 − 36 dx =
x
x^2 − 36 − 18 ln
∣x +
x^2 − 36
3 x^2 + 5 dx =
x
3 x^2 + 5 +
ln
3 x +
3 x^2 + 5
3 − 2 x − x^2 dx = x + 1 2
3 − 2 x − x^2 + 2 arcsin
x + 1 2
Si se atasca en un problema de c´alculo y no sabe qu´e otra cosa hacer, intente integrar por partes o cambiar de variables. Jerry Kazdan
A diferencia del c´alculo de derivadas, no existe un procedimiento infalible que permita calcular la primitiva de una funci´on, suponien- do que exista. Existen no obstante, diferentes t´ecnicas para integrar algunos tipos de funciones. Las t´ecnicas m´as habituales son:
a) Integraci´on por cambio de variable simple b) Integraci´on por partes c) Integraci´on por fracciones parciales d ) Integraci´on de potencias trigonom´etricas e) Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica
Aplicar la t´ecnica de integraci´on por partes para verificar las siguien- tes integrales.
xex^ dx = xex^ − ex^ + C
x^2 ln(x) dx =
x^3 3 ln(x) −
x^3 + C
ln(y) y^3 dy = − ln(y) 2 y^2
4 y^2
ln(u) √ u du = 2
u ln(u) − 4
u + C
t sin(t) dt = −t cos(t) + sin(t) + C
x cos(2x) dx = x sin(2x) 2
cos(2x) 4
x sin(ax) dx = − x cos(ax) a
sin(ax) a^2
z sec(z) tan(z) dz = z sec(z) − ln |sec(z) + tan(z)| + C
xax^ dx = ax ln^2 (a)
(x ln(a) − 1) + C
z ln(z + 1) dz = (z^2 − 1) 2 ln(z + 1) − z^2 4
z 2
ln
y^2 + 2
dy = y ln(y^2 + 2) − 2 y + 2
2 arctan
y √ 2
ln(x +
1 + x^2 )dx = x ln(x +
1 + x^2 ) −
1 + x^2 + C
z
1 + z dz =
z (z + 1)^3 /^2 −
(z + 1)^5 /^2 + C
arcsin(x) dx = x arcsin(x) +
1 − x^2 + C
x arctan(x) dx =
x^2 + 1
arctan(x) −
x + C
sin^2 (x) dx =
x −
sin(2x) + C
sec^3 (y) dy =
sec(y) tan(y) +
ln |sec(y) + tan(y)| + C
Para verificar las siguientes integrales ser´a necesario aplicar el m´eto- do de integraci´on por partes dos veces.
x^2 sin(x) dx = −x^2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
(z^2 +5z+6) cos(2z)dz =
z 2
cos(2z)+
z^2 2
5 z 2
sen(2z)+ C
x^2 e^4 x^ dx = e^4 x 32
8 x^2 − 4 x + 1
(ln(x))^2 dx = x(ln(x))^2 − 2 x ln(x) + 2x + C
3.2.1. Caso 1. Factores lineales diferentes
6 x − 15 x^2 − 3 x dx = 5 ln (x) + ln (x − 3) + C
7 x − 1 x^2 − x − 6 dx = 3 ln (x + 2) + 4 ln (x − 3) + C
z + 16 z^2 + 2 z − 8 dz = 3 ln (z − 2) − 2 ln (z + 4) + C
3 w w^2 − 2 w − 3
dw = 3 ln (w + 1) 4
9 ln (w − 3) 4
7 x − 10 2 x^2 − 7 x − 4 dx = 3 ln (2 x + 1) 2
x^2 − 2 x^3 − 4 x dx = ln(x + 2) 4
ln(x) 2
ln(x − 2) 4
z^2 + 2 z + 3 z (z − 1) (z + 1) dz = ln (z + 1) − 3 ln (z) + 3 ln (z − 1) + C
4 y^2 − y − 8 y^3 − y^2 − 2 y dy = −ln (y + 1) + 4 ln (y) + ln (y − 2) + C
x + 1 x^3 + 5 x^2 − 6 x dx = − 5 ln (x + 6) 42
ln (x) 6
2 ln (x − 1) 7
3.2.2. Caso 2. Factores lineales repetidos
3 w + 2 w^2 (w + 1) dw = −ln (w + 1) + ln (w) −
w
y^2 − 2 y + 4 y (y − 2)^2
dy = ln (y) −
y − 2
2 x − 4 (x + 1) (x − 1)^2
dx = − 3 ln (x + 1) 2
3 ln (x − 1) 2
x − 1
x (x − 3) (x + 1)^2
dx = − 3 ln (x + 1) 16
3 ln (x − 3) 16
4 x + 4
2 w^2 − 25 w − 33 (w − 5) (w + 1)^2
dw = 5 ln (w + 1) − 3 ln (w − 5) −
w + 1
3 x^2 + 2 x − 4 (x + 1)^3
dx = 3 ln (x + 1) + 8 x + 11 2 x^2 + 4 x + 2
x − 2 x^3 − 2 x^2 + x dx = −2 ln (x) + 2 ln (x − 1) +
x − 1
x^3 + 1 x (x − 1)^3
dx = −ln (x) + 2 ln (x − 1) − x x^2 − 2 x + 1
6 w − 1 w^3 (2 w − 1)
dw = 8 ln (2 w − 1) − 8 ln (w) + 8 w − 1 2 w^2
3.2.3. Caso 3. Factores cuadr´aticos irreducibles diferentes
w^4 + 5w^2 + 4
dw =
arctan(w) −
arctan
(w 2
s^4 + 13s^2 + 36 ds =
arctan
( (^) s 2
arctan
( (^) s 3
2 x^3 + 9x (x^2 + 3)(x^2 − 2 x + 3) dx = ln |x^2 − 2 x + 3 | + 7 23 /^2 arctan
x − 1 √ 2
arctan
x √ 3
x − 15 (x^2 + 2x + 5)(x^2 + 6x + 10)
dx =
ln |x^2 + 2x + 5| −
ln |x^2 + 6 x + 10| − 2 arctan(x + 3) + C
3.2.4. Combinaci´on: Factores lineales y cuadr´aticos irre- ducibles
x (x^2 + 2) dx = ln (x) 2
ln (x^2 + 2) 4
2 x^2 − x + 4 x^3 + 4 x dx =
ln (x^2 + 4) 2
arctan
(x 2
(x + 1)^2 x^3 + x
dx = ln (x) + 2 arctan (x) + C
4 s^3 − 3 s^2 + 6 s − 27 s^4 + 9 s^2 ds = 5 ln (s^2 + 9) 3
2 ln (s) 3
s
3 x^3 − 4 x^2 − 4 x + 4 (x − 1)^2 (x^2 + 1)
dx = 2 ln
x^2 + 1
7 arctan (x) 2
ln (x − 1) +
2 x − 2
x^2 + 2 x + 3 x (x − 1) (x^2 + 3) dx = − ln (x^2 + 3) 4
arctan
√x 3
− ln (x) + 3 ln (x − 1) 2
2 z^2 + 4 z − 1 (z − 1) (z^2 + 2 z + 2) dz = ln (z^2 + 2 z + 2) 2
2 x^2 + 6 x + 7 (x + 2) (x^2 + 2 x + 3) dx = ln (x^2 + 2 x + 3) 2
arctan
x√+ 2
ln (x + 2) + C
3.2.5. Caso 4. Factores cuadr´aticos irreducibles repetidos. Optativo
z^2 (z^2 + 4)^2
dz =
arctan
(z 2
z 2 z^2 + 8
x^3 + 3 x (x^2 + 1)^2
dx = ln (x^2 + 1) 2
x^2 + 1
x^3 + x + 1 (x^2 + 1)^2
dx = ln (x^2 + 1) 2
arctan (x) 2
x 2 x^2 + 2
z^3 + z^2 (z^2 + 1)^2
dz = ln (z^2 + 1) 2
arctan (z) 2
z − 1 2 z^2 + 2
x^2 (2 x^2 + 2 x + 1)^2
dx =
arctan(2x + 1) 2
8 x^2 + 8 x + 4
x^2 + x + 2 (x^2 + 2 x + 3)^2
dx =
arctan
x + 1 √ 2
2 x^2 + 4 x + 6
