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CÁLCULO INTEGRAL

MANUAL

114 PROBLEMAS RESUELTOS

ABEL VALDÉS

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Definición de incremento. Sea una función dada por entonces el incremento de la función se define como.

Definición de derivada. Sea una función dada por entonces la derivada de la función se define como.

Nota. Para una mejor comprensión es mejor escribir en notación de Leibniz la anterior definición, es decir.

Simplemente escribiendo

Definición de diferencial. Como entonces, dado que tanto como son

cantidades, infinitamente pequeñas, pero al final de cuentas son cantidades, se tiene, despejando.

O bien.

Como

Entonces considerando que , en palabras se dice que:

“El diferencial de la función es aproximadamente igual al incremento de la función”

Estimación de valores numéricos. A partir de la expresión

Al despejar a se tiene que.

O bien, se tiene que.

Estimación de valores numéricos.

3.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión

Solución. Sea entonces , Se tiene, al sustituir.

Evaluando, con

Se tiene.

Por lo tanto.

4.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión

Solución. Sea entonces , Se tiene, al sustituir.

Evaluando, con

Nótese que, para poder efectuar las operaciones aritméticas se tiene la equivalencia de grados en radianes por lo que. Se tiene.

Por lo tanto.

Cálculo de diferenciales.

Para obtener el diferencial de una función , básicamente consiste en obtener la derivada de la misma función y multiplicarla por la diferencial de la variable independiente, Esto es.

Operaciones básicas.

Así, se tienen las fórmulas básicas de diferenciación.

Sean las funciones. Y entonces

i) Diferencial de una suma.

ii) Diferencial de una resta. Nótese que para la resta se tiene una expresión semejante.

iii) Diferencial de un producto.

iv) Diferencial de un cociente

Cálculo de diferenciales.

5 .- Calcula el diferencial de la siguiente función.

Donde

Solución.

Se tiene que.

Por lo tanto.

8.- Calcula la diferencial de la siguiente función.

Donde

Solución.

Se tiene que.

Entonces.

Al simplificar se tiene. (Primero lo que está dentro del paréntesis).

Por lo tanto.

INTEGRACIÓN INMEDIATA

Antidiferencial de una función.

Planteamiento general, al buscar la antidiferencial de una función se tiene.

Donde , entonces

Cambio de variable.

Al tener una integral inmediata se considera la composición de funciones, la forma general se

plantea de la siguiente manera.

Donde entonces.

¿Cómo se puede interpretar esta expresión?

Sea entonces.

Se tiene que

Entonces

Así que.

Es decir.

En una integración inmediata debe aparecer tanto una función como su derivada.

Integral de una potencia.

Porque, al tomar el diferencial de la función se tiene.

Si.

Entonces.

Nota. Casos particulares.

Solución. Efectuando el producto entre binomios y simplificando.

Entonces.

Que al calcular las integrales se tiene.

Por lo tanto.

Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando.

Entonces.

Al calcular las integrales se tiene.

Por lo tanto.

Integrales de la fórmula.

Solución.

Haciendo un cambio de variable se tiene

Así que.

Por lo tanto.

Nótese que si se desarrolla primeramente el binomio al cuadrado, se obtiene.

Por lo tanto.

Ambos resultados son correctos, ahora bien para establecer la equivalencia, se tiene desarrollando el binomio al cubo del primer resultado, como Entonces.

Solución.

Haciendo un cambio de variable se tiene

Así que.

Por lo tanto.

Al igual que en el ejemplo anterior, desarrollando el binomio al cuadrado, se obtiene.

Resultando correctos ambos resultados, porque, al desarrollar el binomio al cubo.

Solución.

Multiplicando el integrando por “ un uno adecuado”, en este caso será el conjugado.

Aplicando la identidad trigonométrica.

Entonces.

Por lo que.

Por lo tanto.

Nota.. Porque , mientras que.

Que se lee. “arco cuyo seno es ” ó bien, “ángulo cuyo seno es ”

19.-

Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado.

Aplicando la identidad trigonométrica Es conveniente este despeje porque es una integral inmediata. Así que.

Entonces.

Por lo tanto.

Integrales de la fórmula.

20.-

Solución. Haciendo un cambio de variable.

Así que.

Por lo tanto.

Solución. Haciendo un cambio de variable.

Así que.

Por lo tanto.

Solución. Debe efectuarse primero la división entre los polinomios de primer grado, entonces.

Así que. Haciendo

Por lo tanto.

25.-

Solución. Primera solución. Efectuando la división.

Así que. En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado” en este caso Haciendo

Por lo tanto.

Segunda Solución. Separando en dos integrales.

Así que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado ” en este caso Haciendo

Por lo tanto.

Tercera solución. Reescribiendo el integrando, sumándole “ un cero adecuado”.

Por lo que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo.

Por lo tanto.

Las 3 soluciones son equivalentes.

Solución.

Haciendo un cambio de variable.

Se tiene que.

Por lo tanto.

Nota.

De este último ejemplo se desprenden las siguientes fórmulas básicas importantes.

Segunda solución. Haciendo el cambio de variable.

Por lo que.

Por lo tanto.

Que son soluciones equivalentes, porque al desarrollar el binomio al cubo, se tiene que.

29 .-

Solución.

Desarrollando el binomio al cuadrado y separando las integrales.

Por lo que. Haciendo un cambio de variable.

Entonces.

Por lo tanto.

Integrales que contienen expresiones de la forma

Integrales de la fórmula.

i) Como la suma es conmutativa entonces se tiene lo mismo para.

ii) Para denotar la función inversa de la tangente se tiene.

aunque de esta última notación no se debe confundir

Solución.

Se tiene

Haciendo un cambio de variable

Entonces.

Por lo tanto.

Solución. Se efectúa la división entre los polinomios de segundo grado.

Entonces. En la segunda integral se tiene.

Haciendo un cambio de variable.

Por lo tanto.