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UNIDAD
INTERPOLACIÓN
Y APROXIMACIÓN
DE FUNCIONES
Resolución de los problemas propuestos
Problemas propuestos de Interpolación de Lagrange
Problema 1. Dada la función f (x) = cos(x), determinar su polinomio interpo- lador de Lagrange de grado 1 que pasa por los puntos
- 146447 , f (0.146447)
( y
- 853553 , f (0.853553)
Solución: Si consideramos x 0 = 0. 146447 y x 1 = 0. 853553 , los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
x − x 1 x 0 − x 1
x − 0. 853553
- 146447 − 0. 853553
- 853553 − x
- 707106
L 1 (x) =
x − x 0 x 1 − x 0
x − 0. 146447
- 853553 − 0. 146447
x − 0. 146447
- 707106
Como f (0.146447) = 0. 989296 y f (0.853553) = 0. 657310 , el polinomio interpolador es
P 1 (x) = 0. 989296 L 0 (x) + 0. 657310 L 1 (x)
[
0 .989296 (0. 853553 − x) + 0.657310 (x − 0 .146447)
]
20 Interpolación de Langrange
Problema 2. Dada la función f (x) = cos(x), determinar su polinomio interpolador de Lagrange de grado 2 que pasa por los puntos
0 , f (0)
- 5 , f (0.5)
y
1 , f (1)
Solución: Si consideramos x 0 = 0, x 1 = 0. 5 y x 2 = 1, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x − 0 .5)(x − 1)
- 5
= 2(x − 0 .5)(x − 1) = (2x − 1)(x − 1),
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
x(1 − x)
- 25
= 4x(1 − x),
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
x(x − 0 .5)
- 5
= 2x(x − 0 .5) = x(2x − 1).
Como f (0) = 1, f (0.5) = 0. 877583 y f (1) = 0. 540302 , el polinomio interpolador es
P 2 (x) = L 0 (x) + 0. 877583 L 1 (x) + 0. 540302 L 2 (x)
= (2x − 1)(x − 1) + 3. 510332 x(1 − x) + 1.080604 (2x − 1).
Problema 3. El peso específico del agua a diversas temperaturas, evaluadas en grados centígrados, está dado en la tabla siguiente:
T 0 1 2 3 P 0. 999871 0. 999928 0. 999969 0. 999991
Aproximar el valor de la presión a T = 1. 3 grados usando interpolación de Lagrange lineal, cuadrática y cúbica. En cada caso, hacer la elección de nodos más adecuada.
Solución: (i) Como vamos a realizar una interpolación lineal utilizaremos la información en los dos nodos más próximos a T = 1. 3 , es decir x 0 = 1 y x 1 = 2. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
x − x 1 x 0 − x 1
= 2 − x y L 1 (x) =
x − x 0 x 1 − x 0
= x − 1
de manera que el polinomio interpolador es
22 Interpolación de Langrange
Por tanto, P 3 (1.3) = 0. 999943.
Problema 4. Un termistor es un sensor resistivo de tem- peratura. Su funcionamiento se basa en la variación de la re- sistividad que presenta un semiconductor con la temperatura. Generalmente,los termistores son trozos de semiconductores hechos a partir de óxido metálicos como por ejemplo los del manganeso, níquel o cobalto. Los termistores tienen una repuesta no lineal res- pecto de la temperatura y sólo pueden utilizarse para un rango concreto de temperaturas. Por esta razón, cuando se fabrica un termistor, el fabricante ha de proporcionar también su curva de re- sistencia respecto de la temperatura. Para obtener la curva correspondiente a un termistor concreto, el fabricante ha realizado una serie de medidas obteniendo la siguiente tabla de datos:
R(Ohm) 1101. 0 911. 3 636. 9 451. 1 T (K) 25. 113 30. 131 40. 120 50. 128
Se pide determinar la temperatura correspondiente a R = 754. 8 mediante interpo- lación de Lagrange, utilizando siempre los datos más próximos a este valor de la resistencia, en los siguientes casos:
(a) Interpolación lineal; es decir, con un polinomio interpolador de primer grado.
(b) Interpolación cuadrática; es decir, con un polinomio interpolador de segundo grado.
(c) Interpolación cúbica; es decir, con un polinomio interpolador de tercer grado.
La curva de calibración que se suele utilizar en la industria, está dada por la identidad
1 T
= a 0 + a 1 ln (R) + a 2
ln (R)
ln (R)
donde los valores a 0 , a 1 , a 2 y a 3 se denominan constantes de calibración. Si de- nominamos y = (^) T^1 y x = ln (R), entonces la curva de calibración se reescribe como el polinomio y = P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 2 x^3. Se pide calcular las constantes de calibración y determinar con ellas el valor de la temperatura que corresponde a la resistencia R = 754. 8 Ohm.
Solución: (a) Como vamos a realizar una interpolación lineal sólo necesitamos la información en dos nodos. Los nodos más próximos al valor de R y que lo contienen en el intervalo que determinan, son x 0 = 636. 0 y x 1 = 911. 3. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 23
L 0 (x) =
x − x 1 x 0 − x 1
x − 911. 3
- 0 − 911. 3
- 3 − x
- 3
L 1 (x) =
x − x 0 x 1 − x 0
x − 636. 0
- 3 − 636. 0
x − 636. 0
- 3
de manera que el polinomio interpolador es
P 1 (x) = 40. 120 L 0 (x) + 30. 131 L 1 (x) =
[
40 .120(911. 3 − x) + 30.131(x − 636 .0)
]
Por tanto, P 1 (754.8) = 35. 809 , lo que significa que
el valor de la temperatura correspondiente a la resistencia de R = 754. 8 Ohm, se ha estimado mediante interpolación lineal en T = 35. 809 grados Kelvin.
(b) Como vamos a realizar una interpolación cuadrática sólo necesitamos la información en tres nodos. Los nodos más próximos al valor de R y que lo contienen en el intervalo que determinan, son x 0 = 451. 1 , x 1 = 636. 0 y x 2 = 911. 3. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x − 636 .0)(x − 911 .3)
- 98
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
(x − 451 .1)(911. 3 − x)
- 97
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
(x − 451 .1)(x − 636 .0)
- 06
de manera que el polinomio interpolador es
P 2 (x) = 50. 128 L 0 (x) + 40. 120 L 1 (x) + 30. 131 L 2 (x)
(x − 636 .0)(x − 911 .3) +
(x − 451 .1)(911. 3 − x)
(x − 451 .1)(x − 636 .0).
Por tanto, P 2 (754.8) = 35. 089 , lo que significa que
el valor de la temperatura correspondiente a la resistencia de R = 754. 8 Ohm, se ha estimado mediante interpolación cuadrática en T = 35. 089 grados Kelvin.
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 25
La curva de calibración es el polinomio de grado menor o igual a 3 que en los valores de x dados en la tabla anterior, toma los valores de y que están también representados en esa tabla. Por tanto, la curva de calibración no es más que el polinomio de Lagrange para esos valores. En este caso, x 0 = 6. 1117 , x 1 = 6. 4552 , x 2 = 6. 8149 y x 3 = 7. 0040 y los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x − x 3 )
(6. 4552 − x)(x − 6 .8149)(x − 7 .0040)
- 21553
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x − x 3 )
(x − 6 .1117)(x − 6 .8149)(x − 7 .0040)
- 06781
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )
(x − 6 .1117)(6. 4552 − x)(x − 7 .0040)
- 04783
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )
(x − 6 .1117)(x − 6 .4552)(x − 6 .8149)
- 09260
de manera que el polinomio interpolador es
Q 3 (x) = 0. 019949 L 0 (x) + 0. 024925 L 1 (x) + 0. 033188 L 2 (x) + 0. 039820 L 3 (x)
(6. 4552 − x)(x − 6 .8149)(x − 7 .0040)
(x − 6 .1117)(x − 6 .8149)(x − 7 .0040)
(x − 6 .1117)(6. 4552 − x)(x − 7 .0040)
(x − 6 .1117)(x − 6 .4552)(x − 6 .8149)
= − 2. 59956 + 1. 26194 x− 0. 20471 x^2 + 0. 01118 x^3.
Teniendo en cuenta la relación entre las variables x e y y la resistencia y la temperatura,
resulta que como ln (754.8) = 6. 6265 , entonces
T
= Q 3 (6.6265) = 0. 028008 , lo que
significa que
el valor de la temperatura correspondiente a la resistencia de R = 754. 8 Ohm, se ha estimado mediante la evaluación de la curva de calibración en T = 35. 7041 =
grados Kelvin.
26 Interpolación de Langrange
Problema 5. Se considera la Función Gamma, Γ : (0, +∞) −→ IR, definida como
Γ(x) =
0
e−ssx−^1 ds, x > 0.
Usando la siguiente tabla de valores de la función Gamma
x 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 Γ(x) 1. 00000 0. 95135 0. 91817 0. 89747
determinar el valor Γ(1.23) mediante interpolación cúbica.
Solución: Como vamos a realizar una interpolación cúbica utilizaremos la información en los cuatro nodos, es decir x 0 = 1. 0 , x 1 = 1. 1 , x 2 = 1. 2 y x 3 = 1. 3. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x − x 3 )
(1. 1 − x)(x − 1 .2)(x − 1 .3),
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )
= 500(x − 1 .0)(x − 1 .2)(x − 1 .3),
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )
= 500(x − 1 .0)(1. 1 − x)(x − 1 .3),
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )
(x − 1 .0)(x − 1 .1)(x − 1 .2),
de manera que el polinomio interpolador es
P 3 (x) = 1. 00000 L 0 (x) + 0. 95135 L 1 (x) + 0. 91817 L 2 (x) + 0. 89747 L 3 (x)
(1. 1 − x)(x − 1 .2)(x − 1 .3) + 475.67500(x − 1 .0)(x − 1 .2)(x − 1 .3)
- 459.08500(x − 1 .0)(1. 1 − x)(x − 1 .3) +
(x − 1 .0)(x − 1 .1)(x − 1 .2).
Por tanto, P 3 (1.23) = 0. 910786 , lo que significa que Γ( 1. 23 ) ≃ 0. 910786.
28 Interpolación de Langrange
(iii) Como vamos a realizar una interpolación cúbica utilizaremos la información en los cuatro nodos, es decir x 0 = 1, x 1 = 1. 5 , x 2 = 2 y x 3 = 2. 5. En este caso, los correspon- dientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x 0 − x 3 ) =
(x − 1 .5)(x − 2)(x − 2 .5) (1 − 1 .5)(1 − 2)(1 − 2 .5) =
(3 − 2 x)(x − 2)(2x − 5) 3 ,
L 1 (x) = (x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )
= (x − 1)(x − 2)(x − 2 .5) (1. 5 − 1)(1. 5 − 2)(1. 5 − 2 .5)
= 2(x − 1)(x − 2)(2x − 5),
L 2 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 ) = (x − 1)(x − 1 .5)(x − 2 .5) (2 − 1)(2 − 1 .5)(2 − 2 .5) = (1 − x)(2x − 3)(2x − 5),
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 ) =
(x − 1)(x − 1 .5)(x − 2) (2. 5 − 1)(2. 5 − 1 .5)(2. 5 − 2) =
2(x − 1)(2x − 3)(x − 2) 3 ,
de manera que el polinomio interpolador es
P 3 (x) = 1. 0 L 0 (x) + 1. 145 L 1 (x) + 1. 260 L 2 (x) + 1. 357 L 3 (x)
= 0.3333(3 − 2 x)(x − 2)(2x − 5) + 2.29(x − 1)(x − 2)(2x − 5)
- 1.260(1 − x)(2x − 3)(2x − 5) + 0.9047(x − 1)(2x − 3)(x − 2).
Por tanto, P 3 (1.7) = 1. 194.
Problema 7. La siguiente tabla reproduce los valores de una función f en varios nodos: x 0. 0 1. 0 2. 0 3. 0 f (x) 1. 0 2. 7183 7. 3891 20. 0855 Aproximar el valor f (1.4) usando interpolación de Lagrange lineal, cuadrática y cúbica. En cada caso, hacer la elección de nodos más adecuada.
Solución: (i) Como vamos a realizar una interpolación lineal utilizaremos la información en los dos nodos más próximos a x = 1. 4 , es decir x 0 = 1. 0 y x 1 = 2. 0. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
x − x 1 x 0 − x 1
= 2 − x y L 1 (x) =
x − x 0 x 1 − x 0
= x − 1
de manera que el polinomio interpolador es
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 29
P 1 (x) = 2. 7183 L 0 (x) + 7. 3891 L 1 (x) = 2.7183(2 − x) + 7.3891(x − 1).
Por tanto, P 1 (1.4) = 4. 5866.
(ii) Como vamos a realizar una interpolación cuadrática utilizaremos la información en los tres nodos más próximos a x = 1. 4 , es decir x 0 = 0. 0 , x 1 = 1. 0 y x 2 = 2. 0. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
(x − 1)(x − 2) 2
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )
= x(2 − x),
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
x(x − 1) 2
de manera que el polinomio interpolador es
P 2 (x) = 1. 0 L 0 (x) + 2. 7183 L 1 (x) + 7. 3891 L 2 (x) = 0.5 (x − 1)(x − 2) + 2. 7183 x(2 − x) + 3. 69455 x(x − 1).
Por tanto, P 2 (1.4) = 4. 2323.
(iii) Como vamos a realizar una interpolación cúbica utilizaremos la información en los cuatro nodos, es decir x 0 = 0. 0 , x 1 = 1. 0 , x 2 = 2. 0 y x 3 = 3. 0. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x − x 3 )
(1 − x)(x − 2)(x − 3) 6
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )
x(x − 2)(x − 3) 2
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )
x(1 − x)(x − 3) 2
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )
x(x − 1)(x − 2) 6
de manera que el polinomio interpolador es
P 3 (x) = 1. 0 L 0 (x) + 2. 7183 L 1 (x) + 7. 3891 L 2 (x) + 20. 0855 L 3 (x)
= 0.16667 (1 − x)(x − 2)(x − 3) + 1. 3592 x(x − 2)(x − 3)
- 6946 x(1 − x)(x − 3) + 3. 3476 x(x − 1)(x − 2).
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 31
Por tanto, P 2 (3.14) = 29. 43.
(iii) Como vamos a realizar una interpolación cúbica utilizaremos la información en los cuatro nodos, es decir x 0 = 3. 0 , x 1 = 3. 1 , x 2 = 3. 2 y x 3 = 3. 3. En este caso, los correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L 0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x − x 3 )
500(3. 1 − x)(x − 3 .2)(x − 3 .3) 3
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3 )
= 500(x − 3 .0)(x − 3 .2)(x − 3 .3),
L 2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )
= 500(x − 3 .0)(3. 1 − x)(x − 3 .3),
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )
500(x − 3 .0)(x − 3 .1)(x − 3 .2) 3
de manera que el polinomio interpolador es
P 3 (x) = 24. 0 L 0 (x) + 27. 8 L 1 (x) + 32. 0 L 2 (x) + 36. 5 L 3 (x)
= 4000(3. 1 − x)(x − 3 .2)(x − 3 .3) + 13900(x − 3 .0)(x − 3 .2)(x − 3 .3)
- 16000(x − 3 .0)(3. 1 − x)(x − 3 .3) + 6083.33(x − 3 .0)(x − 3 .1)(x − 3 .2).
Por tanto, P 3 (3.14) = 29. 44.
Problemas propuestos de Interpolación Segmentaria
Problema 1. Construir el spline C^0 que corresponde a la siguiente tabla del IRPF para las rentas inferiores a 120000 AC
Base Cuota Íntegra % 10000 0 12. 00 15000 600 28. 00 20000 2000 35. 00 30000 5500 40. 00 50000 13500 45. 00 80000 27000 55. 00 120000 49000
32 Interpolación Segmentaria
Solución: En este caso, tenemos que x 0 = 10000, x 1 = 15000, x 2 = 20000, x 3 = 30000, x 4 = 50000, x 5 = 80000, x 6 = 120000. Por tanto, la base de splines C^0 determinados por ellos está dada por
Φ 0 (x) =
15000 − x 5000 , 10000 ≤ x ≤ 15000 , 0 , 15000 ≤ x ≤ 120000 ,
Φ 1 (x) =
x − 10000 5000 , 10000 ≤ x ≤ 15000 ,
20000 − x 5000 , 15000 ≤ x ≤ 20000 , 0 , 20000 ≤ x ≤ 120000 ,
Φ 2 (x) =
0 , 10000 ≤ x ≤ 15000 , x − 15000 5000 , 15000 ≤ x ≤ 20000 , 30000 − x 10000 ,^20000 ≤^ x^ ≤^30000 , 0 , 30000 ≤ x ≤ 120000 ,
Φ 3 (x) =
0 , 10000 ≤ x ≤ 20000 , x − 20000 10000 , 20000 ≤ x ≤ 30000 , 50000 − x 20000 ,^30000 ≤^ x^ ≤^50000 , 0 50000 ≤ x ≤ 120000
Φ 4 (x) =
0 , 10000 ≤ x ≤ 30000 , x − 30000 20000 , 30000 ≤ x ≤ 50000 80000 − x 30000 ,^50000 ≤^ x^ ≤^80000 , 0 , 80000 ≤ x ≤ 120000 ,
Φ 5 (x) =
0 , 10000 ≤ x ≤ 50000 , x − 50000 30000 , 50000 ≤ x ≤ 80000 120000 − x 40000 , 80000 ≤ x ≤ 120000 ,
Φ 6 (x) =
0 , 10000 ≤ x ≤ 80000 , x − 80000 40000 , 80000 ≤ x ≤ 120000.
Así pues, el Spline C^0 que interpola a f es S(x) =
∑^6
i=
f (xi)Φi(x); es decir, como f (x 0 ) = 0,
S(x) = 600Φ 1 (x) + 2000Φ 2 (x) + 5500Φ 3 (x) + 13500Φ 4 (x) + 27000Φ 5 (x) + 49000Φ 6 (x).
En definitiva,
S(x) =
x − 1200 , 10000 ≤ x ≤ 15000 ,
7 25
x − 3600 , 15000 ≤ x ≤ 20000 ,
7 20
x − 5000 , 20000 ≤ x ≤ 30000 ,
2 5
x − 6500 , 30000 ≤ x ≤ 50000 ,
9 20
x − 9000 , 50000 ≤ x ≤ 80000 ,
11 20
x − 17000 , 80000 ≤ x ≤ 120000.
34 Interpolación Segmentaria
tomar n = 14 y por tanto h =
. La base de splines C^0 determinados por los nodos está
dada por
Φ 0 (x) =
x − x 1 x 0 − x 1
, x 0 ≤ x ≤ x 1 ,
0 , x 1 ≤ x ≤ x 14 , .. .
Φj (x) =
0 , x 0 ≤ x ≤ xj− 1 , x − xj− 1 xj − xj− 1
, xj− 1 ≤ x ≤ xj ,
x − xj+ xj − xj+
, xj ≤ x ≤ xj+1,
0 , xj+1 ≤ x ≤ x 14 ,
j = 1,... , 13 ,
Φ 14 (x) =
0 , x 0 ≤ x ≤ x 13 , x − x 13 x 14 − x 13
, x 13 ≤ x ≤ x 14 ,
y el Spline C^0 que interpola a f es S(x) =
∑^14
j=
f (xj )Φj (x).
Sabemos que si n+1 es el número de puntos equiespaciados y consideramos h =
b − a n
n
y S el spline C^0 que interpola a f en dichos puntos, entonces el error de interpolación
está dado por
|f (x) − S(x)| ≤
K
h^2 para cada x ∈ [− 5 , 5], donde K = m´ax x∈[− 5 ,5]
{|f ′′(x)|}.
Para que el error sea inferior a 12 10 −m, es suficiente que
K
h^2 ≤ 12 × 10 −m^ y por tanto que
h^2 ≤
K 10 m^
=⇒ h ≤
K 10 m^
n
K 10 m^
=⇒ n ≥ 5
K 10 m.
Como f ′′(x) =
6 x^2 − 2 (1 + x^2 )^3
, resulta que K = m´ax x∈[− 5 ,5]
{|f ′′(x)|} = 2, véase la gráfica de f ′′
en la siguiente figura
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 35
aunque también se pueden determinar explícitamente los extremos de f en [− 5 , 5] teniendo
en cuenta que f ′′′(x) =
24 x(1 − x^2 ) (1 + x^2 )^4
y que f 4)(x) =
24(5x^4 − 10 x^2 + 1) (1 + x^2 )^5
En definitiva,
para que el error sea inferior a 0. 5 × 10 −^2 , debemos tomar n ≥ 5
2 ≃ 70. 7 ; es decir, 72 nodos de interpolación; mientras que para que el error sea inferior a 0. 5 × 10 −^5 , debemos tomar n ≥ 5
2 · 105 = 10^3
5 ≃ 2236. 1 ; es decir, 2238 nodos de interpolación.
Problemas propuestos de Aproximación por Mínimos Cuadrados
Problema 1. En un experimento se han obtenido los siguientes datos
x 0 0. 1 0. 3 0. 4 0. 6 0. 7 0. 8 f (x) 2. 11 3. 13 3. 01 4. 12 5. 11 5. 98 5. 45
Aproximar la función f (x) por una recta según el criterio de mínimos cuadrados.
Solución: En este caso, tenemos que x 0 = 0, x 1 = 0. 1 , x 2 = 0. 3 , x 3 = 0. 4 , x 4 = 0. 6 , x 5 = 0. 7 , x 6 = 0. 8.
Si P (x) = a 0 + a 1 x es el polinomio de primer grado que buscamos, los coeficientes se obtienen resolviendo las denominadas Ecuaciones normales
∑^6
i=
xi ∑^6 i=
xi
∑^6
i=
x^2 i
[
a 0 a 1
]
∑^6
i=
f (xi) ∑^6 i=
xif (xi)
TEMA 2. Resolución de los problemas propuestos 37
∑^6
i=
xi ∑^6 i=
xi
∑^6
i=
x^2 i
[
a 0 a 1
]
∑^6
i=
f (xi) ∑^6 i=
xif (xi)
Como
∑^6
i=
xi = 260,
∑^6
i=
x^2 i = 9852,
∑^6
i=
f (xi) = 8. 91 y
∑^6
i=
xif (xi) = 334. 68 , las Ecuaciones
normales se expresan como
[
] [
a 0 a 1
]
[
]
[
a 0 a 1
]
[
] [
]
Por tanto, aaaaaaaaaaaaaa 00000000000000 ==============
≃ 0. 56 , aaaaaaaaaaaaaa 11111111111111 ==============
≃ 0. 02 y
P (x) = 0.56 + 0. 02 x.
(b) Como el polinomio P obtenido en (a) determina una aproximación de la desviación, en milímetros, respecto del número de horas, para determinar cuándo la piezas producidas pueden presentar 2 mm. de desviación tenemos que resolver la ecuación
2 = P (x) = a 0 + a 1 x =⇒ x =
2 − a 0 a 1
de manera que
las piezas producidas pueden tener un error de 2 mm. después de 72 horas de funcionamiento ininterrumpido de la máquina.
Nota: Durante la discusión de este problema en las sesiones prácticas uno de los parti- cipantes planteó la siguiente cuestión: Si a las 70 horas de funcionamiento ininterrumpido de las máquinas, la ingeniera decide pararlas para que se refrigeren, ¿qué garantía tiene de haber tomado la decisión correcta? Matemáticamente lo que está en discusión es si con los datos disponibles, la recta de regresión representa una aproximación eficaz de la función que determina el desvío en las piezas en términos de las horas de funcionamiento. Naturalmente, esto ocurrirá si los puntos (xj , yj ), j = 0,... , n están alineados o cercanos a estar situados sobre una recta. La cuestión entonces se plantea como ¿cómo podemos medir que los puntos (xj , yj ), j = 0,... , n están más o menos situados sobre una recta, o más o menos cercanos a posicionarse sobre una recta? Sabemos que si ese es el caso, la recta de regresión será una opción adecuada para simular esa recta, ya que entre todas las elecciones posibles es la
38 Aproximación por Mínimos Cuadrados
que minimiza el desvío, medido globalmente como suma de cuadrados de los errores en cada nodo.
Dados los valores x 0 , x 1 ,... , xn ∈ IR, si x = (x 0 ,... , xn), la media y la variancia de x 0 ,... , xn están definidas respectivamente como
e(x) =
n + 1
∑^ n
j=
xj y σ(x)^2 =
n + 1
∑^ n
j=
xj − e(x)
n + 1
∑^ n
j=
x^2 j −
n + 1
∑^ n
j=
xj
Además, el valor σ(x) se denomina desviación típica de x 0 ,... , xn.
Si ahora consideramos los valores y 0 , y 1 ,... , yn ∈ IR y y = (y 0 ,... , yn), la covarianza entre los valores x 0 ,... , xn y y 0 ,... , yn está definida como
cov(x, y) =
n + 1
∑^ n
j=
xj − e(x)
yj − e(y)
Observad que
∑^ n
j=
xj yj = (n + 1)
[
cov(x, y) + e(x)e(y)
]
, cov(x, x) = σ(x)^2 y cov(y, y) = σ(y)^2
Cuando los valores x 0 ,... , xn no son iguales entre sí y lo mismo ocurre con los valores
y 0 ,... , yn, entonces se define el coeficiente de regresión entre x y y como ρ(x, y) =
cov(x, x) σ(x)σ(y)
Sabemos que (ver el Apéndice de los apuntes se este tema)
los puntos (xj , yj), j = 0,.. ., distan poco de estar situados en una recta, si y sólo |ρ(x, y)| es próximo a 1.
Para el caso que nos ocupa,
σ(x) = 5. 276052945 , σ(y) = 0. 1033322360 y cov(x, y) = 0. 5338775510
lo que implica que
ρ(x, y) = 0. 9792570065
de manera que es correcto aproximar los valores del problema mediante regresión lineal.
