¡Descarga Problemas de cálculo: intersección, aproximación y interpolación - Prof. Encinas y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
EXAMEN
GRUPO T
Solución
22 de octubre de 2015
MATEMÀTIQUES III. Curso 2015-16, E.U.E.T.I.B.
Problema 1. Se consideran las funciones f (x) = sen(x) y g(x) = 1 − x.
(i) Demostrar que las gráficas de f y de g se cortan en un único punto, α, del intervalo
[0, 1].
(ii) Si se utiliza el Método de la Bisección, ¿cuántas iteraciones han de realizarse para
asegurar a priori una aproximación a α con 3 cifras decimales correctas?
(iii) Realizar 5 iteraciones con el Método de la Bisección. Determinar el error relativo
del último iterante, x 5
(iv) Realizar 2 iteraciones con el Método de Newton tomando como iterante inicial
x 0 = 0. Determinar el error relativo del último iterante, x 2
Solución: Los puntos de corte de las gráficas de f y de g son los ceros de la ecuación
h(x) = f (x) − g(x) = 0; es decir,
α > 0 satisface que sen(α) = 1 − α si y sólo si es un cero de la función
h(x) = sen(x) + x − 1
(i) Como h(0) = − 1 < 0 y h(1) = sen(1) > 0 , resulta que h(0)h(1) < 0 y aplicando el
Teorema de Bolzano, h tiene un cero, al menos, en (0, 1).
Por otra parte, como h
′ (x) = cos(x) + 1 > 0 , si 0 < x < 1 , resulta que h es estrictamente
decreciente en (0, 1), de manera que tiene, a lo sumo, un cero en (0, 1). Por tanto, h tiene un
único cero en [0, 1] que denotaremos por α.
(ii) Si α ∈ [0, 1] es la única solución de la ecuación sen(x) = 1 − x, entonces
2 Eines Bàsiques de Càlcul Numèric
x
∗ ∈ (0, 1) es una aproximación de α con 3 cifras decimales correctas si y sólo si
|x
∗ − α| ≤
× 10
− 3
En el Método de la Bisección, sabemos que si partimos del intervalo [a, b] en el que
f (a)f (b) < 0 y x n es la aproximación obtenida tras n iteraciones, entonces |x n − α| ≤
b − a
n
Por tanto,
para asegurar que x n tiene 3 cifras decimales correctas respecto de α, es suficiente que
n satisfaga que
n
b − a
n
− 3 ; es decir,
3 ≤ 2
n− 1 ⇐⇒ 3ln (10) ≤ (n − 1)ln (2) ⇐⇒ n ≥ 1 +
3ln (10)
ln (2)
de manera que son necesarias 11 iteraciones para asegurar a priori una aproximación con 3
cifras decimales correctas.
(iii) Tomamos a = 0 y x 0 = 1 y como h(a)h(x 0 ) < 0 , el algoritmo puede comenzar.
Además, tendremos en cuenta que para calcular el error relativo del último iterante, x 5
tenemos que calcular x 6
. Después de 5 iteraciones, el resultado es
Iteración Extremo a Aproximación x
k f (x
k )
1 1 , 0000000 0 , 5000000 − 0 , 20574461 × 10
− 1
4 0 , 5000000 0 , 5625000 0 , 95802674 × 10
− 1
5 0 , 5000000 0 , 5312500 0 , 37861455 × 10
− 1
El error relativo del iterante x 5 es
|x 5 − x 6 |
|x 6
4 Eines Bàsiques de Càlcul Numèric
de manera que el polinomio interpolador es
P
1 (x) = 0, 999928 L 0 (x) + 0, 999969 L 1 (x) = 0,999928(2 − x) + 0,999969(x − 1)
Por tanto, P 1
(ii) Como vamos a realizar una interpolación cuadrática utilizaremos la información en los
tres nodos más próximos a T = 1, 3 , es decir x 0 = 0, x 1 = 1 y x 2 = 2. En este caso, los
correspondientes polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L
0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2
(x − 1)(x − 2)
L 1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2
= x(2 − x),
L
2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )
x(x − 1)
de manera que el polinomio interpolador es
P
2 (x) = 0, 999871 L 0 (x) + 0, 999928 L 1 (x) + 0, 999969 L 2 (x)
= 0,4999355 (x − 1)(x − 2) + 0, 999928 x(2 − x) + 0, 4999845 x(x − 1)
Por tanto, P 2 (1,3) = 0, 999942.
(iii) Como vamos a realizar una interpolación cúbica utilizaremos la información en los
cuatro nodos, es decir x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2 y x 3 = 3. En este caso, los correspondientes
polinomios de Lagrange están determinados por las identidades
L
0 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3
(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )(x − x 3
(1 − x)(x − 2)(x − 3)
L
1 (x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3
(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 )(x 1 − x 3
x(x − 2)(x − 3)
L
2 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3
(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3
x(1 − x)(x − 3)
L 3 (x) =
(x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )
(x 3 − x 0 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2
x(x − 1)(x − 2)
Ceros de funciones, Aproximación, Integración Numérica 5
de manera que el polinomio interpolador es
P 3 (x) = 0, 999871 L 0 (x) + 0, 999928 L 1 (x) + 0, 999969 L 2 (x) + 0, 999991 L 3 (x)
= 0,166645 (1 − x)(x − 2)(x − 3) + 0, 499964 x(x − 2)(x − 3)
- 0, 499985 x(1 − x)(x − 3) + 0, 166665 x(x − 1)(x − 2)
Por tanto, P 3
Problema 3. En un experimento se han obtenido los siguientes valores de la función f :
x − 1 1 3 5 7
f (x) 0 2 − 1 3 4
(i) Deducir las Ecuaciones Normales que determinan la Recta de Regresión.
(ii) Hallar el Spline C
0 lineal que interpola a f.
Solución: (i) Se pide encontrar el polinomio de primer grado P (x) = a 0
aproxima los valores dados en la tabla, en el sentido de mínimos cuadrados. En este caso,
tenemos que x 0 = − 1 , x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5, x 4 = 7.
Los coeficientes de P se obtienen resolviendo las denominadas Ecuaciones normales
4 ∑
i=
x i
4 ∑
i=
x i
4 ∑
i=
x
2
i
[
a 0
a 1
]
4 ∑
i=
f (x i
4 ∑
i=
x i f (x i
Como
4 ∑
i=
x i
4 ∑
i=
x
2
i
4 ∑
i=
f (x i ) = 8 y
4 ∑
i=
x i f (x i ) = 42, las Ecuaciones normales se
expresan como
[
] [
a 0
a 1
]
[
]
Ceros de funciones, Aproximación, Integración Numérica 7
Problema 4. Supongamos que f : [− 1 , 7] −→ R es de clase C
([− 1 , 7]) y que además
|f
′′
(x)| ≤ 8 , para cada x ∈ [− 1 , 7]. Se desea evaluar aproximadamente
7
− 1
f (x)dx
utilizando el Método del Trapecio compuesto con intervalos equiespaciados.
(i) ¿Cuántos intervalos hemos de utilizar para asegurar una aproximación con 3 cifras
decimales correctas?
(ii) Si hemos obtenido para f la siguiente tabla de valores
x − 1 1 3 5 7
f (x) 0 2 − 1 3 4
aplicar el Método del Trapecio compuesto para evaluar
7
− 1
f (x)dx.
Solución: (i) Recordemos que el Error cometido al calcular el valor de la integral
b
a
f (x)dx,
donde f ∈ C
([a, b]), mediante el Método del Trapecio compuesto con n subintervalos equies-
paciados, por tanto de tamaño h =
b − a
n
, es igual a:
E
T (n) =
(b − a)
3
12 n
2
f
′′
(ν), donde ν ∈ [a, b] =⇒ E T (n) ≤
(b − a)
3
12 n
2
m´ax
x∈[a,b]
{|f
′′
(x)|}
En nuestro caso, a = − 1 , b = 7, m´ax
x∈[a,b]
{|f
′′
(x)|} ≤ 8 , por lo que la anterior desigualdad se
expresa como
E
T (n) ≤
3 · 8
12 n
2
12 n
2
3 n
2
Para asegurar que la aproximación tiene 3 cifras decimales correctas, el error debe ser
inferior a
× 10
− 3 y por tanto, el número de intervalos debe satisfacer que
3 n
2
× 10
− 3 =⇒ n
2 ≥
2048 × 10
3
=⇒ n ≥
8 Eines Bàsiques de Càlcul Numèric
En definitiva,
debemos utilizar al menos 827 intervalos equiespaciados para aproximar
el valor de
7
− 1
f (x)dx mediante el Método de los Trapecios compuesto
con una aproximación con 3 cifras decimales correctas
(ii) Recordemos que la Regla del trapecio compuesta, en n subintervalos de longitud h se
expresa como
I =
n− 1 ∑
i=
h
[
f (x i ) + f (x i+
]
h
n− 1 ∑
i=
[
f (x i ) + f (x i+
]
h
[
f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + · · · + 2f (x n− 1 ) + f (x n
]
= h
[
f (x 0
- f (x 1 ) + · · · + f (x n− 1
f (x n
]
En este caso n = 4, h =
= 2, x 0 = − 1 , x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5 y x 4 = 7, lo que implica que
I = h
[
f (x 0
- f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) +
f (x 4
]
= f (−1) + 2
f (1) + f (3) + f (5)
Competencia Genérica.
(i) Expresar el número 4523 en base 2.
(ii) Se considera x ∈ R con |x| 6 = 1 y x¯ una aproximación de x. Razonar, dependiendo
de si |x| > 1 o |x| < 1 , cuándo para asegurar que x¯ tiene n cifras decimales
correctas respecto de x, basta exigir que tenga n dígitos significativos correctos y
cuándo para asegurar que x¯ tiene n dígitos significativos correctos respecto de x,
basta exigir que tenga n cifras decimales correctas. Poner un ejemplo de ambas
situaciones.
10 Eines Bàsiques de Càlcul Numèric
Ejemplo 1: Si consideramos x = 1, 238 y x¯ = 1, 241 , entonces
r(x) = 0, 0024 < 0 ,003 = E(x) y además, E(x) < 0 , 5 · 10
− 2
Ejemplo 2: Si consideramos x = 0, 238 y x¯ = 0, 241 , entonces
E(x) = 0, 003 < 0 ,013 = r(x) y además, r(x) < 0 , 5 · 10
− 1
