¡Descarga Examen Problemas Final 2014 y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
EPSEB-EGT EXAMEN D'ÀLGEBRA 2 07/01/
- Donat el sistema sobredeerminat de matriu A =
i vector de termes independents b =
a) Calculeu el sistema normal multiplicant per AT^ i resoleu-lo mitjançant descomposició LU. b) Feu la descomposició QR de la matriu A i resoleu el sistema QRX=b mitjancant aquesta descomposició. a) El sistema normal és ATAX = AT^ b.
N = A TA =
, T = ATb =
La descomposició LU de la matriu N és L =
, U =
La solució del sistema Ld = T és d =
La solució del sistema UX = d és X =
b) La descomposició QR de la matriu A és Q =
, R =
QTb =
. La solució del sistema RX = QTb és X =
Es tracta de trobar la transformació bidimensional que transforma els punts p1=(-1, 2) , p2=(2, 2) , p3=(2, -2), p4=(-1, -2), p5=(-2, 0) en els punts pt1=(-7.5, 1.8), pt2=(-4.4, 0) , pt3=(-6.9, -3.7), pt4=(-10.2, -1.8), pt5=(-9.6, 0.7) respectivament. a) Escriviu la matriu A i el vector U del sistema sobredeterminat AX=U, amb els paràmetres de la transformació com a incògnites, per una transformació de semblança, una afí, una bilineal i una projectiva bidimensional. b) Plantegeu la resolució mitjançant el sistema normal i mitjançant descomposició QR. c) Plantegeu el cálcul de l'angle de rotació d'eixos, el factor de la homotècia i el vector de translació d'eixos.
a) Per una transformació de semblança A =
K 1 2 1 0
2 K 2 0 1
2 K 2 1 0
K 2 K 2 0 1
K 1 K 2 1 0
K 2 1 0 1
K 2 0 1 0
Per una transformació afí A =
K 1 2 0 0 1 0
0 0 K 1 2 0 1
2 K 2 0 0 1 0
0 0 2 K 2 0 1
K 1 K 2 0 0 1 0
0 0 K 1 K 2 0 1
K 2 0 0 0 1 0
0 0 K 2 0 0 1
b1) Resolució del sistema normal per al cas de la transformació de semblança
N = A TA , T = A TU Paràmetres de la transformació X = N K^1 T
b2) Descomposició QR=A
Paràmetres de la transformació X = R K^1 QTU
c) Si els paràmetres de la transformació de semblança estimats per mínims quadrats són X =
X 1
X 2
X 3
X 4
Angle de rotació d'eixos
α = arctan
X 2
X 1
Raó de la homotècia: λ = X 12 C X 22
Vector de translació d'eixos (en el sistema girat i amb la nova escala) t =
K X 3
K X 4
Sigui la forma quadràtica q x , y , z = 16 x^2 K 9 y^2 K 144 z^2
a) Classifiqueu la forma quadràtica
La matriu és
0 K 9 0
0 0 K 144
. Com que els vaps són 16, -9 i -144, es tracta d'una forma quadràtica no
definida
b) Trobeu la cònica q(x, y, 1)=0 que resulta de fer z=1. De quina cònica es tracta?
Es tracta de la hipèrbola: 16 x^2 K 9 y^2 = 144 , o bé: x
2 9 K^
y^2 16 = 1
c) Escriviu les equacions d'una transformació d'eixos a =^2 composada d'una trnslació d'eixos de vector (3,5) seguida d'una rotació de 30º
X
Y
K^1212
x K 3 y K 5
c) Trobeu l'equació de la cònica després d'aplicar l'anterior transformació.
La transformació inversa és x =^12 3 X K 12 Y C 3 y =^12 X C 12 3 Y C 5
Substituint a l'equació de la hipèrbola 16 x^2 K 9 y^2 = 144 :
16 12 3 X K^12 Y C 3
2 K 9 12 X C 12 3 Y C 5
2
Desenvolupnat: 39 4 X
2 K^11
4 Y
2 K^25
2 3 X^ Y^ C^48 3 K^45 XK^48 C^45 3 Y^ K225 = 0
