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PROBLEMAS CON EL METODO DE EULER
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: Aproximar. NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequeña. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos: Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso: Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: Y así sucesivamente hasta obtener. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 0 1 1 0.1 1
Concluímos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que: 2) Aplicar el método de Euler para aproximar , dada la ecuación diferencial. Solución Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos: En un primer paso, tenemos que: Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2
Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de. El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 0 1 1 0.1 1. 2 0.2 1. 3 0.3 1. 4 0.4 1. 5 0.5 1. Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero: Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%! Veamos un segundo ejemplo. 4) Aplicar el método de Euler para aproximar y (1.3) si tenemos :
Solución Tenemos los siguientes datos: En una primera iteración, tenemos lo siguiente: Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2 1 1.1 2. 2 1.2 2. 3 1.3 3. Concluímos entonces que la aproximación buscada es: Finalmente, veamos el tercero y último método que estudiaremos en este curso. Por simplicidad del curso, no veremos la justificación formal de estas últimas fórmulas. Concluímos entonces que el valor buscado es:
PROBLEMA 5)
