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Proyecto 2_Matemática Intermedia 3, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo para Ingenierios

Universidad de San Carlos de GuatemalaCálculo para Ingenierios

Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta

Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones

2020/2021

Subido el 09/02/2022

katthleen-betancourth
katthleen-betancourth 🇬🇹

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bg1
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Proyecto # 2
Proyecto Matemática Intermedia 3
DESCRIPCIÓN DE CALIFICACIÓN
Presentación
Ejercicios resueltos
Ejercicio(s) calificado(s)
CALIFICACIÓN TOTAL
Fecha: 05/11/2021
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
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pf1a
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pf20
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pf36

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Proyecto 2_Matemática Intermedia 3 y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Proyecto # 2

Proyecto Matemática Intermedia 3

DESCRIPCIÓN DE CALIFICACIÓN

Presentación

Ejercicios resueltos

Ejercicio(s) calificado(s)

CALIFICACIÓN TOTAL

Fecha: 05/11/

INTRODUCCIÓN

La elaboración de proyectos con el uso de algún software

matemático sirve como herramienta, en el vital desarrollo y aprendizaje

de la tecnología que se tiene al alcance y la manera en la que se

aprovecha. Hoy día la comunidad científica, el área de ingeniería, y en

general todas las ciencias se apoyan de la tecnología para avanzar en las

investigaciones y proyectos con bases mejor estructuradas y mejor

esquematizadas. Por tal razón resulta indispensable para los estudiantes

adquirir la capacidad de relacionar los conocimientos adquiridos junto al

software utilizado.

El actual proyecto se basa en el estudio de métodos numéricos

para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como lo

son el método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de

Runge-Kutta 4 dando paso al siguiente problema que se resolvió a través

del razonamiento lógico y el uso de la tecnología como herramienta útil.

Para realizar el proyecto se aplicaron los conocimientos adquiridos

en clase para encontrar las soluciones a los problemas propuestos, se

realizó la solución del problema por medio del programa de Excel.

La idea del método de Euler es encontrar una solución numérica a la

ecuación diferencial en el intervalo comprendido entre X0 y Xf.

En primer lugar se discretiza el intervalo en n+1 puntos: x0, x1, x2, x3…,

xn, los cuales se obtienen así:

xi=x0+ih

Donde h es el ancho o paso de los subintervalos:

Con la condición inicial, entonces es posible también conocer la derivada

al inicio:

y’ (xo) = f (xo, yo)

Esta derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva de

la función y(x) precisamente en el punto:

Ao = (xo, yo)

Entonces se hace una predicción aproximada del valor de la función y(x)

en el punto siguiente :

y (x1) ≈ y

y1 = yo +(x1– xo) f (xo, yo) = yo + h f (xo, yo)

Se ha obtenido entonces el próximo punto aproximado de la solución que

corresponde a:

A1 = (x1, y1)

El procedimiento se repite para obtener los sucesivos puntos

A2, A3…, xn

En el gráfico 1, la curva azul representa la solución exacta de la ecuación

diferencial, y la roja representa los sucesivos puntos aproximados

obtenidos por el procedimiento de Euler.

1.2. Método de Euler Mejorado:

El método de Euler mejorado consiste en tomar las fórmulas del método

de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final

y luego promediarlas. De esta manera el resultado será mucho más

acertado a lo largo de todo el intervalo.

Dada la EDO:

Con un valor inicial y(x0) = y0 y un paso h también definido por una

partición equiespaciada. Así, la fórmula para xn se mantiene, es decir:

Y la fórmula para estimar el valor de y está determinada por:

Inicialmente, se tiene que:

Entonces:

1.3. Método de Runge-Kutta 4.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una

importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos,

para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

(E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los

matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

el método RK4 es empleado para resolver EDO de la forma:

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente

es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como

«RK4» o como «el método Runge-Kutta». Definiendo un problema de

valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente

ecuación:

Donde:

Así, el siguiente valor ( yn +1) es determinado por el presente valor ( yn )

más el producto del tamaño del intervalo ( h ) por una pendiente estimada.

La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde 𝐾 es la

1

pendiente al principio del intervalo, 𝐾 es la pendiente en el punto medio

2

del intervalo, usando 𝐾 1 para determinar el valor de y en el punto

usando el método de Euler. 𝐾 es otra vez la pendiente del punto medio,

3

pero ahora usando 𝐾 para determinar el valor de y ; es la

2

4

pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por 𝐾

3

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las

pendientes en el punto medio:

Gráfico 2. Interpretación geométrica del esquema de runge kutta 4

Fuente: ResearchGate, 2020.

5 0.025 0.025 1.00062519 1.000309912 0.9753062 9.750E-01 97.500%

6 0.030 0.03001 1.00090041 1.000445534 0.9704387 9.700E-01 97.001%

7 0.035 0.03501 1.0012258 1.000605416 0.9655940 9.650E-01 96.501%

8 0.040 0.04002 1.0016014 1.000789439 0.9607719 9.600E-01 96.001%

9 0.045 0.04503 1.0020273 1.000997482 0.9559720 9.550E-01 95.502%

10 0.050 0.05004 1.00250357 1.001229425 0.9511938 9.500E-01 95.003%

11 0.055 0.05505 1.0030303 1.001485148 0.9464370 9.450E-01 94.503%

12 0.060 0.06006 1.0036076 1.001764534 0.9417012 9.400E-01 94.004%

13 0.065 0.06508 1.00423558 1.002067463 0.9369861 9.351E-01 93.505%

14 0.070 0.0701 1.00491437 1.00239382 0.9322913 9.301E-01 93.006%

15 0.075 0.07513 1.00564408 1.002743486 0.9276164 9.251E-01 92.508%

16 0.080 0.08016 1.00642488 1.003116346 0.9229610 9.201E-01 92.009%

17 0.085 0.08519 1.0072569 1.003512284 0.9183248 9.151E-01 91.511%

18 0.090 0.09022 1.00814032 1.003931185 0.9137074 9.101E-01 91.013%

19 0.095 0.09526 1.00907531 1.004372934 0.9091085 9.052E-01 90.515%

20 0.100 0.10031 1.01006206 1.004837418 0.9045276 9.002E-01 90.017%

21 0.105 0.10536 1.01110076 1.005324523 0.8999644 8.952E-01 89.520%

22 0.110 0.11042 1.01219161 1.005834135 0.8954185 8.902E-01 89.022%

23 0.115 0.11548 1.01333484 1.006366144 0.8908896 8.853E-01 88.525%

24 0.120 0.12054 1.01453068 1.006920437 0.8863772 8.803E-01 88.029%

25 0.125 0.12562 1.01577936 1.007496903 0.8818810 8.753E-01 87.532%

26 0.130 0.13069 1.01708113 1.008095431 0.8774006 8.704E-01 87.035%

27 0.135 0.13578 1.01843627 1.008715912 0.8729357 8.654E-01 86.539%

28 0.140 0.14087 1.01984503 1.009358235 0.8684858 8.604E-01 86.043%

29 0.145 0.14597 1.02130772 1.010022293 0.8640507 8.555E-01 85.548%

30 0.150 0.15108 1.02282461 1.010707976 0.8596298 8.505E-01 85.052%

31 0.155 0.15619 1.02439603 1.011415177 0.8552229 8.456E-01 84.557%

32 0.160 0.16131 1.02602229 1.012143789 0.8508295 8.406E-01 84.062%

33 0.165 0.16644 1.02770373 1.012893704 0.8464493 8.357E-01 83.567%

34 0.170 0.17158 1.02944069 1.013664817 0.8420819 8.307E-01 83.073%

35 0.175 0.17673 1.03123353 1.014457021 0.8377269 8.258E-01 82.579%

36 0.180 0.18189 1.03308261 1.015270211 0.8333839 8.208E-01 82.085%

37 0.185 0.18705 1.03498833 1.016104284 0.8290526 8.159E-01 81.591%

38 0.190 0.19223 1.03695107 1.016959134 0.8247325 8.110E-01 81.098%

39 0.195 0.19741 1.03897125 1.017834658 0.8204233 8.060E-01 80.605%

40 0.200 0.20261 1.04104929 1.018730753 0.8161245 8.011E-01 80.112%

41 0.205 0.20781 1.04318561 1.019647316 0.8118358 7.962E-01 79.619%

42 0.210 0.21303 1.04538068 1.020584246 0.8075568 7.913E-01 79.127%

43 0.215 0.21825 1.04763494 1.02154144 0.8032871 7.863E-01 78.635%

44 0.220 0.22349 1.04994889 1.022518798 0.7990263 7.814E-01 78.143%

45 0.225 0.22874 1.05232301 1.023516219 0.7947740 7.765E-01 77.651%

46 0.230 0.234 1.0547578 1.024533603 0.7905298 7.716E-01 77.160%

47 0.235 0.23928 1.05725379 1.02557085 0.7862932 7.667E-01 76.669%

48 0.240 0.24456 1.0598115 1.026627861 0.7820640 7.618E-01 76.178%

49 0.245 0.24986 1.0624315 1.027704538 0.7778416 7.569E-01 75.687%

50 0.250 0.25518 1.06511434 1.028800783 0.7736257 7.520E-01 75.197%

51 0.255 0.2605 1.06786061 1.029916498 0.7694158 7.471E-01 74.707%

52 0.260 0.26584 1.0706709 1.031051586 0.7652116 7.422E-01 74.217%

53 0.265 0.27119 1.07354583 1.03220595 0.7610126 7.373E-01 73.727%

54 0.270 0.27656 1.07648603 1.033379494 0.7568184 7.324E-01 73.237%

55 0.275 0.28194 1.07949214 1.034572123 0.7526286 7.275E-01 72.748%

56 0.280 0.28734 1.08256483 1.035783741 0.7484428 7.226E-01 72.259%

57 0.285 0.29275 1.08570478 1.037014254 0.7442605 7.177E-01 71.770%

58 0.290 0.29818 1.08891269 1.038263568 0.7400813 7.128E-01 71.281%

59 0.295 0.30363 1.09218928 1.039531587 0.7359047 7.079E-01 70.792%

60 0.300 0.30909 1.09553528 1.040818221 0.7317304 7.030E-01 70.303%

61 0.305 0.31457 1.09895146 1.042123374 0.7275579 6.981E-01 69.815%

62 0.310 0.32006 1.10243857 1.043446956 0.7233867 6.933E-01 69.327%

63 0.315 0.32557 1.10599742 1.044788874 0.7192164 6.884E-01 68.838%

64 0.320 0.3311 1.10962883 1.046149037 0.7150466 6.835E-01 68.350%

65 0.325 0.33665 1.11333362 1.047527354 0.7108768 6.786E-01 67.862%

66 0.330 0.34222 1.11711265 1.048923733 0.7067065 6.737E-01 67.374%

67 0.335 0.3478 1.1209668 1.050338086 0.7025353 6.689E-01 66.887%

68 0.340 0.35341 1.12489697 1.051770323 0.6983627 6.640E-01 66.399%

69 0.345 0.35903 1.12890407 1.053220353 0.6941882 6.591E-01 65.911%

70 0.350 0.36468 1.13298906 1.05468809 0.6900114 6.542E-01 65.423%

71 0.355 0.37034 1.1371529 1.056173443 0.6858318 6.494E-01 64.936%

72 0.360 0.37603 1.14139658 1.057676326 0.6816490 6.445E-01 64.448%

73 0.365 0.38173 1.14572111 1.059196651 0.6774623 6.396E-01 63.960%

74 0.370 0.38746 1.15012754 1.060734331 0.6732714 6.347E-01 63.472%

75 0.375 0.39321 1.15461693 1.062289279 0.6690757 6.298E-01 62.984%

76 0.380 0.39899 1.15919037 1.063861409 0.6648747 6.250E-01 62.496%

77 0.385 0.40478 1.16384897 1.065450636 0.6606680 6.201E-01 62.008%

78 0.390 0.4106 1.1685939 1.067056874 0.6564550 6.152E-01 61.520%

79 0.395 0.41644 1.17342631 1.068680039 0.6522352 6.103E-01 61.032%

80 0.400 0.42231 1.1783474 1.070320046 0.6480081 6.054E-01 60.543%

81 0.405 0.4282 1.18335842 1.071976811 0.6437731 6.005E-01 60.055%

82 0.410 0.43412 1.18846061 1.07365025 0.6395297 5.957E-01 59.566%

83 0.415 0.44006 1.19365527 1.075340281 0.6352775 5.908E-01 59.077%

84 0.420 0.44603 1.19894373 1.07704682 0.6310157 5.859E-01 58.588%

85 0.425 0.45203 1.20432732 1.078769785 0.6267440 5.810E-01 58.098%

86 0.430 0.45805 1.20980745 1.080509095 0.6224617 5.761E-01 57.608%

87 0.435 0.4641 1.21538554 1.082264667 0.6181682 5.712E-01 57.118%

88 0.440 0.47017 1.22106303 1.084036421 0.6138630 5.663E-01 56.628%

89 0.445 0.47628 1.22684142 1.085824276 0.6095456 5.614E-01 56.137%

90 0.450 0.48241 1.23272223 1.087628152 0.6052152 5.565E-01 55.645%

91 0.455 0.48858 1.23870703 1.089447968 0.6008714 5.515E-01 55.154%

92 0.460 0.49477 1.24479742 1.091283646 0.5965136 5.466E-01 54.662%

93 0.465 0.50099 1.25099504 1.093135105 0.5921410 5.417E-01 54.169%

94 0.470 0.50725 1.25730158 1.095002268 0.5877532 5.368E-01 53.676%

95 0.475 0.51354 1.26371875 1.096885056 0.5833495 5.318E-01 53.182%

96 0.480 0.51985 1.27024832 1.098783392 0.5789293 5.269E-01 52.688%

97 0.485 0.52621 1.2768921 1.100697197 0.5744918 5.219E-01 52.193%

98 0.490 0.53259 1.28365193 1.102626394 0.5700366 5.170E-01 51.698%

99 0.495 0.53901 1.29052973 1.104570907 0.5655628 5.120E-01 51.202%

100 0.500 0.54546 1.29752742 1.10653066 0.5610699 5.071E-01 50.705%

5 0.025 0.02402451 0.90435438 1.00030991 0.9762854 9.760E-01 97.598%

6 0.030 0.02854628 0.8863351 1.00044553 0.9718993 9.715E-01 97.147%

7 0.035 0.03297796 0.86866509 1.00060542 0.9676275 9.670E-01 96.704%

8 0.040 0.03732128 0.85133602 1.00078944 0.9634682 9.627E-01 96.271%

9 0.045 0.04157796 0.83433982 1.00099748 0.9594195 9.585E-01 95.846%

10 0.050 0.04574966 0.81766867 1.00122942 0.9554798 9.543E-01 95.431%

11 0.055 0.049838 0.801315 1.00148515 0.9516471 9.502E-01 95.024%

12 0.060 0.05384458 0.78527143 1.00176453 0.9479200 9.463E-01 94.625%

13 0.065 0.05777094 0.76953083 1.00206746 0.9442965 9.423E-01 94.235%

14 0.070 0.06161859 0.75408627 1.00239382 0.9407752 9.385E-01 93.853%

15 0.075 0.06538902 0.73893103 1.00274349 0.9373545 9.348E-01 93.479%

16 0.080 0.06908368 0.72405859 1.00311635 0.9340327 9.311E-01 93.113%

17 0.085 0.07270397 0.7094626 1.00351228 0.9308083 9.276E-01 92.755%

18 0.090 0.07625128 0.69513692 1.00393119 0.9276799 9.240E-01 92.405%

19 0.095 0.07972697 0.68107558 1.00437293 0.9246460 9.206E-01 92.062%

20 0.100 0.08313235 0.66727276 1.00483742 0.9217051 9.173E-01 91.727%

21 0.105 0.08646871 0.65372285 1.00532452 0.9188558 9.140E-01 91.399%

22 0.110 0.08973732 0.64042035 1.00583414 0.9160968 9.108E-01 91.078%

23 0.115 0.09293943 0.62735995 1.00636614 0.9134267 9.076E-01 90.765%

24 0.120 0.09607623 0.61453648 1.00692044 0.9108442 9.046E-01 90.458%

25 0.125 0.09914891 0.60194492 1.0074969 0.9083480 9.016E-01 90.159%

26 0.130 0.10215863 0.58958037 1.00809543 0.9059368 8.987E-01 89.866%

27 0.135 0.10510653 0.57743808 1.00871591 0.9036094 8.958E-01 89.580%

28 0.140 0.10799372 0.56551344 1.00935824 0.9013645 8.930E-01 89.301%

29 0.145 0.11082129 0.55380195 1.01002229 0.8992010 8.903E-01 89.028%

30 0.150 0.1135903 0.54229924 1.01070798 0.8971177 8.876E-01 88.761%

31 0.155 0.1163018 0.53100107 1.01141518 0.8951134 8.850E-01 88.501%

32 0.160 0.1189568 0.51990329 1.01214379 0.8931870 8.825E-01 88.247%

33 0.165 0.12155632 0.50900188 1.0128937 0.8913374 8.800E-01 87.999%

34 0.170 0.12410133 0.49829293 1.01366482 0.8895635 8.776E-01 87.757%

35 0.175 0.12659279 0.48777263 1.01445702 0.8878642 8.752E-01 87.521%

36 0.180 0.12903166 0.47743725 1.01527021 0.8862386 8.729E-01 87.291%

37 0.185 0.13141884 0.4672832 1.01610428 0.8846854 8.707E-01 87.066%

38 0.190 0.13375526 0.45730695 1.01695913 0.8832039 8.685E-01 86.848%

39 0.195 0.13604179 0.44750508 1.01783466 0.8817929 8.663E-01 86.634%

40 0.200 0.13827932 0.43787426 1.01873075 0.8804514 8.643E-01 86.426%

41 0.205 0.14046869 0.42841123 1.01964732 0.8791786 8.622E-01 86.224%

42 0.210 0.14261075 0.41911284 1.02058425 0.8779735 8.603E-01 86.027%

43 0.215 0.14470631 0.40997601 1.02154144 0.8768351 8.583E-01 85.835%

44 0.220 0.14675619 0.40099772 1.0225188 0.8757626 8.565E-01 85.648%

45 0.225 0.14876118 0.39217506 1.02351622 0.8747550 8.547E-01 85.466%

46 0.230 0.15072206 0.38350517 1.0245336 0.8738115 8.529E-01 85.289%

47 0.235 0.15263958 0.37498528 1.02557085 0.8729313 8.512E-01 85.117%

48 0.240 0.15451451 0.36661268 1.02662786 0.8721134 8.495E-01 84.949%

49 0.245 0.15634757 0.35838473 1.02770454 0.8713570 8.479E-01 84.787%

50 0.250 0.15813949 0.35029886 1.02880078 0.8706613 8.463E-01 84.629%

51 0.255 0.15989099 0.34235256 1.0299165 0.8700255 8.448E-01 84.475%

52 0.260 0.16160275 0.33454338 1.03105159 0.8694488 8.433E-01 84.326%

53 0.265 0.16327547 0.32686894 1.03220595 0.8689305 8.418E-01 84.182%

54 0.270 0.16490981 0.31932692 1.03337949 0.8684697 8.404E-01 84.042%

55 0.275 0.16650645 0.31191505 1.03457212 0.8680657 8.391E-01 83.906%

56 0.280 0.16806602 0.30463112 1.03578374 0.8677177 8.377E-01 83.774%

57 0.285 0.16958918 0.29747296 1.03701425 0.8674251 8.365E-01 83.646%

58 0.290 0.17107654 0.29043849 1.03826357 0.8671870 8.352E-01 83.523%

59 0.295 0.17252874 0.28352565 1.03953159 0.8670029 8.340E-01 83.403%

60 0.300 0.17394636 0.27673243 1.04081822 0.8668719 8.329E-01 83.288%

61 0.305 0.17533003 0.27005688 1.04212337 0.8667933 8.318E-01 83.176%

62 0.310 0.17668031 0.2634971 1.04344696 0.8667666 8.307E-01 83.068%

63 0.315 0.1779978 0.25705123 1.04478887 0.8667911 8.296E-01 82.963%

64 0.320 0.17928305 0.25071746 1.04614904 0.8668660 8.286E-01 82.863%

65 0.325 0.18053664 0.24449401 1.04752735 0.8669907 8.277E-01 82.765%

66 0.330 0.18175911 0.23837917 1.04892373 0.8671646 8.267E-01 82.672%

67 0.335 0.18295101 0.23237123 1.05033809 0.8673871 8.258E-01 82.582%

68 0.340 0.18411286 0.22646857 1.05177032 0.8676575 8.249E-01 82.495%

69 0.345 0.1852452 0.22066957 1.05322035 0.8679751 8.241E-01 82.412%

70 0.350 0.18634855 0.21497266 1.05468809 0.8683395 8.233E-01 82.331%

71 0.355 0.18742342 0.20937633 1.05617344 0.8687500 8.225E-01 82.254%

72 0.360 0.1884703 0.20387907 1.05767633 0.8692060 8.218E-01 82.181%

73 0.365 0.18948969 0.19847943 1.05919665 0.8697070 8.211E-01 82.110%

74 0.370 0.19048209 0.19317599 1.06073433 0.8702522 8.204E-01 82.042%

75 0.375 0.19144797 0.18796736 1.06228928 0.8708413 8.198E-01 81.978%

76 0.380 0.19238781 0.18285219 1.06386141 0.8714736 8.192E-01 81.916%

77 0.385 0.19330207 0.17782915 1.06545064 0.8721486 8.186E-01 81.857%

78 0.390 0.19419121 0.17289695 1.06705687 0.8728657 8.180E-01 81.801%

79 0.395 0.1950557 0.16805433 1.06868004 0.8736243 8.175E-01 81.748%

80 0.400 0.19589597 0.16330007 1.07032005 0.8744241 8.170E-01 81.697%

81 0.405 0.19671247 0.15863296 1.07197681 0.8752643 8.165E-01 81.650%

82 0.410 0.19750563 0.15405183 1.07365025 0.8761446 8.160E-01 81.604%

83 0.415 0.19827589 0.14955553 1.07534028 0.8770644 8.156E-01 81.562%

84 0.420 0.19902367 0.14514296 1.07704682 0.8780231 8.152E-01 81.521%

85 0.425 0.19974939 0.14081302 1.07876979 0.8790204 8.148E-01 81.484%

86 0.430 0.20045345 0.13656465 1.08050909 0.8800556 8.145E-01 81.448%

87 0.435 0.20113627 0.13239681 1.08226467 0.8811284 8.142E-01 81.415%

88 0.440 0.20179826 0.12830849 1.08403642 0.8822382 8.138E-01 81.385%

89 0.445 0.2024398 0.12429869 1.08582428 0.8833845 8.136E-01 81.356%

90 0.450 0.20306129 0.12036647 1.08762815 0.8845669 8.133E-01 81.330%

91 0.455 0.20366313 0.11651086 1.08944797 0.8857848 8.131E-01 81.306%

92 0.460 0.20424568 0.11273096 1.09128365 0.8870380 8.128E-01 81.284%

93 0.465 0.20480934 0.10902587 1.09313511 0.8883258 8.126E-01 81.264%

94 0.470 0.20535447 0.10539472 1.09500227 0.8896478 8.125E-01 81.246%

95 0.475 0.20588144 0.10183666 1.09688506 0.8910036 8.123E-01 81.230%

96 0.480 0.20639062 0.09835084 1.09878339 0.8923928 8.122E-01 81.216%

97 0.485 0.20688238 0.09493647 1.1006972 0.8938148 8.120E-01 81.204%

98 0.490 0.20735706 0.09159275 1.10262639 0.8952693 8.119E-01 81.194%

99 0.495 0.20781502 0.08831891 1.10457091 0.8967559 8.119E-01 81.186%

100 0.500 0.20825662 0.0851142 1.10653066 0.8982740 8.118E-01 81.179%

5 0.025 1.05100615 2.10135545 1.00030991 0.0506962 5.068E-02 5.068%

6 0.030 1.06151293 2.12207056 1.00044553 0.0610674 6.104E-02 6.104%

7 0.035 1.07212328 2.14293334 1.00060542 0.0715179 7.147E-02 7.147%

8 0.040 1.08283794 2.16394358 1.00078944 0.0820485 8.198E-02 8.198%

9 0.045 1.09365766 2.18510104 1.00099748 0.0926602 9.257E-02 9.257%

10 0.050 1.10458317 2.20640545 1.00122942 0.1033537 1.032E-01 10.323%

11 0.055 1.1156152 2.2278565 1.00148515 0.1141300 1.140E-01 11.396%

12 0.060 1.12675448 2.24945386 1.00176453 0.1249899 1.248E-01 12.477%

13 0.065 1.13800175 2.27119713 1.00206746 0.1359343 1.357E-01 13.565%

14 0.070 1.14935773 2.29308591 1.00239382 0.1469639 1.466E-01 14.661%

15 0.075 1.16082316 2.31511975 1.00274349 0.1580797 1.576E-01 15.765%

16 0.080 1.17239876 2.33729817 1.00311635 0.1692824 1.688E-01 16.876%

17 0.085 1.18408525 2.35962064 1.00351228 0.1805730 1.799E-01 17.994%

18 0.090 1.19588335 2.38208659 1.00393119 0.1919522 1.912E-01 19.120%

19 0.095 1.20779379 2.40469543 1.00437293 0.2034209 2.025E-01 20.254%

20 0.100 1.21981726 2.42744652 1.00483742 0.2149798 2.139E-01 21.394%

21 0.105 1.2319545 2.45033917 1.00532452 0.2266300 2.254E-01 22.543%

22 0.110 1.24420619 2.47337267 1.00583414 0.2383721 2.370E-01 23.699%

23 0.115 1.25657306 2.49654624 1.00636614 0.2502069 2.486E-01 24.862%

24 0.120 1.26905579 2.51985909 1.00692044 0.2621354 2.603E-01 26.033%

25 0.125 1.28165508 2.54331037 1.0074969 0.2741582 2.721E-01 27.212%

26 0.130 1.29437164 2.56689918 1.00809543 0.2862762 2.840E-01 28.398%

27 0.135 1.30720613 2.59062459 1.00871591 0.2984902 2.959E-01 29.591%

28 0.140 1.32015925 2.61448562 1.00935824 0.3108010 3.079E-01 30.792%

29 0.145 1.33323168 2.63848125 1.01002229 0.3232094 3.200E-01 32.000%

30 0.150 1.34642409 2.66261039 1.01070798 0.3357161 3.322E-01 33.216%

31 0.155 1.35973714 2.68687195 1.01141518 0.3483220 3.444E-01 34.439%

32 0.160 1.3731715 2.71126474 1.01214379 0.3610277 3.567E-01 35.670%

33 0.165 1.38672782 2.73578756 1.0128937 0.3738341 3.691E-01 36.908%

34 0.170 1.40040676 2.76043914 1.01366482 0.3867419 3.815E-01 38.153%

35 0.175 1.41420896 2.78521818 1.01445702 0.3997519 3.941E-01 39.406%

36 0.180 1.42813505 2.81012332 1.01527021 0.4128648 4.067E-01 40.666%

37 0.185 1.44218566 2.83515314 1.01610428 0.4260814 4.193E-01 41.933%

38 0.190 1.45636143 2.86030619 1.01695913 0.4394023 4.321E-01 43.207%

39 0.195 1.47066296 2.88558094 1.01783466 0.4528283 4.449E-01 44.489%

40 0.200 1.48509087 2.91097585 1.01873075 0.4663601 4.578E-01 45.779%

41 0.205 1.49964575 2.93648928 1.01964732 0.4799984 4.707E-01 47.075%

42 0.210 1.51432819 2.96211957 1.02058425 0.4937439 4.838E-01 48.379%

43 0.215 1.52913879 2.987865 1.02154144 0.5075973 4.969E-01 49.689%

44 0.220 1.54407811 3.01372379 1.0225188 0.5215593 5.101E-01 51.007%

45 0.225 1.55914673 3.0396941 1.02351622 0.5356305 5.233E-01 52.332%

46 0.230 1.5743452 3.06577404 1.0245336 0.5498116 5.366E-01 53.665%

47 0.235 1.58967407 3.09196167 1.02557085 0.5641032 5.500E-01 55.004%

48 0.240 1.60513388 3.11825499 1.02662786 0.5785060 5.635E-01 56.350%

49 0.245 1.62072516 3.14465194 1.02770454 0.5930206 5.770E-01 57.703%

50 0.250 1.63644842 3.1711504 1.02880078 0.6076476 5.906E-01 59.064%

51 0.255 1.65230417 3.1977482 1.0299165 0.6223877 6.043E-01 60.431%

52 0.260 1.66829291 3.2244431 1.03105159 0.6372413 6.180E-01 61.805%

53 0.265 1.68441513 3.25123281 1.03220595 0.6522092 6.319E-01 63.186%

54 0.270 1.70067129 3.27811499 1.03337949 0.6672918 6.457E-01 64.574%

55 0.275 1.71706186 3.30508721 1.03457212 0.6824897 6.597E-01 65.968%

56 0.280 1.7335873 3.33214701 1.03578374 0.6978036 6.737E-01 67.370%

57 0.285 1.75024804 3.35929185 1.03701425 0.7132338 6.878E-01 68.778%

58 0.290 1.7670445 3.38651913 1.03826357 0.7287809 7.019E-01 70.192%

59 0.295 1.78397709 3.4138262 1.03953159 0.7444455 7.161E-01 71.614%

60 0.300 1.80104622 3.44121035 1.04081822 0.7602280 7.304E-01 73.041%

61 0.305 1.81825227 3.46866878 1.04212337 0.7761289 7.448E-01 74.476%

62 0.310 1.83559562 3.49619865 1.04344696 0.7921487 7.592E-01 75.917%

63 0.315 1.85307661 3.52379706 1.04478887 0.8082877 7.736E-01 77.364%

64 0.320 1.8706956 3.55146103 1.04614904 0.8245466 7.882E-01 78.817%

65 0.325 1.8884529 3.57918753 1.04752735 0.8409255 8.028E-01 80.277%

66 0.330 1.90634884 3.60697345 1.04892373 0.8574251 8.174E-01 81.743%

67 0.335 1.92438371 3.63481562 1.05033809 0.8740456 8.322E-01 83.216%

68 0.340 1.94255778 3.66271083 1.05177032 0.8907875 8.469E-01 84.694%

69 0.345 1.96087134 3.69065576 1.05322035 0.9076510 8.618E-01 86.179%

70 0.350 1.97932462 3.71864707 1.05468809 0.9246365 8.767E-01 87.669%

71 0.355 1.99791785 3.74668132 1.05617344 0.9417444 8.917E-01 89.166%

72 0.360 2.01665126 3.77475502 1.05767633 0.9589749 9.067E-01 90.668%

73 0.365 2.03552503 3.8028646 1.05919665 0.9763284 9.218E-01 92.176%

74 0.370 2.05453936 3.83100645 1.06073433 0.9938050 9.369E-01 93.690%

75 0.375 2.07369439 3.85917687 1.06228928 1.0114051 9.521E-01 95.210%

76 0.380 2.09299027 3.8873721 1.06386141 1.0291289 9.674E-01 96.735%

77 0.385 2.11242713 3.91558831 1.06545064 1.0469765 9.827E-01 98.266%

78 0.390 2.13200508 3.94382162 1.06705687 1.0649482 9.980E-01 99.802%

79 0.395 2.15172418 3.97206806 1.06868004 1.0830441 1.013E+00 101.344%

80 0.400 2.17158452 4.0003236 1.07032005 1.1012645 1.029E+00 102.891%

81 0.405 2.19158614 4.02858415 1.07197681 1.1196093 1.044E+00 104.443%

82 0.410 2.21172906 4.05684556 1.07365025 1.1380788 1.060E+00 106.001%

83 0.415 2.23201329 4.08510358 1.07534028 1.1566730 1.076E+00 107.563%

84 0.420 2.25243881 4.11335393 1.07704682 1.1753920 1.091E+00 109.131%

85 0.425 2.27300558 4.14159224 1.07876979 1.1942358 1.107E+00 110.703%

86 0.430 2.29371354 4.16981409 1.08050909 1.2132044 1.123E+00 112.281%

87 0.435 2.31456261 4.19801498 1.08226467 1.2322979 1.139E+00 113.863%

88 0.440 2.33555268 4.22619035 1.08403642 1.2515163 1.154E+00 115.450%

89 0.445 2.35668364 4.25433557 1.08582428 1.2708594 1.170E+00 117.041%

90 0.450 2.37795531 4.28244595 1.08762815 1.2903272 1.186E+00 118.637%

91 0.455 2.39936754 4.31051671 1.08944797 1.3099196 1.202E+00 120.237%

92 0.460 2.42092013 4.33854305 1.09128365 1.3296365 1.218E+00 121.842%

93 0.465 2.44261284 4.36652007 1.09313511 1.3494777 1.235E+00 123.450%

94 0.470 2.46444544 4.39444281 1.09500227 1.3694432 1.251E+00 125.063%

95 0.475 2.48641766 4.42230625 1.09688506 1.3895326 1.267E+00 126.680%

96 0.480 2.50852919 4.45010531 1.09878339 1.4097458 1.283E+00 128.301%

97 0.485 2.53077972 4.47783483 1.1006972 1.4300825 1.299E+00 129.925%

98 0.490 2.55316889 4.50548961 1.10262639 1.4505425 1.316E+00 131.553%

99 0.495 2.57569634 4.53306437 1.10457091 1.4711254 1.332E+00 133.185%

100 0.500 2.59836166 4.56055376 1.10653066 1.4918310 1.348E+00 134.821%