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TEMAS 1, 2 Y 3
Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales.
Diagonalizaci´on.
Problemas (enunciados)
1 Dadas las matrices
A =
A; B =
A; C =
A;
D =
; I 3 =
A,
calcular: (a) 2 A − 3 B (b) (CD)t^ − A^2 (c) (5A − I 3 ) (I 3 − B)
(d) AB − BA (e) ABA.
2 Hallar las matrices M y N que verifican 3M − 2 N =
y
5 M + 7N =
3 Sean las matrices A ∈ M 2 × 1 , B ∈ M 1 × 3 y C ∈ M 3 × 1. Indicar si son posibles los
siguientes productos y, en caso afirmativo, dar el orden de la matriz resultante:
(a) A (BC) (b) ACB (c) BAC (d) BtCtA (e) (BC)tAt.
4 Dadas las matrices A =
`
y B =
A, hallar los productos AB
y BA.
5 Dadas las matrices A =
A (^) y B =
A, calcular:
(a) (A + B) (A − B) (b) A^2 − B^2 (c) (A + B)^2 (d) A^2 + 2AB + B^2 ¿Por qu´e no coinciden las respuestas de los apartados (a) y (b)? ¿Y las de (c) y (d)?
6 Calcular los siguientes determinantes, haciendo ceros y desarrollando por adjun-
tos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
7 Calcular, cuando sea posible, la inversa de las siguientes matrices:
(a)
BB
CC
A (b)
A
(c)
A (^) (d)
BB
CC
A.
8 Hallar el rango de las matrices:
(a) A =
A (^) (b) B =
B
B
C
C
A.
9 Hallar, seg´un los valores de los par´ametros, el rango de:
(a) A =
2 x x − 1 1 2 1 2 6
A (^) (b) B =
B
B@
7 8 x 0 0 0 0 1
C
CA
(c) C =
− 1 5 9 x 0 7 14 4
A (^) (d) D =
1 3 x 4 1 5 3 6 0 7 5 7
A.
13 Sean las matrices A =
A (^) y B =
A
(a) Obtener sus autovalores y sus correspondientes autovectores asociados. (b) Estudiar si son diagonalizables o no. En caso afirmativo, hallar una matriz P tal que P −^1 AP sea diagonal. Hallar dicha matriz diagonal. (c) Calcular An^ y Bn^ con n ∈ N.
14 Sea la matriz
x 0 0 0 3 0 x 0 1
A.
(a) Estudiar si es diagonalizable para el valor x = 1. Lo mismo para el valor x = 3. (b) Para x = 4, hallar una matriz diagonal D y una matriz P tales que P −^1 AP = D.
15 Sea la matriz A =
− 1 0 x
A.
(a) Averiguar los valores de x para los que es diagonalizable. (b) Para x = 0, obtener dos matrices diagonales, D, y dos matrices invertibles, P , que cumplan D = P −^1 AP.
(c) Averiguar si
Ay
A (^) son autovectores de A.
16 Sea la matriz A =
BB
− 1 3 1 x
CC
A
(a) Estudiar para qu´e valores de x es diagonalizable y para cu´ales no. (b) Para x = 4, calcular Ancon n ∈ N.
17 Sea el sistema
ax + 2y + az = 2 , y + bz = − 1 , ax + cy + az = 2.
(a) Calcular a, b y c, sabiendo que x = 1, y = 0, z = 1, es soluci´on, no ´unica, del sistema. (b) Para los valores a = b = 0 y c = 1, diagonalizar la matriz de los coeficientes.
