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ALGEBRA LINEAL´
Curso 2007-
1 Introducci´on
Se recogen aqu´ı algunos comentarios que pueden servir como gu´ıa para entender la organi- zaci´on de la parte pr´actica de esta asignatura.
- Esta colecci´on de ejercicios y problemas modifica la que elaboraron los profesores de la asignatura durante el curso 2000-2001 (Jos´e Luis Fern´andez y Omar Gil).
- La mayor diferencia, aparte de que se ha ampliado ligeramente, es que parte de los ejercicios est´an resueltos, o, al menos, se dan algunas indicaciones para su resoluci´on. Todo ello realizado por el profesor Rafael Hern´andez el curso 2006-2007.
- Muchos de los ejercicios se adaptan al siguiente esquema:
(a) Planteamiento: Se trata de determinar los sistemas de ecuaciones lineales que hay que resolver. Gran parte de los ejercicios de Algebra Lineal se reducen, de´ una forma u otra, a sistemas de ecuaciones lineales. Es muy conveniente, y se pedir´a en los ex´amenes de la asignatura, indicar expl´ıcitamente los argumentos que llevan del enunciado de un problema al sistema de ecuaciones que debemos resolver. Es claro que un planteamiento incorrecto no puede llevar, sino por pura casuali- dad, a un resultado correcto. (b) C´alculos: Aqu´ı se trata de resolver, generalmente mediante reducci´on gaussiana, el sistema de ecuaciones encontrado. Esta parte es la m´as mec´anica: la reducci´on gaussiana es un algoritmo que, dado un sistema de ecuaciones, nos proporciona, siempre, su soluci´on en forma de una parametrizaci´on. Dado que la reducci´on gaussiana se realiza siempre de la misma forma, no repe- tiremos esta parte para cada ejercicio, sino que utilizaremos directamente la soluci´on. (c) Interpretaci´on: Supongamos que ya hemos calculado la parametrizaci´on de la soluci´on del sistema de ecuaciones. En ocasiones, no est´a totalmente claro c´omo se obtiene la soluci´on al problema inicial a partir de la soluci´on del sistema de ecuaciones. Esta es una etapa, en cierto sentido, sim´etrica de la primera. Aunque se resuelva correctamente el sistema de ecuaciones, si no se ha entendido bien el planteamiento, pueden cometerse errores tontos en esta ´ultima parte del problema.
- Incluyo una lista de los c´alculos b´asicos que hay que aprender a efectuar en este curso. De todos hay ejemplos resueltos en la colecci´on, y conviene que indiqu´eis, a la izquierda de cada tipo en la lista, los n´umeros de los ejercicios en los que se explica c´omo resolverlo. Dado que se trata de c´alculos, todos los espacios vectoriales mencionados son kn, para alg´un n ∈ N y k el cuerpo de los n´umeros racionales o un cuerpo finito.
Resolver un sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones : Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan. Encontrar la parametrizaci´on de la soluci´on. Resolver sistemas lineales de ecuaciones , no necesariamente homog´eneos. Efectuar correctamente las operaciones con matrices, y, en particular, el pro- ducto. Invertir matrices invertibles. Encontrar generadores del subespacio soluci´on de un sistema lineal y ho- mog´eneo de ecuaciones. Dado un conjunto finito S de n-uplas, encontrar un sistema lineal y ho- mog´eneo de ecuaciones cuya soluci´on sea la clausura lineal < S > de S. Encontrar generadores del anulador, < S >^0 de < S >. Decidir si un conjunto finito S de n-uplas es, o no, libre.
Dado un conjunto finito S de n-uplas, encontrar una base de su clausura lineal < S >. Calcular la dimensi´on de < S >. Ver los ejercicios 28 y 30. Completar un conjunto libre de vectores a una base. Decidir si dos subespacios, dados mediante generadores, son iguales. Decidir si uno es subespacio del otro. Calcular (generadores de) la intersecci´on de subespacios, con los datos en forma de generadores o un sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones. Calcular (generadores de) la suma de subespacios, con los datos generadores o sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones. Calcular (generadores de) un subespacio suplementario, no es ´unico, de un subespacio dado mediante generadores. Calcular la base dual de una base dada. Calcular la matriz dual de una matriz dada. Calcular el rango de una matriz. Calcular una base del cociente de kn^ por un SEV. Calcular determinantes, usando sustituciones de filas o columnas para reducir la matriz a forma triangular. En dimensi´on peque˜na, resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer. Calcular las coordenadas de un vector en una base, dadas las coordenadas en otra. Dada una aplicaci´on lineal, mediante una serie de datos que la determinan, en- contrar la matriz de la aplicaci´on en una base dada. Calcular la matriz de una aplicaci´on lineal en una base, dada la matriz en otra. Aplicar correctamente las f´ormulas de cambio de base. Calcular el polinomio caracter´ıstico de una matriz. Calcular los valores propio racionales, hallando las raices racionales del polinomio caracter´ıstico. Calcular, resolviendo el SHE, el subespacio propio que corresponde a un valor propio. Decidir si una aplicaci´on lineal u : E → E es diagonalizable. Si lo es, diago- nalizarla. Calcular tambi´en la base en que diagonaliza y la matriz de cambio de base. Calcular, el menos en dimensi´on 2,3 y 4, formas can´onicas de Jordan, bases de Jordan y matrices de cambio de base.
- Lo que tienen en com´un estos tipos de ejercicios es que todos ellos admiten algoritmos para su resoluci´on, y, para casi todos, el algoritmo reduce el problema a aplicar el algoritmo de Gauss a un cierto sistema o matriz.
2 x 1 − 2 x 2 +x 3 = 1 , 1 , 8
− 2 x 1 +x 2 − 3 x 3 = − 5 , − 3 , − 14
4 x 1 − 3 x 2 +x 3 = 5 , 1 , 14
3. Describir todas las soluciones de los sistemas siguientes, utilizando Gauss-
Jordan para reducir a forma escalonada reducida.
a)
x 1 +4x 2 +x 3 = 2
3 x 1 − 8 x 2 +2x 3 = 5
3 x 1 − 7 x 2 +x 3 = 1
b) (*)
x 1 − 2 x 3 +x 4 = 6
2 x 1 −x 2 +x 3 − 3 x 4 = 0
9 x 1 − 3 x 2 −x 3 − 7 x 4 = 4
c)
x 1 +4x 2 − 2 x 3 = 4
2 x 1 +7x 2 −x 3 = 0
2 x 1 +9x 2 − 7 x 3 = 4
d)
x 1 +2x 2 − 3 x 3 +x 4 = 2
3 x 1 +6x 2 − 8 x 3 − 2 x 4 = 0
Soluci´on: b) La reducci´on de Gauss-Jordan del sistema homog´eneo asociado al dado es
x 1 +8t = 0 x 2 +(5/2)x 4 +23t = 0 x 3 −(1/2)x 4 +7t = 0
de donde, despejando las variables pivote y haciendo t = 1, obtenemos
x 1 = − 8 x 2 = −(5/2)x 4 − 23 x 3 = (1/2)x 4 − 7
- Comprobar, sustituyendo en (5), que la parametrizaci´on calculada es, para todo valor de x 4 , una soluci´on.
- La reducci´on de Gauss-Jordan de un sistema es ´unica. No importa c´omo hag- amos las transformacionmes elementales, siempre obtenemos la misma matriz reducida. ¿Por qu´e?
4. (*) Resolver el sistema
3 x +z = 12
x +4y −z = 2
5 x − 3 y +4z = 1
sobre el cuerpo finito, con trece elementos, Z 13 y sobre Q. ¿Cu´al es la relaci´on
entre las dos soluciones?
Soluci´on: Sobre Z 13 la soluci´on es x = 1, y = 9, z = 9
y sobre Q x = 73/ 8 , y = − 45 / 8 , z = − 123 / 8. Una vez obtenida las soluciones, conviene, para comprobar el resultado, sustituir los val- ores obtenidos en las ecuaciones del sistema.
5. (*) Estudiar el sistema
x by +az = 1
ax +by +z = a
x +aby +z = b
seg´un los valores de los par´ametros a y b.
Soluci´on: La eliminaci´on gaussiana de la matriz del sistema homogeneizado nos da, suponiendo b 6 = 0 y a 6 = 1,
0 B B @
1 b a − 1
0 b − ab 1 − a^2 0 0 2 − a − a^2 1 − b
C
C
A.
Hay que tratar los casos b = 0 ´o a = 1 aparte.
6. Estudiar el sistema homog´eneo con matriz
x b a b
b x b a
a b x b
b a b x
3 Matrices
Notaciones:
- La matriz identidad n × n, unos en la diagonal y ceros fuera de ella, se denota por In.
- La matriz nula n × n , ceros en todas las entradas, se denota por 0n.
- El producto λA de un n´umero, λ, por una matriz, A = (aij ), es la matriz (λaij ).
- AT^ denota la matriz transpuesta de la matriz A: si A = (aij ), entonces AT^ = (aji). La matriz transpuesta tiene por i-´esima fila la i-´esima columna de A. Tambi´en se puede utilizar At^ para denotar la transpuesta.
- La suma de matrices se realiza componente a componente, para obtener la matriz A+B := (aij +bij ). Las dos matrices deben tener el mismo n´umero de filas y columnas. Se verifica que (A+B)T^ = AT^ +BT^ , pero (cuidado!!) NO que (A+B)−^1 = A−^1 +B−^1.
- Indicamos el producto de matrices simplemente escribiendo juntas ambas matrices, en la forma AB. Para poder efectuar este producto es necesario que, si A es m × n y B es k × `, se verifique n = k. Se verifica que (AB)T^ = BT^ AT^ , y tambi´en, si A y B son invertibles, que (AB)−^1 = B−^1 A−^1
- El producto de matrices no es, en general conmutativo, pero si es asociativo y distribu- tivo respecto a la suma, es decir, se verifica
A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC
- Una matriz A es invertible si (a) Tiene n filas y n columnas. (b) Existe otra matriz, tambi´en n × n, A−^1 tal que AA−^1 = A−^1 A = In.
y la inversa es la matriz formada por las cuatro ´ultimas columnas.
10. Consid´erese la matriz 2 × 2
A =
a b
c d
y sea h = ad − bc.
a) Demu´estrese que si h 6 = 0, entonces
d/h −b/h
−c/h a/h
es la inversa de la matriz A.
b) Comprobar que A es invertible si y s´olo si h 6 = 0.
11. (*) Determinar los valores de c tales que la matriz siguiente no tiene in-
versa:
Ac :=
2 c c
c c c
8 7 c
Ayuda: Podemos usar el algoritmo de Gauss-Jordan sobre la matriz Ac. Sabemos que los valores de c tales que el algoritmo llega a la matriz identidad I 3 son los ´unicos tal que la matriz Ac es invertible. En este caso, la matriz no es invertible para c = 0, 2 , 7. Veremos m´as adelante otros m´etodos para plantear este ejercicio.
12. Sea G el conjunto de las matrices 4 × 4 que consisten de ceros y unos con
exactamente un 1 en cada fila y columna. Por ejemplo,
Comprobar
a) G contiene 24 = 4! matrices,
b) G con la operaci´on de multiplicaci´on de matrices es un grupo,
c) G es isomorfo al grupo de permutaciones de 4 elementos, S 4.
13. (*) Hallar n´umeros a y b para que
− 1
a b b b
b a b b
b b a b
b b b a
Ayuda: Podr´ıamos intentar calcular, usando Gauss-Jordan, la matriz inversa que aparece a la izquierda de la igualdad, pero nos est´an dando la forma que tiene la matriz inversa y es tonto no usar esa informaci´on. ¿C´omo?
3.1 Matrices n × n
14. Sea M una matriz 2 n × 2 n con bloques n × n: A, B, C y D:
M =
A B
C D
Describir M T^ en t´erminos de A, B, C y D.
15. Comprobar que si A es una matriz cuadrada, (A^4 )T^ = (AT^ )^4
16. (*) Comprobar que si A es una matriz cuadrada invertible, entonces AT^ es
invertible, y de hecho:
(AT^ )−^1 = (A−^1 )T
17. (*) Una matriz es sim´etrica si y s´olo si es igual a su transpuesta. Sean A y
B matrices sim´etricas n × n. ¿Cu´ales de las matrices siguientes son sim´etricas?
a) A^2 − B^2
b) (A + B)(A − B)
c) ABA
d) ABAB
Soluci´on: Por ejemplo, consideremos el apartado b). Calculamos
((A + B)(A − B))T^ = = (A − B)T^ (A + B)T^ = (AT^ − BT^ )(AT^ + BT^ ) =
= (A − B)(A + B) ? = (A + B)(A − B).
La ´ultima igualdad, con la interrogaci´on, no siempre es cierta porque el producto de matrices no es siempre conmutativo, y multiplicando los par´entesis podemos ver que vale si y s´olo si AB = BA.
18. (*) Una matriz cuadrada A, n × n se dice nilpotente si Ar^ = 0n, para
alg´un n´umero natural r.
a) Demostrar que si A es una matriz invertible, n × n, entonces A no es nilpo-
tente.
b) Dar un ejemplo de una matriz A, n × n con n ≥ 2 , tal que An^ = 0, y, por
tanto, A es nilpotente, pero tal que An−^1 6 = 0.
- (Grassmann) Si E 1 , E 2 ⊂ E son subespacios, con E finitamente generado, se verifica dim(E 1 + E 2 ) + dim(E 1 ∩ E 2 ) = dim(E 1 ) + dim(E 2 ).
- (Frobenius) El n´umero m´ınimo de ecuaciones en un sistema cuya soluci´on es un sube- spacio de kn, de dimensi´on
, es n −. - Todo subespacio E 1 ⊂ E, con E finitamente generado, tiene un complemento F tal que E = E 1 ⊕ F.
4.1 Espacios vectoriales y subespacios
- (*) En los ejemplos que siguen, decidir si el conjunto dado, junto con las operaciones indicadas de suma y multiplicaci´on por un escalar, es o no un espacio vectorial.
i) El conjunto Q^2 con la suma usual, pero con la multiplicaci´on por un escalar definida por r(x, y) = (ry, rx). ii) El conjunto Q^2 con la multiplicaci´on es- calar usual, pero con la suma definida por (x, y) + (r, s) = (y + s, x + r) .
iii) El conjunto Q de todos los n´umeros racionales con las operaciones usuales de suma y multiplicaci´on por un escalar.
iv) El conjunto de todas las funciones que transforman R en R con la multipli- caci´on por un escalar usual pero con la operaci´on de suma dada por
(f + g)(x) = m´ax{f (x), g(x)}
Soluci´on:
IV) Es dif´ıcil que esta suma tenga las propiedades exigidas. Por ejemplo, para que exista un
elemento neutro para la suma deber´ıa existir una funci´on tal que el m´aximo de ella y cualquier funci´on f (x) fuera, para todo x, igual a f (x). Tal funci´on no existe. ¿Por qu´e?
- (*) En los ejemplos que siguen, determinar si el subconjunto indicado es o no un sube- spacio del espacio vectorial dado.
i) {(r, −r) : r ∈ Q}, en Q^2. ii) {(r, r + 1) : r ∈ Q}, en Q^2. iii) {(a, b) : a, y b son enteros }, en Q^2. iv) {(x, y) : x, y ∈ Q, x ≥ 0 , y ≥ 0 }, en Q^2. v) {(x, y, z) : x, y ∈ Q y z = 3x+2}, en Q^3. vi) Las sucesiones convergentes de n´umeros reales en el espacio de las sucesiones de n´umeros reales.
vii) Las matrices racionales n × n que son antisim´etricas, es decir, tales que A = −AT^.
viii) Los polinomios de grado exactamente 7 en el espacio Q[x].
ix) El conjunto de todas las funciones f tales que f (1) = 0, en el espacio vec- torial de todas las funciones que trans- forman Q en Q.
x) El conjunto de todas las funciones f tales que f (0) = 1, en el espacio vec- torial de todas las funciones que trans- forman Q en Q.
Soluci´on: VIII) La diferencia de dos polinomios de grado siete, que empiecen los dos por x^7 , es de grado a lo m´as seis. X) La suma de dos funciones verificando f (0) = 1 tiene valor en 0 igual a ...
¿Por qu´e es distinto este caso del anterior?
4.2 Sistemas generadores, independencia lineal y bases
- Determinar si los vectores (1, 2 , 1), (2, 1 , 3), (3, 3 , 4) y (− 1 , 2 , 0) generan Q^3.
- Expresar, si es posible, el vector b como combinaci´on lineal de los otros vectores vi en el espacio Q^3
i) b = (1, 3 , 1), v 1 = (2, 1 , 1), v 2 = (1, 1 , 2) v 3 = (3, 1 , 0). ii) b = (1, 2 , 3), v 1 = (2, 2 , 2), v 2 = (1, 0 , 1).
- (*) Sea E un espacio vectorial y sean v 1 y v 2 vectores de E. Demostrar que
i) < v 1 , v 2 >=< v 1 , 2 v 1 + v 2 >. ii) < v 1 , v 2 >=< v 1 + v 2 , v 1 − v 2 >.
- (*) Hallar un conjunto de vectores, lo m´as peque˜no posible, que genere el espacio soluci´on del sistema: 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 − 6 x 2 + x 3 + = 0
Soluci´on: Nos est´an pidiendo un sistema generador minimal, es decir, una base, de la soluci´on del sistema lineal.
- Hay que resolver el sistema, por ejemplo, mediante reducci´on gaussiana, hasta obtener una parametrizaci´on de la soluci´on.
- Obtenemos vectores del subespacio soluci´on dando valores a los par´ametros. Podemos obtener as´ı todos los vectores del subespacio soluci´on.
- Para obtener una base del subespacio soluci´on basta darles valores adecuados a los par´ametros , es decir, de todas las maneras en que es posible, valor uno a un par´ametro y cero a los restantes.
- Concretamente, en este caso, la parametrizaci´on resulta ser
x 1 = −(7/13)x 3 − (6/13)x 4 x 2 = (1/13)x 3 − (1/13)x 4 y una base del subespacio soluci´on del sistema est´a formada por los vectores
v 1 = (−(7/13), (1/13), 1 , 0) v 2 = (−(6/13), −(1/13), 0 , 1).
- Comprobar que los vectores, v 1 y v 2 , pertenecen al subespacio soluci´on del sistema, y que realmente forman una base de ´el.
- (*) Decidir si el conjunto de vectores dado es dependiente o independiente. Si es de- pendiente, hallar un conjunto independiente que genere el mismo subespacio que el conjunto dado.
i) {(2, 1), (− 6 , −3), (1, 4)} en Q^2. ii) {(1, − 3 , 2), (2, − 5 , 3), (4, 0 , 1)} en Q^3. iii) {x^2 − 1 , x^2 + 1, 4 x, 2 x − 3 } en Q[x].
Soluci´on: III)
- Planteamos el sistema α · (x^2 − 1) + β · (x^2 + 1) + γ · (4x) + τ · (2x − 3) = 0 con inc´ognitas α, β, γ, τ y el cero a la derecha de la igualdad representando el polinomio nulo.
- Agrupando t´erminos, obtenemos (α + β)x^2 + (4γ + 2τ )x + (−α + β − 3 τ ) = 0.
- Dos polinomios iguales deben tener todos sus coeficientes iguales, de forma que obten- emos el sistema lineal
α + β = 0 4 γ + 2τ = 0 −α + β − 3 τ = 0
v 1 =
B
B
C
C
A v^2 =
B
B
C
C
A v^3 =
B
B
C
C
A
v 4 =
BB
CC
A v^5 =
BB
CC
A v^6 =
BB
CC
A
Ayuda: Nos est´an pidiendo la dimensi´on del subespacio generado por los seis vectores, que se puede calcular como el n´umero de pivotes en la reducci´on del sistema que tiene como matriz la que se forma con los seis vectores como columnas. En este caso, la dimensi´on es tres.
- Sup´ongase que S es un subespacio de Q^6 de dimensi´on 5. Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
i) Toda base de S se puede extender a una base de Q^6 a˜nadi´endole un vector. ii) Toda base de Q^6 se puede reducir a una base de S eliminando un vector.
- Hallar una base para el plano Π : x − 2 y + 3z = 0 en Q^3. Y, despu´es, hallar una base para la intersecci´on de este plano con el plano z = 0.
4.3 Ecuaciones de un subespacio
- (*) Hallar una ecuaci´on para el hiperplano en Q^4 generado por los vectores
u := (1, − 1 , 1 , 0) v := (1, 1 , 0 , 1) w := (2, 0 , 1 , 0)
- (*) Determinar un sistema lineal homog´eneo de ecuaciones tal que su soluci´on sea, exactamente, el subespacio de Q^4 generado por los vectores v 1 := (1, 2 , 3 , 4) y v 2 := (2, 3 , 4 , 5).
Soluci´on:
- Los dos vectores, v 1 y v 2 , son linealmente independientes, como podemos comprobar mediante reducci´on gaussiana de la matriz que los tiene por filas. Llamemos E 1 al subespacio, de dimensi´on 2, que generan.
- Consideramos una forma lineal con coeficientes, Ai, indeterminados
A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 x 4 e imponemos que se anula sobre v 1 y v 2 , obteniendo dos ecuaciones
A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 = 0 2 A 1 + 3A 2 + 4A 3 + 5A 4 = 0 La soluci´on del sistema es el conjunto de 4 -uplas que son coeficientes de formas lineales que se anulan en v 1 y v 2.
- Reduciendo este sistema, obtenemos la parametrizaci´on
A 1 = A 3 + 2A 4 A 2 = − 2 A 3 − 3 A 4 y, dando valores adecuados a las variables, una base de E^01 :
- De acuerdo con el teorema de Frobenius, estos dos vectores son los coeficientes de las dos ecuaciones de un sistema cuya soluci´on es E 1. Escribimos el sistema: x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 − 3 x 2 + x 4 = 0
- Queremos ahora comprobar que la afirmaci´on del punto anterior es cierta. Empezamos resolviendo el sistema (10), lo que nos da la parametrizaci´on:
x 1 = 3 x 3 − 2 x 4 x 2 = 2 x 3 − x 4 Dando valores adecuados a las variables libres, obtenemos una base del subespacio soluci´on, al que llamamos E 2 : {w 1 := (3, 2 , 1 , 0), w 2 := (− 2 , − 1 , 0 , 1)}.
- Nuestro problema se reduce ahora a demostrar que se verifica E 1 = E 2. Como conocemos un sistema de ecuaciones, (10), para E 2 , podemos comprobar que E 1 ⊂ E 2 , sin m´as que sustituir las coordenadas de v 1 y v 2 en las dos ecuaciones de (10), y ver que resulta cero en los cuatro casos.
- Concluimos que E 1 = E 2 , porque sabemos que ambos subespacios tienen dimensi´on 2.
- Otro m´etodo: Tambi´en podr´ıamos comprobar el contenido E 1 ⊃ E 2 , escribiendo los vectores wi, i = 1, 2 , como combinaci´on lineal de los vi. Para esto, planteamos un sistema w 1 = αv 1 + βv 2 con dos inc´ognitas y cuatro ecuaciones, que si tiene soluci´on nos dice que w 1 pertenece a E 1. Hay que hacer lo mismo con w 2.
- Otro m´as: Lo expongo en general. Queremos ver si se verifica < v 1 ,... , vn >=< w 1 ,... , wm >. (a) Formamos la matriz A 1 con columnas los vectores vi y, despu´es los wj. Es la matriz del sistema
λ 1 v 1 + · · · + λnvn + β 1 w 1 + · · · + βmwm = 0. (b) Efectuamos la reducci´on gaussiana de A 1. (c) Si todas las variables βj son libres, podremos despejar, dando a todas valor cero menos a una, j 0 , y a esa le damos valor −1, wj 0 como combinaci´on de los vi. Obtendr´ıamos as´ı el contenido < v 1 ,... , vn >⊃< w 1 ,... , wm >. (d) Repetimos el proceso, pero colocando los vectores wj como las primeras columnas de la matriz, a la que llamamos A 2. En nuestro caso la matriz A 1 tiene reducci´on de Gauss-Jordan 0 B B @
C
C
A
que nos da
w 1 = − 5 v 1 + 4v 2 w 2 = 4 v 1 − 3 v 2 y A 2 reduce a 0 B B @
C
C
A
que nos da las combinaciones lineales
v 1 = 3 w 1 + 4w 2 v 2 = 4 w 1 + 5w 2
- Comenzamos con S∩T. Los vectores de S son, para valores arbitrarios de los par´ametros α y β, de la forma αv 1 + βv 2 = (α + 2β, −α + β, α + β, 3 β).
- Los que est´an en S ∩ T son los que, adem´as, verifican las ecuaciones de T , lo que, despu´es de sustituir en ellas y agrupar t´erminos, resulta en:
α − β = 0 − 3 α + 4β = 0 que tiene como ´unica soluci´on α = β = 0. Entonces, S ∩ T = 0 y no tiene bases.
- Una base de T se obtiene de resolver el sistema, que ya est´a en forma reducida. Llegamos a la parametrizaci´on
x 1 = −(3/2)x 3 + (3/2)x 4 x 2 = (1/2)x 3 − (1/2)x 4 y, por tanto, a una base de la forma
{v 3 := (−(3/2), 1 / 2 , 1 , 0), v 4 := (3/ 2 , −(1/2), 0 , 1)}.
- En este caso los cuatro vectores vi son linealmente independientes (compr´uebalo), y por tanto base de S + T. Como la dimensi´on del espacio ambiente es tambi´en cuatro, sabemos que debe ser S + T = Q^4.
- De otra forma: usando que S ∩T = 0 implica, por la f´ormula de Grassmann, dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ), y en este caso dim(S + T ) = 2 + 2 = 4, vemos m´as directamente que S + T = Q^4 ,y, por tanto, que una base de S + T es la base estandar de Q^4.
- Estudiar la suma y la intersecci´on, en funci´on del valor del par´ametro a, de los sube- spacios
E 1 :=< v 1 := (3, 2 , 1 , 0), v 2 := (− 2 , − 1 , 0 , 1), v 3 (a) := (1, 1 , a, 1) > E 2 :=< w 1 := (1, 0 , 0 , 0), w 2 := (1, 2 , 3 , 4), w 3 := (2, 3 , 4 , 5) >.
Soluci´on: La reducci´on gaussiana del sistema con matriz, A, la que tiene como columnas los seis vectores, primero los generadores de E 1 y luego los de E 2 , es 0 B B B B B @
0 0 a − 1 − 1 / 3 0 0 0 0 0 − 2 / 3 0 0
C
C
C
C
C
A
- Si a 6 = 1, las cuatro primeras variables son pivotes, luego las cuatro primeras columnas de A son base de Q^4 = E 1 + E 2. ¿Qu´e podemos decir de la intersecci´on? Las variables β 2 y β 3 son libres, de forma que, como β 1 es cero para todas las soluciones, los vectores w 2 y w 3 generan la intersecci´on, que es 2-dimensional.
- Si a = 1, la suma E 1 + E 2 tiene como base los vectores v 1 , v 2 y w 1 , luego es tridimen- sional. El subespacio E 1 tiene dimensi´on 2, y el E 2 dimensi´on 3. Tiene que ocurrir entonces, ya que la suma tiene dimensi´on 3, que E 1 ⊂ E 2 , y, por tanto, E 1 ∩ E 2 = E 1.
- Consideramos los subespacios de Q^4 definidos por
E 1 := < (1, 1 , 1 , 1), (1, − 1 , 1 , −1), (1, 3 , 1 , 3) > E 2 := < (1, 2 , 0 , 2), (1, 2 , 1 , 2), (3, 1 , 3 , 1) >. calcular una base de E 1 ∩ E 2 , y extenderla a bases de E 1 y E 2.
- (*) Consideramos los subespacios de Q^4 definidos por
E 1 := < e 1 := (1, 2 , 3 , 4), e 2 := (2, 2 , 2 , 6), e 3 := (0, 2 , 4 , 4) > E 2 := < e 4 := (1, 0 , − 1 , 2), e 5 := (2, 3 , 0 , 1) >.
calcular una base de E 1 ∩ E 2 , y extenderla a bases de E 1 y E 2.
Soluci´on:
- Empezamos considerando el sistema
λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = λ 4 e 4 + λ 5 e 5 (11) que tiene como matriz
A :=
B
B
B
BB
C
C
C
CC
A
cuyas primeras tres columnas son los generadores de E 1 , y las otras dos los de E 2 cambiados de signo.
- Una reducci´on gaussiana de A es 0 B B BB B @
C
C
CC
C
A
y una parametrizaci´on de la soluci´on
λ 1 = −λ 4 , λ 2 = λ 4 , λ 3 = 0, λ 5 = 0. (12)
- ¿Qu´e informaci´on podemos obtener de la soluci´on del sistema? (a) Los vectores e 1 , e 2 y e 3 son linealmente independientes, ya que una relaci´on de dependencia lineal λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = 0
nos da una soluci´on del sistema (11) de la forma
(λ 1 , λ 2 , λ 3 , 0 , 0) pero, como λ 4 = 0, la parametrizaci´on (12)nos dice que debe ser λ 1 = λ 2 = λ 3 =
(b) Los vectores e 3 y e 4 son , tambi´en, linealmente independientes, ya que una relaci´on de dependencia lineal
λ 4 e 4 + λ 5 e 5 = 0 nos da una soluci´on del sistema (11) de la forma
(0, 0 , 0 , −λ 4 , −λ 5 ) pero, como λ 5 = 0, para toda soluci´on de (11), nos queda λ 4 e 4 = 0 y, por ser e 4 6 = 0, tambi´en λ 4 = 0. (c) La intersecci´on E 1 ∩ E 2 est´a generada por e 4 : obtenemos una base de la soluci´on de (11), que tiene dimensi´on 1, dando valor adecuado a la variable libre λ 4 (λ 4 = 1). Entonces, la soluci´on b´asica de (11) corresponde a la relaci´on (que nos da e 4 como combinaci´on lineal de e 1 y e 2 ), −e 1 + e 2 − e 4 = 0,
y E 1 ∩ E 2 tiene, tambi´en, dimensi´on 1 y est´a generado por e 4. Por supuesto, tambi´en podemos afirmar que E 1 ∩ E 2 est´a generado por −e 1 + e 2.
- Falta extender las bases. (a) Obtenemos una base de E 2 que contiene a e 4 sin c´alculos: es {e 4 , e 5 }.
4.5 Espacios de funciones
- El espacio C 3 es el espacio que contiene todas las combinaciones lineales de las fun- ciones cos(x), cos(2x) y cos(3x), es decir, las funciones:
f (x) = Acos(x) + Bcos(2x) + Ccos(3x)
donde A, B y C son n´umeros reales cualesquiera. Hallar una base para el subespacio de C 3 formado por las funciones f ∈ C 3 tales f (0) = 0.
- Supongamos que y 1 (x), y 2 (x) e y 3 (x) son tres funciones diferentes. El espacio vecto- rial que generan puede tener dimensi´on 1, 2, o 3. Dar un ejemplo de y 1 , y 2 , y 3 para cada posibilidad.
- Sea F el espacio vectorial de las funciones de R con valores en R. Comprobar que:
i) < sen^2 (x), cos^2 (x) > contiene todas las funciones constantes. ii) < sen^2 (x), cos^2 (x) > contiene a la funci´on cos(2x). iii) < 7 , sen(2x) > contiene la funci´on 8 cos(4x).
- (*) Decidir si el conjunto dado de funciones del espacio vectorial F es independiente o dependiente.
i) {sen(x), cos(x)}. ii) { 1 , x, x^2 }. iii) {sen(x), sen(2x), sen(3x)}. iv) {sen(x), sen(−x)}.
Soluci´on: III) Supongamos que son linealmente dependientes. Existen, entonces, constantes tales que
α · sen(x) + β · sen(2x) + γ · sen(3x) = 0
para todo valor de x. Si damos a x los valores π/ 6 , π/3 y π/2 obtenemos el sistema
(1/2)α + (
3 /2)β + γ = 0 (
3 /2)α + (
3 /2)β = 0 α − γ = 0
que tiene como ´unica soluci´on α = β = γ = 0, y las tres funciones son linealmente independi-
entes.
5 Aplicaciones lineales
Si A es una matriz m × n con entradas en un cuerpo k (Q, R, C, o un cuerpo finito Zp con p un primo), podemos verla como la matriz de una aplicaci´on lineal, a la que seguimos llamando A,
kn^ A −→ km e 7 → A · e Si no se indica exp´ıcitamente un cuerpo, debemos entender que se trata de uno cualquiera; sin embargo, no suele crear ning´un problema suponer que, en tal caso, el cuerpo es el de los n´umeros racionales Q. El subespacio columna de A es el subespacio de Col(A) ⊂ km^ generado por las columnas de la matriz. Es el subespacio formado por todas las im´agenes, por la aplicaci´on lineal A, de los vectores de kn, y le llamamos, tambi´en, imagen de la aplicaci´on lineal A. El rango de la matriz A es la dimensi´on de su subespacio columna. El subespacio fila de A es el subespacio de F il(A) ⊂ kn^ generado por las filas de la matriz A. El subespacio nulo de A es la soluci´on, contenida en kn, del sistema lineal homog´eneo A · X = 0. Se le llama tambi´en n´ucleo de la aplicaci´on lineal A. Dada una matriz A, m × n, nos referimos con la expresi´on los cuatro subespacios de A a los subespacios Col(A), F il(A), N uc(A) y N uc(AT^ ).
5.0.1 Algunos resultados
- Si u : E → F es una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales de dimensi´on finita, se verifica dim(Nuc(u)) + dim(Im(u)) = dim(E).
- El rango de una matriz A es igual al rango de AT^. La dimensi´on de Col(A) es igual a la de F il(A).
5.1 Subespacios columna, fila y nulo
- (*) Construir un matriz 3 × 3 cuyo espacio columna contenga a los vectores (1, 1 , 0) y (1, 0 , 1) pero no a (1, 1 , 1).
Ayuda:
Empezamos con una matriz A que tenga como primera y segunda columnas los vectores
(1, 1 , 0) y (1, 0 , 1). La tercera columna ser´a un vector indeterminado (x, y, z). Para terminar,
basta imponer que (1, 1 , 1) no pertenezca a la imagen de A. ¿C´omo?
- Describir el subespacio m´as peque˜no de M 2 × 2 (Q), las matrices 2 × 2 con coeficientes reales, que contengan a las matrices que se indican:
i) (^) „ 1 0 0 0
ii) (^) „ 1 1 0 0
iii) (^) „ 1 0 0 0
Soluci´on:
III) Como M 2 × 2 (Q) ∼= Q^4 , podemos ver estas matrices como vectores de Q^4. Entonces, nos
piden una descripci´on del subespacio generado por los vectores (1, 0 , 0 , 0) y (1, 0 , 0 , 1), que son vectores linealmente independientes. Se trata del plano generado por los dos vectores.
- (*) En este ejercicio se pide dar matrices con las propiedades que se especifican (si es que es posible):
i) Construir una matriz cuyo espacio nulo consista de todas las combinaciones lineales de (2, 2 , 1 , 0) y (3, 1 , 0 , 1). ii) Construir una matriz cuyo espacio nulo consista de los m´ultiplos de (4, 3 , 2 , 1). iii) Construir una matriz cuyo espacio de columnas contenga a (1, 1 , 5) y a (0, 3 , 1) y cuyo espacio nulo contenga a (1, 1 , 2). iv) Construir una matriz cuyo espacio de columnas contenga a (1, 1 , 0) y a (0, 1 , 1) y cuyo espacio nulo contenga (1, 0 , 1) y (0, 0 , 1). v) Construir una matriz cuyo espacio de columnas contenga a (1, 1 , 1) y cuyo espacio nulo est´e generado por (1, 1 , 1 , 1). vi) Construir una matriz 2 × 2 cuyo espacio nulo sea igual a su espacio de columnas. ¿Existen matrices 3 × 3 cuyos espacio nulo y espacio de columnas coincidan?
Soluci´on: V) La matriz tiene que tener 3 filas y 4 columnas. Su primera columna puede ser (1, 1 , 1), y representemos la matriz buscada por A′^ := (1 | A) con A una matriz 3 × 3. Queremos que
- A′^ · (1, 1 , 1 , 1)T^ = 0.
- Y que (1, 1 , 1 , 1) sea la ´unica soluci´on, salvo m´ultiplos, de este sistema.
