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TEMA 4: Espacios y subespacios vectoriales
- Espacios vectoriales Sea K un cuerpo. Denominaremos a los elementos de K escalares.
Definici´on 1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V cuyos elementos se deno- minan vectores y en el cual hay definidas dos operaciones: una operaci´on interna o suma de vectores tal que
(V, +) es un grupo abeliano
El elemento neutro los denotamos como ~0 (para distinguirlo del elemento neutro del cuerpo K) , y lo llamaremos el vector cero. Adem´as hay definida una operaci´on llamada el producto de un escalar por un vector, es decir, una aplicaci´on K × V → V , verificando para cualesquiera λ, λ 1 , λ 2 ∈ K y para cualesquiera u, v ∈ V que:
- λ(u + v) = λu + λv
- (λ 1 + λ 2 )u = λ 1 u + λ 2 u
- λ 1 (λ 2 u) = (λ 1 · λ 2 )u
- 1 · u = u
Ejemplos 2.
- El conjunto V = R × R es un espacio vectorial sobre el cuerpo R con respecto de la operaciones (x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ), λ · (x 1 , x 2 ) = (λ · x 1 , λ · x 2 )
El vector cero es ~0 = (0, 0).
- Sea V = Q[x] 3 = {a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 | ai ∈ Q} el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q y de grado menor o igual que tres. Entonces V es un espacio vectorial sobre Q con respecto de las operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio:
λ · (a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 ) = (λa 0 ) + (λa 1 )x + (λa 2 )x^2 + (λa 3 )x^3
- Si V 1 , V 2 ,... , Vn son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, entonces el producto cartesiano V = V 1 × V 2 ×... × Vn es de nuevo un espacio vectorial sobre K respecto de las operaciones (u 1 , u 2 ,... , un) + (v 1 , v 2 ,... , vn) = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,... , un + vn)
λ · (u 1 , u 2 ,... , un) = (λ · u 1 , λ · u 2 ,... , λ · un)
El vector cero de V es ~ (^0) V = (~ (^0) V 1 ,~ (^0) V 2 ,... ,~ (^0) Vn ).
1
- El conjunto V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 | x 1 − 4 x 2 − 5 x 3 = 0} es un espacio vectorial sobre R. V tambi´en se puede describir como el conjunto {λ 1 · (4, 1 , 0) + λ 2 · (5, 0 , 1) | λ 1 , λ 2 ∈ R}
- M´as generalmente, el conjunto de las soluciones de un sistema homog´eneo de ecua- ciones lineales sobre un cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K.
- Es inmediato comprobar que todo cuerpo K se puede considerar como un espacio vectorial sobre s´ı mismo. En este caso, las operaciones sobre vectores coinciden con las correspondientes operaciones sobre escalares.
- El conjunto Mm×n(K) es un espacio vectorial sobre K.
Las siguientes propiedades generales se deducen de la definici´on de espacio vectorial:
Propiedad 3. Sea V un espacio vectorial sobre K. Entonces:
- ∀u ∈ V, 0 · u = ~ 0
- ∀λ ∈ K, λ · ~0 = ~ 0
- Dados λ ∈ K, u ∈ V , si λ · u = ~ 0 entonces λ = 0 ´o u = ~ 0.
- ∀λ ∈ K, ∀u ∈ V , (−λ)u = −(λu) = λ(−u)
- ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V , λ(u − v) = λu − λv
- ∀λ 1 , λ 2 ∈ K, ∀u ∈ V , (λ 1 − λ 2 )u = λ 1 u − λ 2 u
- Dados λ, μ ∈ K y u 6 = ~ 0 , si λ · u = μ · u entonces λ = μ.
- Dados λ ∈ K,λ 6 = 0, y u, v ∈ V , si λ · u = λ · v entonces u = v.
Definici´on 4. Dados los vectores u 1 , u 2 ,... , un ∈ V , y los escalares λ 1 , λ 2 ,... , λn ∈ K, un vector de la forma
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λnun
se denomina una combinaci´on lineal de los vectores u 1 , u 2 ,... , un con coeficientes λ 1 , λ 2 ,... , λn.
- Subespacios vectoriales Dado un espacio vectorial V , decimos que un subconjunto no vac´ıo U ⊆ V , es un sub- espacio vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicaci´on por escalares para V a U , ´este es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendo es que:
- Para cualesquiera u, v ∈ U , se verifica que u + v ∈ U
- Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U Observar que la segunda condici´on anterior implica que el vector cero de V est´a tambi´en
en U , ya que si u ∈ U , entonces 0 · u =
0 ∈ U.
Propiedad 5. U es un subespacio vectorial de V si y s´olo si ∀u, v ∈ U y ∀λ, μ ∈ K se verifica que λu + μv ∈ U.
En algunos textos se escribe L(X) en vez de 〈X〉.
Propiedad 13. 〈X〉 es un subespacio vectorial de V , el cual se denomina el subespacio vectorial generado por el conjunto X. Adem´as 〈X〉 es la intersecci´on de todos los subespacios de V que contienen al subconjunto X.
Definici´on 14. Un subconjunto X de V se denomina un sistema de generadores para V si 〈X〉 = V , es decir, si cualquier vector de V se puede expresar como combinaci´on lineal de vectores de X. Se dice que un espacio vectorial V es finitamente generado, si admite un sistema de generadores finito.
Ejemplos 15.
- El conjunto X = {(1, 0), (0, 1)} es un sistema de generadores para R^2 pues dado v = (x, y) ∈ R^2 se verifica que v = x · (1, 0) + y · (0, 1). Por tanto R^2 = 〈(1, 0), (0, 1)〉
- El conjunto X = {(1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 1)} es un sistema de generadores para R^3 , pero X′^ = {(1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 1 , 2)} no lo es. 3. Dependencia e independencia lineal
Definici´on 16. Los vectores u 1 , u 2 ,... , un de V se dicen linealmente dependientes si existen escalares, no todos nulos, tal que
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λnun = ~ 0
Definici´on 17. Los vectores u 1 , u 2 ,... , un de V se dicen linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ 1 , λ 2 ,... , λn ∈ K, si λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... + λnun = ~0 entonces λ 1 = λ 2 =... = λn = 0.
Definici´on 18. Un subconjunto U de V se dice linealmente dependiente, si existe un subconjunto finito de U el cual es linealmente dependiente. En caso contrario, se dice que U es linealmente independiente (es decir, cuando todo subconjunto finito de U sea linealmente independiente).
Ejemplos 19.
- Los vectores u = (− 4 , 2), v = (6, −3) de R^2 son linealmente dependientes, ya que verifican 3u + 2v = ~0.
- Los vectores u = (1, −1), v = (0, −2) de R^2 son linealmente independientes, pues de ocurrir λu + μv = (0, 0), vemos que la ´unica posibilidad es λ = μ = 0.
- Sea V = {(x 1 , x 2 ,.. .) | xi ∈ R}, es decir, V es el conjunto de todas las sucesiones de n´umeros reales. Entonces el subconjunto U = {(1, 0 , 0 , 0 ,.. .), (1, 1 , 0 , 0 ,.. .), (1, 1 , 1 , 0 ,.. .),.. .} de V es linealmente independiente.
Comentario 20. Dos vectores u, v se dicen proporcionales si existe λ 6 = 0 tal que u = λ · v. Para dos vectores no nulos u, v se verifica que el conjunto {u, v} es linealmente dependiente si y s´olo si u y v son vectores proporcionales.
Las siguientes propiedades son consecuencias f´aciles de las definiciones, y su demostraci´on queda propuesta como ejercicio para el alumno.
Propiedad 21. Para un espacio vectorial V :
- Los vectores u 1 , u 2 ,... , ur son linealmente dependientes si y s´olo si alguno de dichos vectores es combinaci´on lineal de los restantes.
- Si ~ 0 ∈ X ⊆ V entonces X es linealmente dependiente. Por tanto el conjunto {u} es linealmente independiente si y s´olo si u 6 = ~ 0.
- Supongamos que existen subconjuntos de vectores tales que X ⊆ Y ⊆ V : a) Si X es linealmente dependiente, entonces Y es linealmente dependiente. b) Si Y es linealmente independiente, entonces X es linealmente independiente.
Comentario 22. Recalcamos la importancia del cuerpo K sobre el cual se define el espacio vectorial a la hora de hablar de dependencia e independencia lineal de vectores. Por ejemplo, supongamos que V = R^2 y u = (1,
2), v = (
2 , 2). Si K = R entonces los vectores u, v son linealmente dependientes ya que son proporcionales. Sin embargo, si K = Q entonces ambos vectores son linealmente independientes.
Definici´on 23. Un subconjunto B de V se dice que es una base para V cuando:
B es un sistema de generadores para V. B es un conjunto linealmente independiente.
Ejemplos 24.
- El conjunto B = {(1, 0 ,... , 0 , 0), (0, 1 ,... , 0 , 0),... , (0, 0 ,... , 1 , 0), (0, 0 ,... , 0 , 1)} es una base para V = Kn^ y se denomina la base can´onica de Kn.
- Para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sea Ai,j la matriz que tiene el valor 1 en la fila i, columna j, y el valor 0 en cualquier otra posici´on. Entonces el conjunto B = {Ai,j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} es una base para el espacio vectorial Mm×n(K). B es la base can´onica para Mm×n(K).
- El conjunto { 1 , x, x^2 ,... , xn} es la base can´onica para el espacio vectorial K[x]n. Notamos que al dar una base para un espacio vectorial, no s´olo estamos dando un conjunto sino adem´as una ordenaci´on para los elementos de dicho conjunto. El estudio de las bases de los espacios vectoriales es interesante por la siguiente propiedad:
Propiedad 25. Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de V. Entonces B es una base de V si y s´olo si todo vector de V se expresa de manera ´unica como una combinaci´on lineal de vectores de B.
Definici´on 26. Un espacio vectorial se dice de dimensi´on finita (o finito-dimensional) si tiene al menos una base finita.
Cerramos esta secci´on dado la definici´on siguiente:
Definici´on 33. Sea B = {v 1 , v 2 ,... , vn} una base para V. Si w ∈ V entonces de acuerdo con la Propiedad 25 existen unos ´unicos escalares λ 1 , λ 2 ,... , λn ∈ K tal que w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λnvn. Diremos que λ 1 , λ 2 ,... , λn son las coordenadas del vector w respecto de la base B y notaremos este hecho escribiendo
w B = (λ 1 , λ 2 ,... , λn)
Ejemplo 34. Sean v 1 = (− 1 , 1) y v 2 = (1, 1); entonces B′^ = {v 1 , v 2 } es una base para R^2.
Si w = (8, −2), entonces w = (−5)v 1 + 3v 2. Por tanto escribimos w B
′ = (− 5 , 2).
Ejemplo 35. Las coordenadas de un vector w = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Kn^ respecto de la base
can´onica B son x 1 , x 2 ,... , xn por lo cual w B = (x 1 , x 2 ,... , xn).
- Criterios pr´acticos Ahora relacionamos las operaciones sobre matrices vistas en el tema anterior con los con- ceptos sobre espacios vectoriales estudiados en este tema. Obtendremos m´etodos pr´acticos para hacer c´alculos sobre espacios y subespacios vectoriales. Supongamos que tenemos un conjunto X formado por m vectores no nulos de un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre un cuerpo K y B es una base para V (Obsevar que m ≤ n). Sea A ∈ Mm×n(K) la matriz cuyas filas se obtienen al escribir las coordenadas de los vectores de X respecto de la base B.
- Si A est´a en forma escalonada por filas (incluso sin exigirle que los pivotes sean iguales a 1), entonces X es un conjunto linealmente independiente de vectores.
- Supongamos que le aplicamos operaciones elementales de filas a la matriz A y obtenemos una matriz A′. Las filas de A′^ representar´an las coordenadas respecto de la base B de los vectores de un cierto conjunto X′. Entonces se verifica que 〈X〉 = 〈X′〉.
- rg(A) = dimK (〈X〉). Por tanto X es linealmente independiente si y s´olo si rg(A) = m.
- En el caso particular de m = n deducimos que X es una base de V si y s´olo si A es una matriz regular, es decir, si y s´olo si |A| 6 = 0.
Ejemplo 36. Calcular una base para el subespacio de R^4 generado por los vectores (4, − 1 , 1 , 7), (− 1 , − 1 , 11 , 2), (1, 0 , − 2 , 1), (4, 0 , − 8 , 4). Dichos vectores vienen dados en t´erminos de la base can´onica, por lo cual la matriz A es igual a (^)
Aplicando las operaciones elementales F 4 ← F 4 − 4 F 3 , F 1 ↔ F 3 , F 2 ← F 2 + F 1 , F 3 ← F 3 − 4 F 1 , F 3 ← F 3 − F 2 obtenemos la matriz
de lo cual deducimos que una base para U es {(1, 0 , − 2 , 1), (0, − 1 , 9 , 3)} y que dimK (U ) =
- De hecho, dos cualesquiera de entre los tres primeros generadores dados inicialmente tambi´en forman una base para U (¿Por qu´e?).
Ejemplo 37. Sea V = R[x] 3 y U = 〈S〉 donde S = {1 + x^2 − x^3 , 1 − 5 x^2 + 4x^3 , 2 − 4 x^2 + 3 x^3 , 4 − 2 x^2 + x^3 }. Al igual que en el ejercicio anterior, calculamos la dimensi´on y una base para U. Con respecto de la base can´onica B = { 1 , x, x^2 , x^3 } de V , la matriz de coordenadas ser´ıa
A =
que es equivalente por filas con la siguiente matriz escalonada (observar que no exigimos que los pivotes tengan que ser iguales a 1)
Esto significa que^ ´ dimR(U ) = 2 y BU = {1 + x^2 − x^3 , − 6 x^2 + 5x^3 } es una base para U.
Ejemplo 38. Sea V = R[x] 3 y U = 〈S〉 donde S = {1 + x + x^2 − x^3 , 1 + x − x^2 − x^3 }. La matriz de coordenadas para los vectores de S con respecto de la base can´onica es ( 1 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1
que es equivalente por filas con la matriz escalonada ( 1 1 1 − 1 0 0 − 2 0
¿Pertenece el vector p(x) = 1 + x − 5 x^2 − x^3 a U? Si a˜nadimos la fila de las coordenadas de este vector a la matriz anterior obtenemos la matriz
Partimos de w = μ 1 v 1 + μ 2 v 2. Reemplazando los vi por las igualdades anteriores, obtenemos:
w = μ 1 (a 1 , 1 u 1 + a 2 , 1 u 2 ) + μ 2 (a 1 , 2 u 1 + a 2 , 2 u 2 ). Quitando par´entesis y sacando factor com´un, se obtiene:
w = (μ 1 a 1 , 1 + μ 2 a 1 , 2 )u 1 + (μ 1 a 2 , 1 + μ 2 a 2 , 2 )u 2 ,
es decir,
w B 1 = (μ 1 a 1 , 1 + μ 2 a 1 , 2 , μ 1 a 2 , 1 + μ 2 a 2 , 2 ).
Pero ten´ıamos adem´as que w B 1 = (λ 1 , λ 2 ), luego por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto a una base, finalmente obtenemos que:
λ 1 = a 1 , 1 μ 1 + a 1 , 2 μ 2 λ 2 = a 2 , 1 μ 1 + a 2 , 2 μ 2
Estas son por tanto las ecuaciones del cambio de base de^ ´ B 2 a B 1. Dichas ecuaciones las podemos escribir matricialmente de la siguiente forma ( λ 1 λ 2
a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2
μ 1 μ 2
La matriz cuadrada que aparece en dicha expresi´on es la matriz del cambio de base de B 2 a B 1. Dicha matriz es regular, y su inversa es la matriz del cambio de base de B 1 a B 2
Ejemplo 42. Para V = R^2 , B 1 = {u 1 , u 2 } y B 2 = {v 1 , v 2 }, tales que u 1 = (2, 3), u 2 = (1, 2), v 1 = (− 3 , 2), v 2 = (− 5 , 3), hallar las ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2. Sea w ∈ V
tal que w B = (^1 λ 1 , λ 2 ) y w B = (^2 μ 1 , μ 2 ). Resolviendo los oportunos sistemas de ecuaciones lineales se puede comprobar que
u 1 = 21 · v 1 − 13 · v 2 , u 2 = 13 · v 1 − 8 · v 2.
De esta forma tenemos que las ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2 son:
μ 1 = 21 λ 1 + 13 λ 2 μ 2 = − 13 λ 1 + − 8 λ 2
La matriz del cambio de base de B 1 a B 2 es P =
. Ya que P −^1 =
las ecuaciones del cambio de base de B 2 a B 1 son:
λ 1 = − 8 μ 1 + − 13 μ 2 λ 2 = 13 μ 1 + 21 μ 2
Como un rec´ıproco de las propiedades anteriores, se puede demostrar que toda matriz regular representa una matriz de cambio de base.
Ejemplo 43. Sea B 1 = {u 1 , u 2 } una base para R^2 , y P =
, una matriz regular.
Entonces, si v 1 = 5u 1 + 7u 2 y v 2 = − 10 u 1 + 4u 2 , el conjunto B 2 = {v 1 , v 2 } es una base para R^2 , y la matriz P es la matriz del cambio de base de B 2 a B 1.
- Ecuaciones param´etricas y ecuaciones impl´ıcitas para un subespacio Sea un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre K y U un subespacio vectorial de V de dimensi´on r. Sean B = {v 1 , v 2 ,... , vn} y BU = {u 1 ,... , ur}, respectivamente, bases para V y U.
Suponemos adem´as que
u 1 = a 11 v 1 + a 21 v 2 + · · · + an 1 vn .. .
ur = a 1 rv 1 + a 2 rv 2 + · · · + anrvn Entonces un vector w ∈ U se expresa en BU de la forma w = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + · · · + λrur
y como vector de V se podr´a expresar con respecto a la base B de la forma
w = x 1 v 1 + x 2 v 2 + · · · + xnvn Entonces w = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + · · · + λrur = λ 1 (a 11 v 1 + a 21 v 2 + · · · + an 1 vn) + λ 2 (a 12 v 1 + a 22 v 2 + · · · + an 2 vn) + · · · + λr(a 1 rv 1 + a 2 rv 2 + · · · + anrvn) = (λ 1 a 11 + · · · + λra 1 r)v 1 + · · · + (λ 1 an 1 + · · · + λranr)vn. Por la unicidad de las coordenadas del vector w respecto de la base B obtenemos
x 1 = a 11 λ 1 + · · · + a 1 rλr .. .
xn = an 1 λ 1 + · · · + anrλr
As´ı obtenemos unas ecuaciones param´etricas del subespacio U con respecto de la base B.
Ejemplo 44. Sea U el subespacio vectorial de R^3 generado por los vectores {(6, − 9 , 2), (− 5 , 7 , 1)}. Puesto que dicho conjunto de generadores es una base para U , entonces las ecuaciones pa- ram´etricas de U (con respecto de la base can´onica de R^3 ) son
x 1 = 6 λ 1 − 5 λ 2 x 2 = − 9 λ 1 +7λ 2 x 3 = 2 λ 1 +λ 2
Las ecuaciones param´etricas se pueden interpretar como las soluciones de un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales con inc´ognitas x 1 ,... , xn. A cualquier sistema homog´eneo cuyas soluciones vienen dadas por las ecuaciones param´etricas para U , se denomina un sistema de ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas para U con respecto de la base B. Una forma de obtener uno de dichos sitemas homog´eneos es la siguiente: Sea A la matriz de orden n×r formada por los coeficientes que aparecen en las ecuaciones param´etricas de U. Puesto que dichas columnas son las coordenadas para los vectores de
Entonces, unas ecuaciones impl´ıcitas para U se obtienen ampliando con la primera y cuarta filas: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
2 2 x 2 2 y − 1 1 z
2 2 y − 1 1 z 3 3 t
es decir, x − y = 0, 3 y − 2 t = 0.
Deducimos adem´as de la discusi´on anterior que para un subespacio U de V se verifica siempre que
dimK (V ) = dimK (U ) + m´ınimo n´umero de ecuaciones impl´ıtas para U De esta f´ormula deducimos que el subespacio impropio V carece de ecuaciones impl´ıci- tas, mientras que el subespacio impropio {
0 } tiene tantas ecuaciones impl´ıcitas como la dimensi´on del espacio V.
Ejemplo 46. x 1 = 0, x 2 = 0 son una ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio cero (es decir, {~ 0 }) de V = K^2. x 1 + x 2 = 0, x 1 − 2 x 2 = 0 tambi´en son otras ecuaciones impl´ıcitas para {~ 0 } ⊆ K^2. M´as generalmente, si A ∈ M 2 (K) es regular, entonces ( 0 0
= A ·
x 1 x 2
son unas ecuaciones impl´ıcitas para {~ 0 }.
Adem´as es inmediato que a partir de unas ecuaciones impl´ıcitas se pueden obtener unas ecuaciones param´etricas simplemente resolviendo el sistema homog´eneo correspondiente.
- Operaciones con subespacios vectoriales Si U y W son dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V , ya hemos mencionado en una secci´on anterior que U ∩ W es de nuevo un subespacio vectorial de V. Si disponemos de unas ecuaciones impl´ıcitas para U y otras para W , claramente el sistema obtenido al juntar ambos sistemas constituye unas ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio U ∩ W. De hecho lo normal es que en dicho sistema ampliado se puedan suprimir algunas ecuaciones que dependan de otras ecuaciones del sistema.
Ejemplo 47. Calcular una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguien- tes de R^3 : U = {(x, y, z) | 2 x + y − 5 z = 0}, W = {(x, y, z) | 3 x − y + 4z = 0}.
Resolviendo el sistema
2 x + y − 5 z = 0 3 x − y + 4z = 0 obtenemos
x = (1/5)λ y = (23/5)λ z = λ
ecuaciones
que son equivalentes a
x = λ y = 23 λ z = 5 λ
, con lo cual una base para U ∩ W es {(1, 23 , 5)}.
Ejemplo 48. Calcular una base para el subespacio intersecci´on de los subespacios siguien- tes de R^4 : U = {(x, y, z, t) | 2 x + 5y − z − t = 0}, W = 〈(1, 2 , 3 , 4), (− 1 , 0 , 1 , −1)〉. Una alternativa es obtener previamente unas ecuaciones impl´ıcitas para W (concreta- mente dos ecuaciones) y a continuaci´on resolver el sistema de tres ecuaciones resultante al juntar ´estas con las ecuaciones de U. Otra posibilidad (mejor para este ejemplo) es obtener unas ecuaciones param´etricas para W y substituirlas en las ecuaciones impl´ıcitas para U , con lo cual obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas λ y μ (que son los par´ametros que aparecen en las ecuaciones param´etricas para W ). La soluci´on de este sistema nos dice qu´e relaci´on debe de cumplirse entre λ y μ para que un vector pertenezca a U y a W , es decir, a U ∩ W. Aplicamos este segundo m´ etodo y obtenemos:
x = 1 λ − μ y = 2 λ z = 3 λ + μ t = 4 λ − μ
unas ecuaciones param´etricas para W.
Substituy´endolas en las ecuaciones impl´ıcitas para U resulta: 2(λ − μ) + 5(2λ) − (3λ + μ) − (4λ − μ) = 0 , es decir, 5λ − 2 μ = 0. Por tanto el vector w = (x, y, z, t) de W pertenece a U si y s´olo si λ = 25 μ. Substituyendo en las ecuaciones param´etricas de W y simplificando resulta que w ∈ U ∩ W si y s´olo si
w = (x, y, z, t) = (
μ,
μ,
μ,
μ)
Por consiguiente, dimK (U ∩ W ) = 1 y una base para U ∩ W es {(− 3 , 4 , 11 , 3)}.
La uni´on de dos subespacios vectoriales no siempre es un subespacio vectorial:
Ejemplo 49. Sean V = R^2 , U = 〈(1, 0)〉 y W = 〈(0, 1)〉. Entonces U ∪ W no es un subespacio vectorial de V ya que aunque (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ W , sin embargo (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6 ∈ U ∪ W.
Ver el ejercicio 17.
Otra operaci´on que se puede definir es la suma de subespacios vectoriales: Para dos subespacios vectoriales U y W de V , se define la suma de U y W , y se representa por U + W , como el conjunto de todos los vectores que se obtienen sumando un vector de U con otro de W , es decir,
U + W = {u + w | u ∈ U ∧ w ∈ W }
Es inmediato ver que tanto U como W est´an incluidos en U + W. Adem´as U + W es un subespacio vectorial de V , el cual es el subespacio vectorial de V generado por el conjunto U ∪ W , es decir, U + W = 〈U ∪ W 〉. Dicho de otra forma, U + W es el menor subespacio vectorial de V el cual contiene a los subespacios U y W. De lo anterior deducimos que U + W estar´a generado por el conjunto que se obtiene al juntar un sistema de generadores para U con un sistema de generadores para W.
Ejemplo 57. Encontrar un subespacio suplementario para el subespacio vectorial U de R^4 generado por los vectores (1, 1 , 0 , −1), (2, 2 , 4 , 5), (3, 3 , 4 , 4). En primer lugar extraemos una base para U. Escribimos sus generadores como filas de una matriz y la transformamos en forma escalonada. Deducimos que una base para U es {(1, 1 , 0 , 1), (0, 0 , 4 , 7)}. Ampliamos este conjunto de vectores linealmente independientes hasta una base para R^4. Un posibilidad es a˜nadirle los vectores (0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 0 , 1). Por tanto una posibilidad para W es 〈(0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 0 , 1)〉.
Por ´ultimo, la siguiente proposici´on nos da una f´ormula que relaciona las dimensiones de los subespacios estudiados en esta secci´on. Dicha f´ormula se muestra ´util a la hora de resolver ejercicios.
Proposici´on 58. Si U y W son dos subespacios de un espacio vectorial V de dimensi´on finita, se verifica que
dimK (U + W ) = dimK (U ) + dimK (W ) − dimK (U ∩ W )
Un truco para acordarse de esta f´ormula es observar su gran parecido con la f´ormula para el cardinal de la uni´on de dos conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Ejemplo 59. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on 4, y U, W dos subespacios de V , ambos distintos y de dimensi´on 3. ¿Qu´e podemos afirmar acerca de la dimensi´on de U ∩W? Puesto que U 6 = W y ambos tienen dimensi´on 3, deducimos que ninguno puede estar incluido en el otro; por tanto existir´a alg´un vector u ∈ U el cual no est´a en W. Si BW es una base para W , entonces el conjunto de cuatro vectores BW ∪ {u} es linealmente independiente y por tanto es una base para V. Esto prueba que´ V = U + W. Aplicando la f´ormula anterior de las dimensiones obtenemos que 4 = 3 + 3 − dimK (U ∩ W ), es decir, que dimK (U ∩ W ) = 2.
- Ejercicios Propuestos
- Demostrar los distintos apartados de la propiedad 3.
- Sea V el conjunto de todas las funciones f : [0, 1] → R. Definimos la suma de dos funciones f, g ∈ V , como una nueva funci´on h : [0, 1] → R que obedece a la regla h(x) = f (x) + g(x), para todo x ∈ [0, 1], y definimos el producto de un escalar λ ∈ R por una funci´on f en V de la forma usual, es decir λf es la funci´on tal que (λf )(x) = λ · f (x) para todo x ∈ [0, 1]. a) Comprobar que V es un R-espacio vectorial.¿Qui´en es el vector cero? b) Sea U el subconjunto de V formado por aquellas funciones que verifican la condici´on de que el conjunto {x ∈ [0, 1] | f (x) 6 = 0} es finito. Estudiar si U es o no es un subespacio vectorial de V.
- Calcular todos los valores de a para los cuales los vectores
(1, 2 , − 1 , 2), (2, − 1 , 3 , −1), (1, a, − 6 , a)
de R^4 son linealmente independientes.
- a) Dado un espacio vectorial V de dimensi´on n sobre un cuerpo K, y dos bases B y B′^ para V , razonar que el conjunto U formado por aquellos vectores de V los cuales tienen las mismas coordenadas con respecto de la base B que con respecto de la base B′^ es un subespacio vectorial de V. b) Con la notaci´on del apartado anterior, si V = R^3 , B = {(2, 5 , 1), (0, 1 , 2), (3, 1 , 2)} y B′^ = {(1, 5 , 0), (− 1 , 0 , 1), (1, 0 , 0)}, calcular una base para el subespacio vec- torial U.
- De los siguientes subconjuntos de R^3 , estudiar cuales son subespacios vectoriales: a) {(x, y, z) | x^2 + y − z = 0}. b) {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 0}. c) {(x, y, z) | x = 2y = 3z}. d ) {(x, y, z) | x = y + 1 = z + 2}.
- Sea E el conjunto de matrices de la forma
a b c b a + b + c b c b a
donde a, b, c ∈ R. Demostrar que E es un subespacio vectorial de M 3 (R), de di- mensi´on tres.
- Sea el conjunto U = {p(x) ∈ Q[x] 3 | p(1) = p(2) y p(−1) = 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de Q[x] 3 y calcular una base para U.
- Sean B y B′^ dos bases de V y sean u, v, w ∈ V con coordenadas (2, − 1 , −1), (1, 0 , −1) y (2, − 2 , 0) en la base B. Si las cordenadas de los mismos vectores respecto de B′ son (1, 3 , 0), (3, 4 , −2) y (0, 2 , 1) respectivamente, calcular las coordenadas de los vectores de B′^ respecto de los de B.
- Sean B = {e 1 , e 2 , e 3 } y B′^ = {e′ 1 = e 1 + e 2 + e 3 , e′ 2 = e 1 + 2e 2 + e 3 , e′ 3 = e 1 + e 2 + 3e 3 } dos bases de R^3. Calcular las expresiones del cambio de base de B a B′^ y de B′^ a B. Si v B = (23, − 7 , 19) calcular las coordenadas de v en la base B′.
- Sea K un cuerpo finito con q elementos y V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre K. ¿Cu´antos elementos distintos hay en V?
- Demostrar que cada uno de los conjuntos siguientes son bases para el espacio vec- torial K[x]n: a) B 1 = { 1 , x, x(x − 1), x(x − 1)(x − 2),... , x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1)} b) B 2 = { 1 , x − a 1 , (x − a 1 )(x − a 2 ),... , (x − a 1 )(x − a 2 ) · · · (x − an)}, siendo a 1 ,... , an elementos distintos pertenecientes a K. c) B 3 = { 1 , x − a, (x − a)^2 ,... , (x − a)n}, con a perteneciente a K. Dado el polinomio p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn, calcular las coordenadas de dicho polinomio respecto de cada una de las bases anteriores.
- Sean a 0 , a 1 ,... , an elementos distintos de un cuerpo K. Para cada i = 0, 1 ,... , n consideramos el polinomio
pi(x) =
(x − a 0 ) · · · (x − ai− 1 )(x − ai+1) · · · (x − an) (ai − a 0 ) · · · (ai − ai− 1 )(ai − ai+1) · · · (ai − an)
Comprobar que esta definici´on es correcta y no depende de los representantes elegidos. Como consecuencia, el conjunto cociente V /U es un K-espacio vectorial, y se denomina el espacio vectorial cociente de V por el subespacio U. b) ¿Cual es el espacio vectorial cociente que resulta si U = V? ¿Y si U = {~ 0 }? c) Supongamos que dimK (V ) = n, U es un subespacio propio de V , dimK (U ) = s y BU = {u 1 ,... , us} es una base para U (observar que 0 < s < n). Ampliamos BU hasta una base B = {u 1 ,... , us, us+1,... , un} de V. Obser- var que [u 1 ] =... = [us] = [~0], que es el vector cero de V /U. Sea B = {[us+1],... , [un]}. Demostrar que B es una base del espacio vectorial cociente V /U , y por tanto dimK (V /U ) = dimK (V ) − dimK (U ). d ) Dado el R-espacio vectorial V = R^2 y el subespacio U = {(x, y) | x = y}:
- Determinar una base para V /U , e interpretar geom´etricamente los resul- tados obtenidos.
- Calcular las coordenadas del vector [(4, −5)] de V /U con respecto de la base obtenida en el apartado anterior.
- Para el espacio vectorial V = Q[x] 3 se considera el subespacio vectorial
U = {p(x) | p(−1) = 0 = p(1)}. Se pide: a) ¿Son iguales los elementos [4x^3 − 7 x^2 +3x+1] y [5x^3 − 4 x^2 +2x−2] del conjunto cociente V /U? b) Calcular una base B para el espacio vectorial cociente V /U. c) Encontrar las coordenadas del vector [4x^3 + 3x^2 + 2x + 1] con respecto de la base B calculada en el apartado anterior.
- Sea el espacio vectorial V = R[x] 5 y el subespacio vectorial U = R[x] 3. Si p(x) = a 0 + a 1 x +... + a 5 x^5 y q(x) = b 0 + b 1 x +... + b 5 x^5 , ¿qu´e significa que [p(x)] = [q(x)] en V /U? ¿Cual es la dimensi´on y una base para V /U?
- Sea {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } una base de R^5 y sea W el subespacio vectorial de R^5 generado por {e 1 + e 2 , e 1 − e 3 , e 1 + e 2 + e 3 , e 1 + 2e 3 , e 5 , e 1 + e 4 }. Sea U el subespacio vectorial de R^5 generado por {e 1 , e 2 , e 3 , e 2 + e 3 , e 1 + e 2 + e 5 + 2e 4 }. Calcular bases para U ∩ W, U + W y R^5 /W. Calcular un subespacio W ′^ de R^5 tal que R^5 = W ⊕ W ′.
9. EJERCICIOS APARECIDOS EN EX AMENES ANTERIORES´
- En Z^47 consideramos los subespacios vectoriales de ecuaciones
V 1 ≡ {x + y + 6z + 6t = 0 V 2 ≡
x + 6z + t = 0 y + 5t = 0
Una base de V 1 ∩ V 2 es a) {(1, 1 , 5 , 4), (3, 3 , 1 , 5)} b) {(1, 0 , 0 , 1), (0, 1 , 0 , 1), (0, 0 , 1 , 6)} c) {(1, 0 , 1 , 0), (0, 1 , 4 , 4)} d ) {(1, 0 , 1 , 0), (1, 1 , 5 , 4), (0, 0 , 0 , 0)}
- Sea U el subespacio vectorial de R^4 generado por {(1, − 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , −1)}. Unas ecuaciones impl´ıcitas para U son: a) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 b)
x 1 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0
c)
x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0
d )
x 1 + x 3 = 1 x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0
- Sean B 1 = {u 1 , u 2 } y B 2 = {v 1 , v 2 } dos bases de R^2 tales que v 1 = − 2 u 1 − u 2 y v 2 = 5u 1 + 2u 2. Si w es un vector de R^2 cuyas coordenadas respecto de B 1 son (a, b), entonces las coordenadas de w respecto de B 2 son
(a) (2a − 5 b, a − 2 b) (b) (3a, 2 a − b) (c) (3a + b, a − 3 b) (d) (b, −a)
- Sean B = {v 1 , v 2 , v 3 } y B′^ = {v′ 1 = v 1 , v′ 2 = v 1 + v 2 , v 3 ′ = v 1 + v 2 + v 3 } dos bases de un espacio vectorial V sobre R. Si las coordenadas de x respecto de la base B′^ son (1, − 1 , 1), entonces las coordenadas de x respecto de B son
(a) (1, 0 , 1) (b) (1, 0 , −1) (c) (1, 2 , −1) (d) (0, 0 , 1)
- Consideremos los siguientes subespacios de (Z 5 )^4 : U 1 = 〈(1, 1 , 2 , 0), (3, 1 , 4 , 1)〉, y U 2 = 〈(0, 1 , 0 , 3), (1, 0 , 1 , 3)〉. Una base de U 1 ∩ U 2 es a) {(2, 0 , 2 , 1)} b) {(1, 1 , 2 , 0), (3, 1 , 4 , 1), (0, 1 , 0 , 3), (1, 0 , 1 , 3)} c) {(1, 1 , 2 , 0)} d ) {(2, 0 , 2 , 1), (1, 0 , 1 , 3)}
- Sea U = {(x, y, z) ∈ R^3 | x+y +z = 0}. El subespacio vectorial W de R^3 verificando que R^3 = U ⊕ W es a) W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x − y − z = 0}. b) W = { 0 }. c) W = R^3.
