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Complejos
El cuerpo de los n´umeros complejos. El polinomio P (x) = x^2 + 1 no tiene ra´ıces reales: ningun n´umero real elevado al cuadrado y sum´andole uno da cero. Para solventar problemas de este tipo se inventaron los n´umeros complejos. El n´umero complejo m´as sencillo es el n´umero i. Por definici´on, este n´umero cumple que i^2 = −1. Cualquier otro n´umero complejo se puede escribir como
z = a + b i,
donde a y b son n´umeros reales. Notaremos por C al conjunto de los n´umeros complejos. Esta manera de escribir los n´umeros complejos se llama forma binomial (o cartesiana). El n´umero complejo z = a + b i se puede representar como un punto del plano, como muestra la figura. En esta figura tambi´en hemos representado
su parte real, Re z = a. su parte imaginaria, Im z = b. su m´odulo, |z| =
a^2 + b^2. su argumento, Argz = θ, donde θ es el ´angulo determinado por las f´ormulas
cos θ =
Re z |z| , sin θ =
Im z |z| , tan θ =
Im z Re z
Importante: Un n´umero complejo tiene infinitos argumentos diferentes, debido a que θ y θ +2π representan al mismo ´angulo. Los argumentos se dan en radianes. ¡Ojo con las calculadoras!
s
^
z
|z|
Re z
Im z
θ
Ejercicio. Calcular el m´odulo y el argumento del n´umero i.
Ejercicio. Dibujar el n´umero z tal que |z| = 1 y Argz = π/4.
Las cuatro operaciones elementales en forma binomial se realizan as´ı. Suma: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i. Resta: (a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i. Producto: (a + b i) · (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i. Cociente: a c++db ii = a c++bd^ ii^ c c−−dd^ ii = (ac+bd c)+( (^2) +dbc 2 −ad) i. (Multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de z = c + d i es ¯z = c − d i, se cambia el signo de su parte imaginaria.)
Problemas relacionados. 3 y 5.
La forma exponencial y la f´ormula de Euler. Potencias y ra´ıces. Sumar y restar n´umeros complejos es muy f´acil. Multiplicarlos y dividirlos, no tanto; pero podemos simplificarlo escribiendo el n´umero complejo z en su forma exponencial
z = reiθ^ , r = |z|, θ = Argz
o, equivalentemente, en su forma polar z = rθ.
1
2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼rafael/al/complejos.pdf
Ejercicio. Calcular la forma exponencial de los n´umeros 1, i, −1 y − i.
Ejercicio. Calcular la forma binomial de los n´umeros ei7π^ , 2eiπ/^4 y 6eiπ/^6.
Ejercicio. Usar la f´ormula de Euler eiθ^ = cos θ + i sin θ
para ver de donde sale la forma exponencial de los n´umeros complejos.
Problema relacionado. 1.
La forma exponencial de un n´umero complejo es ´util para multiplicar, dividir y calcular su conju- gado, sus potencias o sus ra´ıces de forma f´acil y c´omoda.
Producto: reiθ^ · ρeiϕ^ = rρ ei(θ+ϕ). Cociente: re^
iθ ρe iϕ^ = (r/ρ)e
i(θ−ϕ). Conjugado: Si z = reiθ^ , entonces ¯z = re−^ iθ^. Potencias: Si z = reiθ^ , entonces zn^ = rneinθ^. Ra´ıces: El n´umero z = reiθ^ tiene n ra´ıces n-´esimas, a saber zk = n
r ei(θ+2πk)/n, k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1. Las ra´ıces n-´esimas forman un poligono regular de n lados centrado en el origen.
Ejercicio. Comprobar que la potencia n-´esima de cualquier zk es igual a z.
Ejercicio. Comprobar que zk y zk+n son el mismo n´umero.
Ejercicio. Calcular y dibujar las ra´ıces cuartas del n´umero 1.
Problemas relacionados. 2, 4 y 7.
La interpretaci´on geom´etrica del producto. El producto de dos n´umeros complejos en forma exponencial consiste en multiplicar los m´odulos y sumar los argumentos. Por tanto, la operaci´on de multiplicar por el n´umero complejo z = reiθ^ se puede interpretar como una rotaci´on de ´angulo θ y un homotecia de raz´on r. Cuando r > 1, el m´odulo se estira, de lo contrario se encoge. Este hecho sirve para resolver ciertos problemas geom´etricos en el plano.
Problemas relacionados. 6, 9 y 10.
Problemas para no dormir. Los problemas 8 y 11 son bastante complicados. Recordad que un rombo es un cuadril´atero tal que sus diagonales se cortan perpendicularmente en sus puntos medios. Un cuadrado es un tipo particular de rombo tal que sus diagonales tienen la misma longitud.
