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RECOPILACION DE EJERCICIOS
ALGEBRA MATRICIAL
TEMA 1.- Introducción al álgebra matricial
1.- Citar ejemplos de los siguientes tipos de matrices (en cada ejemplo debe especificar el orden
de matriz que se está usando)
a) Matriz fila
b) Matriz columna
c) Matriz rectangular
d) Matriz cuadrada
e) Matriz triangular superior
f) Matriz triangular inferior
g) Matriz diagonal
h) Matriz escalar
i) Matriz simétrica
j) Matriz antisimétrica
k) Matriz identidad
l) Matriz nula
2.- Hallar los valores de a y b, de tal manera que la matriz A = B
A =
[
2 a + b 1
− 1 4 a − b
]
B =
[
]
3.- Hallar los valores de x e y, de tal manera que A sea equivalente a B.
A =
[
x + y 4
]
B =
[
− 2 x − y
]
4.- Determinar los valores de las variables, de tal manera que A = B
A =
[
x 0
]
B =
[
y + 2 z
4 t − 1
]
5.- Escribir una matriz de orden 4x3 y hallar su transpuesta.
6.- Escribir en detalle una matriz A
4 x 3
={ a
ij
= i
2
− 2 j }
7.- Escribir en detalle una matriz A
3 x 4
={ a
ij
= 3 i + j
2
8.- Escribir en detalle una matriz
A
2 x 2
={ a
ij
= i + j − 2 }
9.- Escribir en detalle una matriz
A
3 x 2
{
a
ij
= 2 i + 3 j − 4 }
10.- Escribir en detalle una matriz
A
4 x 4
={ a
ij
para la cual:
a
ij
{
i + j sii ≠ j
0 si i = j
11.- Escribir una matriz triangular superior
A
4 x 4
en la que los elementos que no se requiere sean
ceros, deben cumplir con la siguiente condición.
a
ij
= i + 2 j − 3
12.- Escribir en detalle una matriz A
3 x 3
{
a
ij
i + j
i
2
2
}
TEMA 2.- Operaciones con matrices
1.- Dadas las matrices
A =
[
]
B =
[
]
Calcular a) 3A*B b) A
2
2.- Dada la matriz A, demostrar que A
2
− A − 2 I = 0
A =
[
]
3.- Dadas las matrices:
A =
[
]
B =
[
]
Hallar ( AxB )
T
4.- Demostrar que el producto de dos matrices simétricas es otra matriz simétrica
5.- Dadas las matrices:
A
3 X 4
, B
4 X 2
y C
3 X 3
¿Es posible realizar el producto ABC? Justificar su
respuesta.
6.- Dadas las matrices:
E =
[
]
I =
[
]
a) Determinar la matriz que represente la producción total por día.
b) Si la producción diaria se incrementa en un 20% en España y se reduce en un 10% en
Inglaterra, ¿Qué matriz representa la nueva producción total?
12.- Una empresa de muebles fabrica tres tipos de estanterías: A, B y C, en cada uno de los
tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas del
tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas del tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas del tipo C.
Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos
y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
a) Representar la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes necesarios para la
producción diaria de cada modelo.
13.- La cantidad de Bs que cuestan 2 modelos de juguetes en dos tiendas distintas A y B están
dadas por la tabla.
A B
Jug 1 1,4 2,
Jug 2 1,2 3,
Si el primer año experimentan un aumento del 7%, el segundo un aumento del 9% respecto del
año anterior y el tercer año un descenso del 3% también respecto del año anterior.
Resolver el problema de forma matricial y contestar mediante una matriz cuál será el precio de
ambos juguetes al finalizar el tercer año.
14.- Un examen consta de tres pruebas. Cada una de ellas se califica con una puntuación de 0 a
- No obstante, debido a su diferente nivel de dificultad, cada prueba tiene una ponderación
distinta a la hora de determinar la calificación global del examen. Las ponderaciones son 0,25 para
la prueba 1; 0,35 para la prueba 2 y 0,40 para la prueba 3. Calcular la calificación global y obtener
el resultado, utilizando operaciones matriciales, a calificación global de 3 alumnos si han obtenido
las puntuaciones siguientes:
Alumno/Prueba 1º 2º 3º
Juan 3 3 8
María 6 6 3
Pablo 8 7 9
15.- Sea A la matriz que representa las ventas en miles de dólares de una compañía de juguetes
para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades
en el año 2005, donde A y B están dadas por:
A =
Acción
Educativo
[
]
B =
Acción
Educativo
[
]
Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas que consiguió en el año 2005.
¿Cuál será el cambio en las ventas entre el 2003 y 2006?
16.- Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores en Seattle. En mayo las ventas
de televisores, videocaseteras y estéreos en los dos almacenes estuvieron dados por la siguiente
matriz:
TV Videocaseteras Estéreos
Almacen 1
Almacen 2
[
]
Si la dirección establece ventas meta para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de mayo,
escriba la matriz que represente las ventas proyectadas para junio.
17.- Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores en Seatle. Al iniciar el mes de
mayo tiene las siguientes existencias de televisores, videocaseteras y estéreos:
TV Videocaseteras Estéreos
Almacen 1
Almacen 2
[
]
Durante el mes de mayo, se hicieron las siguientes entregas a los almacenes:
TV Videocaseteras Estéreos
Almacen 1
Almacen 2
[
]
Las ventas en el mes de mayo, se reflejan en la siguiente matriz:
TV Videocaseteras Estéreos
Almacen 1
Almacen 2
[
]
Determinar la matriz que representa el número de los tres artículos en existencia al final de mayo.
18.- ¿Por qué matriz se debe multiplicar la matriz la matriz A para que resulte la matriz B?
A =
[
]
B =
[
]
19.- Sean las matrices:
A =
[
]
A =
[
]
A =
[
]
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
8.- Sabiendo que
Det ( A )= 5 , calcular los otros determinantes.
A =
[
X Y Z
]
B =
[
2 X 2 Y 2 Z
]
C =
[
X Y Z
3 X + 3 3 Y 3 Z + 2
X + 1 Y + 1 Z + 1
]
D =
[
5 X 3 2 X + 1
5 Y 0 2 Y + 2
5 Z 2 2 Z + 2
]
9.- Responder las siguientes preguntas:
a) ¿En qué caso una matriz cuadrada no es invertible?
b) ¿De qué manera afecta cada una de las operaciones elementales a la determinante de una
matriz?
c) ¿Qué relación guarda la adjunta de una matriz cuya determinante es igual a 1 con la inversa de
la misma matriz?
TEMA 4.- Sistemas lineales
1.- Calcular el rango de la siguiente matriz
[
]
2.- Calcular el rango de la siguiente matriz
[
]
3.- Una empresa textil fabrica pantalones de tres marcas distintas A, B y C. Para ello utiliza tres
tipos diferentes de telas, algodón, poliéster y elastano. La marca A requiere 2 unidades de
algodón, 6 unidades de poliéster y 8 unidades de elastano, la marca B requiere 4, 9, y 4 unidades
de cada tela respectivamente y la marca C requiere de 8, 3 y 2 unidades respectivamente. La
empresa dispone de 160 unidades de algodón, 240 unidades de poliéster y 220 unidades de
elastano. Determinar la cantidad de pantalones que se deben producir para agotar la totalidad de
tela disponible.
4.- Una compañía produce escritorios para la exportación, dispone de dos plantas, una en la costa
este y la otra en la costa oeste. En la planta de la costa este, los costos fijos son de $20000 por
mes y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la planta de la costa oeste los
costos fijos son de $18000 por mes y el costo de producción de cada escritorio es de $95. La
compañía tiene un pedido de 800 escritorios que debe entregar el mes próximo, y por cuestiones
logísticas debe lograr que el costo total de producción en ambas plantas sea el mismo. Determinar
el número de escritorios que debe producir en cada planta para lograr dicho cometido.
5.- Para cocinar una barra de pan se necesitan 8 unidades de harina y ninguna de azúcar, para
una tarta, 6 unidades de harina y dos de azúcar y para un bizcocho 7 de harina y una de azúcar. Si
se disponen de 114 unidades de harina y 14 de azúcar, determinar la cantidad de barras de pan,
tartas y bizcochos que se pueden producir para utilizar todo lo disponible.
6.- Una empresa vendió tres productos: A, B y C. Si vende todo el producto A en $50, el B en $
y el C en $42, recauda $9414. En cambio, si lo vende en $45, $18 y $40 respectivamente, recauda
$9064. El empresario sabe que la suma de las cantidades del producto A y B es igual a la cantidad
del producto C. Determinar dichas cantidades.
7.- El gobierno Argentino desea afrontar la crisis alimentaria ofreciendo las siguientes raciones de
cereales a los pobladores en las provincias más afectadas. La ración A contiene 20 kg de trigo, 50
kg de maíz y 100 kg de sorgo, la ración B tiene 35 kg de trigo, 60 kg de maíz y 80 kg de sorgo, la
ración C tiene 45 kg de trigo, 45 kg de maíz y 50 kg de sorgo. Se dispone en la provincia de Salta
de 36000 kg de trigo, 40000 kg de maíz y 48000 kg de sorgo, ¿Cuántas raciones de cada tipo se
podrán entregar en la provincia de Salta?
8.- Una empresa metalúrgica produce tres tipos de rolos para cintas transportadoras: de 20 cm, 25
cm y 30 cm de largo. Para fabricar rolos de 20 cm se requieren 5 minutos de corte, 20 minutos de
torneado y 10 minutos de armado, para fabricar rolos de 25 cm se requieren 6 minutos de corte, 20
minutos de torneado y 12 minutos de armado, y para fabricar rolos de 30 cm se necesitan 7
minutos de corte, 22 de torneado y 12 minutos de armado. ¿Cuántos rolos de cada tipo se pueden
producir si se trabajan 17 horas de corte, 54 horas de torneado y 30 horas de armado?
9.- Al iniciar la carrera de ingeniería se les realiza a los estudiantes una evaluación de 30
preguntas sobre matemáticas. Por cada pregunta bien contestada se suman 5 puntos y por cada
respuesta incorrecta o no contestada se le quitan dos puntos. Un alumno obtuvo 94 puntos.
¿Cuántas preguntas respondió bien?
10.- En una distribuidora se han envasado 5000 litros de aceite en botellas de 2 y 5 litros. Se
utilizaron 1810 botellas. ¿Cuántas botellas de 2 y 5 litros de embazaron?
11.- Un hotel ofrece habitaciones simples, dobles y triples. El número de habitaciones en total es
de 200. El día que se ocupan todas las habitaciones, se tiene como ingreso $22000. Por la
habitación simple se paga $70, por la doble $110 y por la triple $130. El número de habitaciones
simples es la mitad de las dobles ¿Cuántas habitaciones de cada tipo hay?
12.- En una alcancía hay monedas de 5, 10 y 50 centavos. Hay 260 monedas que suman $52. El
40% de las monedas de 10 centavos más el 30% de las monedas de 5 centavos son igual
cantidad que el 75% de las monedas de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la
alcancía?
13.- Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es
de $8 y por cada unidad que vende de B, la ganancia es $11. La experiencia le indica que puede
venderse 25% más de A que de B, Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de
$42000 ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?
14.- Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad que vende de A, B y
C es de $1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de
TEMA 5.- Programación Lineal
1.- Una persona quiere invertir $100000 en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen más
riesgo, pero producen un beneficio del 10%, Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el
7% nominal. Decide invertir como máximo $60000 en la compra de acciones A y, por lo menos
$20000 en la compra de acciones B. Además, quiere que lo invertido en A, sea por lo menos igual
a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los $100000 para que el beneficio anual sea máximo?.
2.- Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte dispone de 8
autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un
autobús grande cuesta $800 y el de uno pequeño $600. Calcular cuántos autobuses de cada tipo
hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
3.- Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos A y B. Tiene dos factorías F1 y
F2. En F1 se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipo B, con un costo de $32000 diarios. F
no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A y 4 de B, con un costo de $24000 diarios.
Para abastecer el mercado, se han de poner a la venta al menos 360 coches del tipo A y al menos
300 del tipo B. ¿Cuántos días debe funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo?.
4.- Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomotoras
deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación N y 15 en la S. Los
costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla (en miles de dólares). Averigua
cómo conviene hacer el reparto para que el costo sea mínimo.
A B C
N 6 15 3
S 4 20 5
6.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada
anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un
pantalón que se vende en $30; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que
se vende a $50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de la de B.
¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?.
7.- Un agricultor debe comprar fertilizante que contiene tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos
necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas
muy aceptadas en el mercado. Una bolsa de crece rápido cuesta $8 y contiene 3 unidades de A, 5
unidades de B y 1 unidades de C. Cada bolsa de crece fácil cuesta $6 y contiene 2 unidades de
cada nutrimento. Si el agricultor desea minimizar el costo, y al mismo tiempo satisfacer las
necesidades mínimas de nutrimento. ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar?
8.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta $35 por
barril y crudo pesado a $30 por barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,
barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de
combustible para turbinas (T). Mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles
de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000
barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y
pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
9.- Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El
fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de poliéster. Cada
pantalón precisa 1 m de algodón y dos de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1,5 m de
algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en $50 y el de la chaqueta en $40. ¿Qué
número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes, para que éstos
consigan una venta máxima?
10.- Una compañía fabrica dos tipos de libreros: estándar y ejecutivo. Cada librero del tipo
estándar requiere 2 horas de ensamblado, 3 horas de acabado y produce $35 de utilidad. Cada
librero del tipo ejecutivo requiere 3 horas de ensamblado, 4 horas de acabado y produce $40 de
utilidad. Se dispone por semana de 400 horas para el ensamblado y 500 horas para el acabado.
Además que se sabe que se deben usar al menos 250 horas de acabado por cuestiones logísticas.
¿Cuántas unidades de cada librero se deben producir para obtener una utilidad máxima?
11.- Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos,
camiones y perinolas. Cada camión requiere de dos horas en la máquina A, 3 horas en la máquina
B y 5 horas de acabado; cada perinola requiere de una hora en cada máquina y acabado. Se
disponen de 80 horas para operar en la máquina A, 50 horas para la máquina B y 70 horas para
acabado. Si las utilidades de cada camión y cada perinola son de $7 y $2 respectivamente.
¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad?
12.- En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15
unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos
tipos de compuestos: El tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo Y,
con una composición de 5 unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de $10 y del tipo Y de
$30. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para minimizar el costo?.
13.- Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes
quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de
dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y dos bolígrafos; en el
segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y un bolígrafo. Los precios de cada paquete serán $6,
y $7 respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el beneficio
máximo?
14.- Se dispone de 600 gramos de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 gramos y las pequeñas 30 gramos. Se necesitan al menos 3
pastillas grandes y al menos el doble de pequeñas que de grandes. Cada pastilla grande deja un
beneficio de $2 y la pequeña de $1. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada tipo para
maximizar el beneficio?
15.- Una peña de aficionados de un equipo de futbol encarga a una empresa de transporte el viaje
para llevar a los 1200 socios a ver un partido de su equipo. La empresa dispone de autobuses de
50 plazas y microbuses de 30 plazas. El precio de alquiler de cada autobús es de 1260 Bs y el de
cada microbús de 900 Bs. La empresa sólo dispone ese día, de 28 conductores. ¿Qué número de
autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo costo posible?
y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del
producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad sería insulso.
