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Matem´aticas I - Problemas de examen Grado en Ingenier´ıa de Tecnolog´ıas Industriales
Problemas de examen
- (Enero 2012) Calcular el siguiente l´ımite:
lim n→+∞
n · n!) 2
(2n)!
Proof. Inicialmente, en el c´alculo de este l´ımite, encontramos una indeterminaci´on del tipo ∞ ∞. Como nos encontramos con factores, podemos emplear equivalencias, en concreto, en este caso podemos aplicar la f´ormula de Stirling
n! ∼ n n e −n
2 πn, n → +∞
y (2n)! ∼ (2n) 2 n e − 2 n
4 πn, n → +∞.
Por tanto,
lim n→+∞
(2n^ · n!)^2
(2n)!
= lim n→+∞
(2nnne−n
2 πn)^2
(2n)^2 ne−^2 n
4 πn
= lim n→+∞
22 nn^2 ne−^2 n 2 πn
22 nn^2 ne−^2 n
4 πn
= lim n→+∞
πn = +∞.
- La relaci´on entre a y b para que se cumpla:
lim n→∞
n + a
n + 1
) 3 n+a
= lim n→∞
n + 3
n + 2
)bn
es:
(a) 3(a − 1) = b
(b) b = 3, a = 0
(c) 3a = b
(d) a ∈ R, b = 3
Proof. Ambos l´ımites presentan una indeterminaci´on del tipo 1±∞. Calculamos cada l´ımite por separado haciendo uso del n´umero e. El primer l´ımite
lim n→∞
n + a
n + 1
) 3 n+a
= e
limn→∞(nn++1a − (^1) )(3n+a) = e
limn→∞(n+a n−+1n −^1 )(3n+a)
= e
limn→∞((a−1)(3 n+1n +a)) = e 3(a−1) .
El segundo l´ımite
lim n→∞
n + 3
n + 2
)bn
= e
limn→∞(n n+3+2 − (^1) )(bn) = e
limn→∞(n+3 n−+2n− 2 )(bn) = e
limn→∞( (^) nbn+2 ) = e b .
Matem´aticas I - Problemas de examen Grado en Ingenier´ıa de Tecnolog´ıas Industriales
Los dos l´ımites son iguales si
e 3(a−1) = e b ⇒ 3(a − 1) = b.
Por tanto, la opci´on correcta es la (a).
- (Enero de 2011) Estudiar la convergencia de la serie:
∑^ +∞
n=
n n
2
(n − 1)!
- (Enero 2012) Se considera un n´umero real x tal que 0 < x < 1. Estudiar la conver- gencia, convergencia absoluta y suma de la siguiente serie
∑^ +∞
n=
n− 1 x 2 n− 2 .
- (Septiembre de 2012) Estudiar la convergencia de una de estas dos series:
∑^ +∞
n=
e − sin( πn ) ,
∑^ +∞
n=
2 n^ + cos^2 (n)
- (Febrero de 2013) Sea an =
(a + 2) n
5 n+^
con a un par´ametro real.
a) ¿Para qu´e valores de a la serie
∑^ ∞
n=
an es convergente? Calcular su suma para
a = 1. b) Supongamos que a = 1. Demostrar que la serie
∑^ ∞
n=
(−1)n^
n + 1
n
an es convergente.
- (Septiembre de 2013) Estudiar, seg´un el valor del par´ametro a > 0, el car´acter de la serie ∑∞
n=
nn
ann!
