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PROBLEMAS DE ÓPTICA RESUELTOS
Un prisma óptico de ángulo diedro igual a 60º y cuyo índice de refracción es de 1,5 recibe un rayo de luz perpendicular a una de sus caras. Calcula: a) El ángulo de desviación entre el rayo emergente y la prolongación del incidente. b) El valor que debe tener el ángulo diedro para que el rayo emergente en la segunda cara salga rasante a dicha superficie. Sol.: a) 60,0º; b) 96,4º
Recuerda, la ley de la refracción establece que, n sin i ˆ= n ′sin r ˆ donde n y n ′^ son, respectivamente, los índices de refracción de los medios en los que se propagan el rayo incidente y el refle- jado. Mientras que i ˆ^ y r ˆ son, respectivamente, los ángulos que forman los rayos incidente y reflejado con la normal a la superficie que separa ambos medios. Recuerda que naire = 1.
Al aplicar la ley de la refracción al rayo incidente (rayo 1 de la figura), tenemos que i ˆ^ = 0 ⇒ r ˆ= 0 lo que significa que el rayo refractado (rayo 2 de la figura) no sufre desviación alguna, como se ve en la figura. Ahora el rayo 2 (que se mueve en el interior del prisma, de índice de refracción n = 1,5) es el incidente (incide en la cara lateral izquierda del prisma). Tenemos que ver si este rayo (que trata de pasar de un medio más refringente, vidrio, a otro menos refringente, aire) se refracta o se refleja. El ángulo límite ( l ˆ )vidrio/aire viene dado por ˆ 41 , 8 º 1 , 5
ˆ^1
sin ˆ sin 90 sin = ⇒ =
= ′ ⇒ = l n
n n l n l
Esto es, el ángulo que ha de formar el rayo 2 con la normal para que se produz- ca reflexión ha de ser mayor de 41,8º. De la figura se deduce fácilmente que este ángulo vale 60º > 41,8º ⇒ se produce reflexión. El rayo reflejado (rayo 3), de acuerdo con las leyes de la reflexión, ha de for- mar el mismo ángulo (con la normal) que el rayo incidente. Por lo tanto, este ángulo también es de 60º, como refleja la figura. Como muestra el triángulo sombreado de la figura, si el rayo 3 forma un ángu- lo de 60º con la normal, es porque este rayo incide perpendicularmente a la superficie lateral derecha del prisma. En consecuencia, como ya hemos visto antes, no sufre desviación alguna al pasar al aire, por lo que el rayo emergente tiene la misma dirección (ver figura). De la figura se deduce fácilmente que la prolongación del rayo que incide en el prisma (R. incidente) y la prolongación del que emerge de él (R. emergente)
forman un ángulo ( ángulo de desviación, δδδδ) que es:
60
60
60
R. incidente
R. emergente
δ= 60
60 60
En el apartado (b) debemos calcular el ángulo del prisma (el ángulo α de la figura) para que el rayo emergente salga rasan- te a la cara lateral izquierda del prisma (ver figura). En el apartado anterior hemos visto que el ángulo límite vi- drio/aire es de 41,8º (ver figura); cuando esto ocurre el rayo emergente sale rasante al prisma. Teniendo en cuenta lo anterior, se deduce de la figura que
Por otro lado,
Esto es, cuando el ángulo del prisma es de 96,4º, el rayo emergente sale rasante a la cara lateral del prisma.
El punto remoto de un ojo miope se encuentra situado a 50 cm por delante del mismo. ¿Cuál ha de ser la potencia de la lente necesaria para corregir esa miopía? (Problema 20 cuadernillo)
Punto remoto situado a 50 cm significa que ese ojo enfoca (ve bien) los objetos situados a una distancia del mismo comprendida entre su punto próximo y 50 cm. La lente adecuada para corregir esa miopía tiene que formar las imágenes de los objetos lejanos (infinito óptico) a 50 cm del ojo. Por lo tanto, s =−∞ (objeto en el infinito óptico) y s ′^ =− 50 cm pues la imagen se tiene que formar a la izquierda de la lente para que el ojo la pueda ver (imagen virtual). Enton- ces,
s s f f 50 cm
Como, m D f cm m
P 2 2 , 00
es decir, se necesita una lente de −2 dioptrías de potencia. El signo de la poten- cia indica que la lente es divergente (cóncava). La figura muestra la imagen formada por un objeto situado a 75 cm de la lente. Se aprecia que la imagen se forma entre el centro óptico ( O ) y el foco imagen
( F ′ ); esto es, a una distancia de la lente inferior a 50 cm (punto remoto), por lo
que el ojo miope lo enfocará con nitidez. El ojo se encuentra “pegado” a la lente y a la derecha de la misma, como se aprecia en la figura.
α
l ˆ^ = 41 , 8
R. incidente
β
γ
R. emergente
F ′^ O^ F
Con una cámara fotográfica cuyo objetivo tiene 10 D se retrata a una per- sona situada a 2,10 m de distancia. ¿A qué distancia del centro óptico del objetivo debe colocarse la placa? Si la persona mide 1,70 m, ¿qué altura mínima debe tener la placa para formar una imagen de cuerpo entero. (Problema 23 del cuadernillo)
Nota1 : La lente de las cámaras fotográficas se llama objetivo. Nota2 : La placa es el dispositivo en el que se forma la imagen. Una película en las cámaras convencionales y un sensor electrónico en las digitales.
Ya que la imagen ha de recogerse en la placa (que juega el papel de pantalla), tiene que ser real. Sólo las lentes convergentes pueden formar imágenes reales, por lo tanto el objetivo es una lente convergente (esto significa que la potencia es positiva, P = +10 D ). Entonces,
m m cm m
D m f f
P 0 , 1 10 , 0
1
=+ =^1 ⇒ ′= = = =+
La persona es el objeto (entonces, s = − 2,10 m = − 210 cm e y = 1,70 m ) y la
placa es la pantalla que recoge la imagen (por lo tanto, lo que nos piden es s ′ ).
Aplicando la ecuación de las lentes delgadas,
s s f s s f
s 10 , 5 cm 20
es decir, la imagen real se forma a la derecha del centro óptico (por esta razón es real y no virtual) y a 10,5 cm del mismo. Para determinar la altura mínima de la placa usamos el aumento lateral,
m cm cm
cm m s
s y y s
s y
y M (^) L 0 , 085 8 , 50 210
Como la imagen formada tiene una altura de 8,50 m , la placa ha de ser, como mínimo, de ese tamaño. Nota que la imagen es invertida, pues el signo de su tamaño es negativo.
F
F ′
