Vectores, Apuntes de Física

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VECTORESVECTORES

REPRESENTACIÓN DE FUERZAS

Hay dos tipos de magnitudes:

ESCALARES

y^

VECTORIALES

Las magnitudes

ESCALARES

quedan determinadas mediante una

cantidad y su unidad correspondiente:

L (Longitud) = 12’35 mm (Masa) = 5’678 kgd (Densidad) = 3’4 g/cm

3

Las magnitudes

VECTORIALES

necesitan de otras características

más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representanmediante

VECTORES

(segmentos de recta que están orientados).

Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flechapara indicar que se trata de una magnitud vectorial:^ r^ v

r^ v

r^ F

r a

MÓDULO

El^

MÓDULO

viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es

proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la

utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papelequivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala

Þ^ 1 cm : 2 N 3 cm. 2 N

= 6 N

1 cm

DIRECCIÓN

La

DIRECCIÓN

es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene

expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º(horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

!OJO!

En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:^2 π

rad = 360º;

π^

rad = 180º;

π/2 rad = 90º, etc.

PUNTO DE APLICACIÓN

El^

PUNTO DE APLICACIÓN

es el punto del espacio en que se aplica

la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen lasfuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna

r FTierra,

Tierra

r FLuna,^ F

Luna, Tierra

= F

Tierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, perodifieren en su

PUNTO DE APLICACIÓN

FUERZA RESULTANTE A menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre un

cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro.En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectosse suman.

En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos

niños disputándose un paquete de chucherías.

El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces porEl conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por

una sola fuerza llamada

FUERZA RESULTANTE

r F^1

Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no

siempre aplicaremos ambos. Son: Gráfico Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando suscorrespondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultanteserá el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremodel último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suelellamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

COMPOSICIÓN DE FUERZAS “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

Resultante

r R

Numérico Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componertendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones máscomplejas.

a) Misma dirección

a.1) Mismo sentido:

se suman los módulos de los vectores a

componer.

r F^1 r F^2

r F^1

r^ F^2

r F^1

r F^2

R^ r =

Numéricamente:

R = F

+ F 1

2

b) Distinta dirección

b.1) Perpendiculares:

se aplica el método gráfico y usamos el

teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dosvectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo(para los despistados).

r F^2

r F^2

r R

r F^1 (^22) (^21) 2

F

F

R^

r^ F^1

F^2

F^ R

sen

2

R^ F^1

F^2

α^

F R

cos

1

2 1

2 1

F F

R/

F

R/

F

sen^ cos

tg^

F^2 F^1 arctg= α

b) Distinta dirección^ r F^1

b.2) No perpendiculares:

se aplica el método gráfico exclusivamente.

El método numérico se dejará para cursos más avanzados.^ r^ F^2

r R^ F r^

r F^2

F^1

F^1

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamossucesivamente, uno a uno:

Resultante

r R

c) Paralelas

c.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)

d

Punto de aplicación de la^ resultante

r F^1

r F^2

r F^1

r F^2

r F^2

r F^1

resultante

F^1

Numéricamente se debe cumplir la llamada“Ley de la palanca” según la cual

Los

productos de cada fuerza por la distanciaa la resultante son iguales:

F· (d + x) = F^1

· x 2

Por otro lado, el módulo de la resultante esla diferencia de los módulos de las dosfuerzas:

R = F

• F 2 1

Siempre se restará la menor a la mayor.

F^2 r^ R

r F^2

r F^1

x

d

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuyacomposición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de lacomposición. Veamos algunos ejemplos:

r F^1

r F^2

r F

Aunque hay otras posibilidades:

r F^1

r F

r F

F^1 r F 2

Y otra más:

r F

r F

r F^1

r F^2

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: eldesplazamiento sobre un

plano inclinado

.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerzatiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con lasuperficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:

y^

r^ Px

r P

r P^ x

P

α x r P^ x

r P^ y

r P

P^ P

sen

X

α^

P·sen

P=x^

P^ P

cos

y

P·cos

P=y^

P= componente tangencial del pesox^ P= componente normal del pesoy^

r P^ y

r^ P

r Py

P^ y

P^ x

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

r F

N

13 3 2 F F F^

2 2 (^2) y (^2) x^

≈ = + = + =

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlosusando coordenadas cartesianas:^ y

x

1 2

3

4 5

6

5 4 3 2 1

(2,3) r F^ =

α

(^32) F F tg

y^ x

=

= α

)F, F( F^

rr yx r^ =

r F^ x r F^ y

(2,0) r F=x^

(0,3) r F=y^

56.3º

arctg

=

= α

r F^1 y

x

1 2

3

4 5

6

5 4 3 2 1

r F^2

(2,3) r F=^1

(4,1) r F=^2

α Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

r R

(4,1) (2,3) R^

r = 2 FF 1 R^

r r r^

=^

(6,4) r R^ =

4 6 tg^

≈ = α

33.7º

arctg

≈

= α

N

52 4 6 F F F^

2 2 (^2) y (^2) x^

≈ = + = + =