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CAPITULO I
INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR
1.1. Generalidades
La Transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia
de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes.
Siempre que exista una diferencia de temperatura, la energía se transfiere
de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura
De acuerdo con los conceptos de la Termodinámica, la energía que se
transfiere como resultado de una diferencia de temperatura es el calor.
- Las leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía,
pero sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio (pueden
utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para modificar
un sistema de un estado de equilibrio a otro), pero no sirven para
predecir la rapidez (tiempo) con que pueden producirse estos cambios.
- La transferencia de calor , complementa los principios termodinámicos,
proporcionando métodos de análisis que permitan predecir esta
velocidad de transferencia térmica.
Ejemplo:
El calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente, los
principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas
finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad
de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero
nada nos dice respecto a la velocidad de la transferencia térmica o la
temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que haya
que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta
posición de la barra.
Realizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la
velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta
información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la
temperatura del agua en función del tiempo.
- Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del
calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes: conducción,
convección y radiación.
- El diseño y proyecto de los sistemas de un intercambio de calor y
conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de
estos mecanismos, así como de sus interacciones.
1.2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN
La conducción, es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los
medios sólidos opacos , cuando en estos cuerpos existe un gradiente de
temperatura. El calor se trasmite de la región de mayor temperatura a la de
menor temperatura, debido al movimiento cinético o el impacto directo de
las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre
de los electrones como sucede en los metales.
La ley básica de la conducción del calor (Joseph Fourier), establece: “La
tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada
es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al
gradiente de temperatura en esa dirección”.
w
h
BTu
x
T
QX KA ,
x x
Q T
q K BTu^ w A x h pie^ m
Donde: Qx = Tasa de flujo de calor a través del área A en la dirección
positiva.
Existen dos tipos de convección:
a) Convección libre o natural , ocurre cuando la fuerza motriz procede de
la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto
con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a fuerzas
ascensionales, el fluido próximo a la superficie adquiere una velocidad
debida únicamente a esta diferencia de densidades, sin ninguna fuerza
motriz exterior.
Ejemplo : La convección en un tanque que contiene un líquido en
reposo en el que se encuentra sumergida una bobina de
calefacción.
b) Convección forzada , tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior
mueve un fluido con una velocidad (v), sobre una superficie que se
encuentra a una temperatura Ts mayor o menor que la del fluido Tf,
como la velocidad del fluido en la convección forzada es mayor que en
la convección natural, se transfiere por lo tanto, una mayor cantidad de
calor para una determinada temperatura.
Independiente de que la convección sea natural o forzada, la cantidad
de calor transmitido Qc, se puede escribir (Ley de enfriamiento de
Newton)
QC h A ( TS TF ) ………… (1,3)
Donde: h = Coeficiente de transmisión del calor por convección en la
interface líquido – sólido (w/m
2 .k)
A = Área superficial en contacto con el fluido (m
2 )
La ecuación anterior sirve como definición de (h), su valor numérico se
tiene que determinar analítica o experimentalmente. En la figura adjunta
se puede visualizar el perfil de un fluido adyacente a una superficie
sólida
Figura N° 1.2 Distribución de la temperatura y velocidad de un fluido
sobre una placa plana en convección forzada
Fuente: Elaboración propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
El coeficiente de transmisión de calor por convección forzada
depende en general, de la densidad, viscosidad, de la velocidad del
fluido, de las propiedades térmicas del fluido (K, Cp), es decir
h f , , v , k , CP ………………. (1,4)
En la convección forzada la velocidad viene impuesta al sistema
con una bomba, ventilador y se puede medir directamente
v F
Q
V
A
En la convección natural, la velocidad es de la forma
v f ( T , , g ), es decir depende de:
∆T = diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido
β = Coeficiente de dilatación térmica del fluido, que determina el
cambio de densidad por unidad de diferencia de temperatura.
g = Campo de fuerzas exteriores, en general es la gravedad
El número adimensional característico para la convección natural es
el número de Grashoff (Gr)
evaluación de una transferencia neta de energía radiante requiere una
diferencia en la temperatura superficial de dos o más cuerpos entre los
cuales tiene lugar el intercambio.
Si un cuerpo negro irradia calor a un recinto que la rodea completamente y
cuya superficie es también negra, es decir, absorbe toda la energía
radiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante viene
dada por:
4 2
4 Qr A 1 T 1 T ………………………… (1, 9)
Siendo: T 1 y T 2 = la temperatura del cuerpo negro y la temperatura
superficial del recinto en (K).
Un cuerpo gris emite radiación según la expresión
Qr = A Eb = A T
4 (1-10)
El calor radiante neto transferido por un cuerpo gris a la temperatura T 1
a un cuerpo negro que lo rodea a la temperatura T 2 es:
Qr = 1 A ( T 1
4
4 ) ……..…………………….. (1,1 1 )
= Emisividad , propiedad de la superficie es numéricamente igual al
cociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio con
respecto a la de uno negro, adquiere valores entre 0 y 1 y constituye
una medida para evaluar cuan efectivamente emite radiación un
cuerpo real con respecto a uno negro. En la figura N° 3 se visualiza
los tres mecanismos de transferencia de calor
Figura N° 1.3 Mecanismos de transferencia de calor por conducción,
Convección y radiación,
Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da Edición
1.5. Ecuación Fundamental de la Transmisión de Calor por Conducción
Fig. Nº 1. 4 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento
Rectangular de volumen de control
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Alberto Emilio Panana Girio
1.5.1 Deducción de la Ecuación Diferencial para la conducción de calor
(coordenadas rectangulares)
Para el flujo térmico de la dirección (x), la ley de Fourier viene dada por:
x
T
Qx kA
x
T
k A
Qx qx
QX = calor que atraviesa la superficie A en la dirección positiva de las x
qX = flujo de calor por unidad de superficie transversal
k = conductividad térmica del material (magnitud positiva), para flujo
unidireccional (según x)
Considerando un elemento de volumen infinitesimal de
dimensiones ∆x, ∆y, ∆z; estableciéndose el balance energético:
La variación U de la energía interna de dt, para el caso de sólidos y
líquidos, en los que los calores específicos a presión (Cp) y volumen
(Cv) constante son iguales Cp Cv , es de la forma
U T T
m Cp Cp x y z t t t
y Cp no varían con el tiempo.
En consecuencia el balance energético total proporciona la ecuaciónn
diferencial de la conducción de calor, en la forma:
t
T
q Cp z
q
y
q
x
q (^) x y z
Teniendo en cuenta la ecuación de Fourier para cada dirección:
z
T
q k y
T
q k x
T
q (^) x k y z
Se obtiene, la ecuación diferencial de conducción de calor en
coordenadas rectangulares:
o
T T T T
k k k q Cp x x y y z z t
^ ^ ^
T = T (x, y, z, t) ; qo qo x , y , z , t
Ó en notación simbólica:
(. ) 0 P
T
k T q C t
Si la conductividad térmica es constante , entonces la ecuación se
simplifica a:
t
T
k T q Cp
2 ………………………. (1, 24 )
Nota 1: El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas:
x y z
2
2
2
2
2 2 ……………………….. (1, 25 )
Nota 2: Cp
k
, difusividad térmica. (1.26)
Si la conductividad térmica es constante (k), la ecuación se reduce a:
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
………………… (1, 27 )
Cuando no hay generación interna de calor (se conoce como ecuación
de Fourier, o ecuación del calor o de la difusión)
t
T
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
……………………… (1, 28 )
Para regiones estacionarias ( Ecuación de Poisson )
0 2
2
2
2
2
2
k
q
z
T
y
T
x
T
Regimen estacionaria sin generación interna de calor ( Ecuación de
Laplace )
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
1.5.2 Deducción de la ecuación diferencial de conducción de calor en
coordendas cilíndricas en estado transitorio
- Considerar el pequeño elemento cilíndrico de control
r , z , r , de^ densidad y^ c^ p ^ calor específico.
p p^.
T T
E U mc c r z r t t
Qgenerado q V 0 q 0 r z r .
4. Operando en la ecuación (4) y dividiendo entre r. z r . , se tiene
0
r r r z z z p r
Q Q Q^ Q Q Q T
q c r z r r z r r r z t
^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
- Dado que el área de transferencia de calor del elemento para la
conducción de ese calor en las direcciones r , , z son:
Ar r . z , A r. z ; Az r . r
6. Tomamos el límite cuando r , z , r y t tiende a cero se obtiene
por definición de derivada y de la Ley de Fourier de la conducción de
calor.
0
lim
r r r (^) r r r
Q Q Q T T
kA kr
r z r r z r r z r r r r
^ ^ ^
0 2
lim r
Q Q Q T T
kA k r r z r r r z r r r zr (^) r
^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
0
lim.
..
z z z z z z
Q Q Q T T
kA k
r r z r r z r z z z z z
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
- Reemplazando en 6, se tiene
2 0
1 T 1 T T T
Kr k k q Cp r r r r z z t
^ ^ ^
Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas
cilíndrica (estado transitorio).
1.5.3 Ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas
Deducción de la ecuación diferencial de transferencia de calor por
conducción en coordenadas esféricas:
Fig. Nº 1.6 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento
de volumen de control en coordenadas esfèricas
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing.Alberto Emilio Panana Girio
r = radial
V rsen
2
Ar rsen
2
A r r ; A rsen r ; Cp : CalorEspecifico ; Densidad
- Balance de energia :
Velocidad de Velocidad de Velocidad de
conducción de conducción de generación de
calor de entrada calor de salida calor en el interior
al elemento del elemento del elemento
Velocidad de
cambio de
energía
del elemento
- Remplazando:
(^) r (^) r r generado
E
Q Q Q Q Q Q Q
t
(1.36)
= Polar, cenital o colatitud
= azimutal o longitud
q
r r sen r
q q
rsen r
Lim r 0 3
T
krsen r
T
q kA
Se tiene : (^)
T
ksen r sen
2
7. Ordenando, se obtiene la ecuación diferencial de la conducción de
calor en coordenadas esféricas:
2 2 2 2 2 0
1 T 1 T 1 T T
kr k ksen q Cp r r r r sen r sen t
^
^ ^ ^
1.6 Condiciones de bordes y condición inicial (1-38)
Para poder realizar la integración de la ecuación general de conducción, en
términos matemáticos es menester incluir las condiciones iniciales y de
borde. En general, por ser la ecuación general de conducción de primer
orden en tiempo se requiere del establecimiento de una única condición
inicial.
1.6.1 La condición inicial, se refiere a la distribución de temperatura que
existe en el instante de tiempo inicial.
Condición inicial: T (x, y, z, t = 0) = Ti (x, y, z)
1.6.2 Para el caso de las condiciones de borde ; se observa que en las
variables espaciales (x, y, z), la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación general de conducción es dos; por tanto se requiere el
establecimiento de dos condiciones de borde por cada variable espacial.
A continuación incluimos un conjunto de condiciones de borde que
aparecen con frecuencia en la formulación de problemas de conducción.
T x ( ) TS , x 0
" S ,^0
dT k q x dx
dT h T T k x dx
a) Temperatura especificada constante (condición de Dirichlet )
Figura Nº 1. 7 Sistema con borde a temperatura constante
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Panana Girio Alberto Emilio
b) Flujo de calor especificado constante (condición de Neuman)
Figura Nº 1. 8 Sistema con flujo de calor en el borde constante
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing- Alberto Emilio Panana Girio
c). Ambiente convectivo (Robin)
Figura Nº 1. 9 Sistema cuyo borde se encuentra adyacente a un fluido
Fuente: Elaboraciòn propia, Ing. Ing. Alberto Emilio Panana Girio
En ella se incorpora R " t (^) , c que es precisamente la resistencia térmica de
contacto,.si R " (^) t , c 0. Se satisface que TA TB
Desde el punto de vista del cálculo, la presencia de la resistencia térmica de
contacto se cuantifica añadiendo una resistencia adicional,
Circuito térmico , mostrando la resistencia térmica de contacto:
La resistencia térmica de contacto, R”t,c, generalmente se determina
experimentalmente, R”t,c depende en general de:
La presión de contacto
Del acabado superficial
A continuación se presenta una tabla donde se muestra valores característicos
de la resistencia térmica de contacto.
Tabla 1 .1. Resistencia térmica de contacto para:
(a) Superficies metálicas bajo condiciones de vacío y
(b) Interfaz de Aluminio (rugosidad; 10 nm) 10
5 N/m
2 con diferentes
fluidos interfaciales.
Resistencia térmica de contacto R”t,c x 10
4 [ m
2
. K /W
Fuente:Alan Chapman, Fundamentos de transferencia de calor, 2da. Edición
A
A
K
L
B
B K
L R " t , c
1.7 Problema Resueltos
Problema N° 1
Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de
plástico, se cura colocando una fuente de calor por radiación cilíndrica dentro
del tubo. El espacio entre el tubo y la fuente se vacía, y la fuente entrega un
flujo de calor uniforme , que se absorbe en la superficie interna del tubo. La
superficie externa del tubo se mantiene a una temperatura uniforme,.
Figura N° 1. 13 - a Cilindro con fuentes de calor
Fuente: Elaboración propia, Eng. Alberto Emilio Panana Girio
Desarrolle una expresión para la distribución de temperatura en la pared
del tubo en términos de , , , y. Si los radios interior y exterior del
tubo son y , ¿Cuál es la potencia que se requiere por
unidad de longitud de la fuente de radiación para mantener la superficie interna
a? la conductividad de la pared del tubo es w/m.K.
SOLUCIÓN:
1. Diagrama de flujo
