PROBLEMAS MATEMATICAS II, Ejercicios de Matemáticas

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COLECCIÓN DE EJERCICIOS Y

PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS II

GRADO EN A.D.E.

GRADO EN ECONOMÍA

GRADO EN F.Y.C.

CURSO ACADÉMICO 201 2 - 13

ÍNDICE

• Curso Académico 2012-
• TEMA 1.- INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN
• TEMA 2.- PROGRAMACIÓN NO LINEAL
• TEMA 3.- INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
• TEMA 4.- MÉTODO DEL SIMPLEX
• TEMA 5.- DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL
• TEMA 6.- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y POST-OPTIMIZACIÓN
• TEMA 7.- PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Curso Académico 2012-

6.- Pon un ejemplo en cada uno de los casos:

a) Un problema que tenga solución óptima cuyo conjunto de oportunidades sea acotado.

b) Un problema no acotado cuyo conjunto de oportunidades sea acotado.

c) Un problema que tenga solución óptima cuyo conjunto de oportunidades sea no acotado.

d) Un problema no acotado cuyo conjunto de oportunidades sea también no acotado.

7.- Demuestra teóricamente la existencia de óptimo global para los siguientes problemas:

I) Max x+y s.a: 3 x+y  4 x+y  5 x 0 ,y 0

II) Max x^2 +3y^2 s.a: (x-1)^2 +(y-3)^2  x 0 ,y 0

III) min x-y s.a: 3 x+2y  5 x0 , y 0

8.- Para los siguientes problemas encuentra, si la hay, una solución factible interior y una solución factible frontera.

I) min x-y s.a: x+y  5 x0 , y 0

II) Max x+y s.a: x  4 x 0 ,y 0

Max x+3y s.a: (x-2)^2 +(y-1)^2  x 0 ,y 0

I)min x+3y s.a: y  x^2 x0,y 0

9- Aplica el teorema Local-Global en cada uno de los siguientes casos: a) Sabemos que (11,10) es un mínimo local del siguiente problema: min x^2 +y^2 +2x+4y+ s.a. x+y= b) Sabemos que (3,3) es un máximo local del siguiente problema: Max x+y+ s.a. x+y≤ 6 x 0 c) Sabemos que (7,0) es un mínimo local del siguiente problema: Min x^2 -y^2 s.a. x+5y≤ 7 x,y 0

10. - Sea P un problema de Programación Matemática y sea P’ otro problema que resulta de añadirle a P una restricción más. Supongamos que su objetivo es maximizar.

(a) ¿Cuál será mayor, el conjunto de oportunidades de P o el de P’?. (b) ¿ Cuál será mayor, el óptimo de P o el de P’? (c) Si. x es una solución factible de P’ , ¿lo será también de P ?, ¿y al revés? (d) Si. x* es el óptimo de P , ¿lo será también de P’?

Curso Académico 2012-

11.- Supón que hemos resuelto un problema de Programación con restricciones y hemos encontrado un óptimo global. Si eliminamos las restricciones, ¿el problema tendrá necesariamente óptimo? Y si lo tiene, ¿será mejor o peor que el problema con restricciones?, ¿puede ser el mismo?

12.- Un problema de maximizar tiene solución óptima, y hemos encontrado una solución en la que la función objetivo vale 25. ¿Podemos afirmar que el valor óptimo de la función objetivo es mayor que 25?, ¿y mayor o igual?

13.- Calcula, si es posible:

a) {1,3,6}  {2,5,6}

b) {1,3,6}  {2,5,6} c) {(0,1),(3,4)}  {(0,4)}

d) {(0,2,-6),(8,-1,4,8)}  ^4 e) {(x,y)^2 / x^2 +y^2 ≤9}  {(x,y)^2 / x^2 +y^2  14 }

f) {(x,y)^2 / x^2 +y^2 ≤9}  {(x,y,z)^3 / x^2 +y^2  14 } g) {(x,y)^2 / x+2y≤4}  {(x,y)^2 / 3x+y 3 }

h) {x / x  14 }  {y / y 3 } i) ([3,+[ [2,4])  {x / x ≤14}

14.- Añade los símbolos necesarios para que sean ciertas las siguientes expresiones. Puedes utilizar  ,  ,  ,  ,  ,  , < , >, .

a) 1 {6,1,4}

b) [2,8] [-3,8] [2,12] c) {x / 3 x 18} = [3,18] d) {(x,y)^2 / x + y ≤13, 2 x – 3 y≤13 } =

= {(x,y)^2 / x + y ≤13 } {(x,y)^2 / 2 x – 3 y≤13 } e) [-2,9] {x / 3 x 9} [-2,7]

f) { x / x 13} [2, [ g) [2,8]  [9,14] =

15.- Estudia gráficamente si los siguientes conjuntos son conjuntos convexos:

a) {(x,y)^2 / x+2y≤4} b) {(0,1),(3,4)}

c) {(3,-1)} d) {(x,y)^2 / -5x+y=4}

e) {(x,y)^2 / x+y≤4, x0, y 0 } f) {(x,y)^2 / x^2 +y^2 ≤4, y 0 }

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TEMA 2.- PROGRAMACIÓN NO LINEAL

1. Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker de los siguientes problemas:

I) II)

III) IV)

V)

2. Calcula todos los puntos de Kuhn y Tucker de los siguientes problemas: I)

II) III)

3. Analiza la cualificación de restricciones en los siguientes conjuntos de oportunidades: I) { }

II) {^ } III) { }

IV) {^ }

4. Para cada uno de los siguientes problemas, enuncia cómo debe ser cada una de las funciones f , g 1 y g 2 (cóncava, convexa o lineal) para que se cumplan las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker: I) II)

III) IV)

5. Analiza las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker en los siguientes problemas y obtén la conclusión adecuada en caso de disponer de un punto de Kuhn y Tucker en cada uno de ellos: I)

II) III)

IV) V)

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6. En los problemas del ejercicio anterior en los que no se verifican las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn i Tucker, analiza las hipótesis del teorema alternativo de suficiencia y obtén la conclusión adecuada en caso de disponer de todos los puntos de Kuhn y Tucker. 7. Aplica las condiciones de Kuhn y Tucker en los siguientes problemas de programación clásica y resuélvelos:

a) b)

c) –

d) e) f) g)

8. Para el problema de PNL:

a) Analiza la cualificación de restricciones y obtén la conclusión que corresponda. b) Escribe las condiciones de K-T.

c) Estudia si (2,1) y (0,0) son puntos de Kuhn y Tucker. d) Analiza las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker y obtén la conclusión que corresponda.

9. Dado el problema de PNL:

a) Escribe las condiciones de Kuhn y Tucker. b) Demuestra que el punto (-2,0) es un punto de Kuhn y Tucker.

c) Estudia si (-2,0) es mínimo global.

10. Para el siguiente problema:

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14. Considera el problema:

a) Escriu les condicions de Kuhn i Tucker.

b) Calcula el punt de Kuhn i Tucker sabent que satura les dues primeres restriccions i no la tercera. c) Utilitza la condició suficient de Kuhn i Tucker per comprovar que el punt anterior és un mínim global.

15. Dado el siguiente problema de programación no lineal:

a) ¿Podemos asegurar que la solución óptima (en caso de existir) va a cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker? b) Comprueba que el punto (0, 3/2, 1) cumple las condiciones de Kuhn y Tucker, indicando el valor de los multiplicadores asociados.

c) Demuestra que el punto (0, 3/2, 1) es mínimo global del problema. d) Si el término independiente de la primera restricción se disminuyera 1/6 ¿Puedes indicar aproximadamente cuál será el valor óptimo de la función objetivo del nuevo problema?

16. Dado el siguiente problema de programación no lineal:

a) ¿Podemos asegurar que la solución óptima del problema (en caso de existir) va a cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker? Razona tu respuesta.

b) Escribe las condiciones de punto de Kuhn y Tucker. c) Estudia si los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2) verifican las condiciones de Kuhn y Tucker, calculando (en su caso) el valor de los multiplicadores. d) ¿Qué puedes afirmar sobre la optimalidad de los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2)?

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e) El problema es acotado, si el término independiente de la primera restricción pasase a valer 10.25; indica aproximadamente cuál sería el valor óptimo del nuevo problema.

17. Dado el siguiente problema de programación no lineal:

a) ¿Podemos asegurar que la solución óptima del problema (en caso de existir) va a cumplir las condiciones de punto de Kuhn y Tucker? Razona tu respuesta. b) Escribe las condiciones de punto de Kuhn y Tucker.

c) Estudia si los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2) verifican las condiciones de Kuhn y Tucker, calculando (en su caso) el valor de los multiplicadores.

d) ¿Qué puedes afirmar sobre la optimalidad de los puntos (2,-4,0) y (6,-1,2)?

e) El problema es acotado, si el término independiente de la primera restricción pasase a valer 9.75; indica aproximadamente cuál sería el valor óptimo del nuevo problema.

18. Donat el següent problema del consumidor:

a) Escriu les condicions de Kuhn i Tucker.

b) Comprova si (2, 8) és punt de Kuhn i Tucker. c) Estudia si (2, 8) és el màxim global del problema del consumidor.

19. Donat el següent problema de minimitzar els costos d’una empresa:

a) Escriu les condicions de Kuhn i Tucker.

b) Calcula l’únic punt de Kuhn i Tucker del problema sabent que z = 16. c) Estudia si eixe punt és el mínim global del problema.

d) Si la producció mínima que s’exigix en la primera restricció passa de 92 a 90, calcula aproximadament la variació que es produiria en els costos òptims.

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c) Demuestra que si el consumidor es racional, es decir, prefiere más a menos (utilidades marginales estrictamente positivas), la solución de las condiciones de Kuhn y Tucker supondrá que los consumos óptimos agotan totalmente la renta. d) Resuelve el problema si , M =180 y precios p 1 =5 y p 2 =3.

23. Marca las frases correctas:

 Saber que un punto es regular y de Kuhn y Tucker sirve para afirmar que es óptimo global.

 Saber que un punto es regular y no es de Kuhn y Tucker sirve para descartarlo como óptimo global.  Saber que un punto no es regular sirve para descartarlo como óptimo global.  Saber que un punto no es de Kuhn y Tucker sirve para descartarlo como óptimo global.  Saber que un problema cumple la cualificación de restricciones sirve para que únicamente los puntos de Kuhn y Tucker puedan ser óptimos globales.  Saber que un problema cumple la cualificación de restricciones sirve para afirmar que el mejor de los puntos de Kuhn y Tucker es el óptimo global.  Saber que un problema no cumple el teorema de Weiertrass sirve para decir que ningún punto de Kuhn y Tucker es óptimo global.  Saber que un problema cumple las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker sirve para afirmar que todo punto de Kuhn y Tucker es óptimo global.

 Saber que un problema no cumple las hipótesis del teorema de suficiencia de Kuhn y Tucker sirve para afirmar que ningún punto de Kuhn y Tucker es óptimo global.

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24. Relaciona cada enunciat de la primera columna amb la conseqüència o conseqüències de la segon columna:

Es compleix la qualificació de restriccions

El problema té òptim global

Es compleix el teorema de Weierstrass

S és acotat

Es compleix el teorema de suficiència de Kuhn i Tucker

L’òptim global és un punt de KT

S és convex Tot punt de KT és òptim global

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4. Dado el siguiente problema de PL:

Razona cuál o cuáles de los siguientes puntos son SFB. a) (10,10,0,0,0) c) (20,0,5,5,0) e) (20,0,5,0,0)

b) (0,0,0,30,20) d) (0,0,30,0,20)

5. Dado el siguiente problema de PL, calcula todas sus soluciones factibles básicas e indica la base que tiene asociada cada una de ellas.

6. Dado el siguiente problema de programación lineal:

a) Transforma el problema a forma estándar y escribe la matriz técnica A. b) Calcula una solución factible básica cualquiera.

7. Dado el siguiente problema:

a) Determina la solución factible básica asociada a xB=(x 1 , x 2 ).

b) Calcula dos soluciones factibles básicas más. c) Calcula una solución factible pero no básica.

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8. Sea el siguiente problema de Programación Lineal:

Calcula: a) Una solución factible básica no degenerada, indicando la base asociada. b) Una solución factible básica degenerada, indicando la o las bases asociadas.

9. Dado el siguiente problema de programación lineal:

a) Dibuja el conjunto de soluciones posibles. Identifica gráficamente todas las soluciones posibles básicas de este problema e indica el valor de las variables (x, y, s 1 , s 2 ) en cada una de ellas.

b) Resuelve el problema.

10. Un cierto problema lineal tiene el siguiente conjunto factible:

a) Enumera todas las SFB de dicho problema b) Si se sabe que la función objetivo de dicho problema es 4x-y , ¿se puede calcular cuál es la solución óptima? Si la respuesta es afirmativa, indica cuál es. Si la respuesta es negativa, razona qué debería ocurrir para que sí se pudiese.

c) Contestar a las mismas preguntas del apartado b), pero suponiendo que la función objetivo del problema fuera x+y.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

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14. Sea F(x,y,z) = x+y+2z la función objetivo de un problema lineal que queremos maximizar. Las 3 variables son no negativas.

a) Añade una única restricción de tal manera que el problema tenga solución única o de vértice. Calcula todas las soluciones factibles básicas y el valor de la función objetivo en cada una.

b) Añade una única restricción de tal manera que el problema tenga solución múltiple o de arista. Calcula todas las soluciones factibles básicas y el valor de la función objetivo en cada una.

c) Añade una única restricción de tal manera que el problema sea no acotado. d) Añade una única restricción de tal manera que el problema sea infactible. Nota: las restricciones no se acumulan en cada apartado.

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TEMA 4.- MÉTODO DEL SIMPLEX

1. Dada la siguiente tabla del Simplex para un problema de maximizar

1 6 2 1 2 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 x 1 1 1 0 0 4 1 2 2 x 3 0 1 1 0 2 2 1 1 x 4 0 -2 0 1 5 0 1 zj 1 1 2 1 13 5 5 wj 0 5 0 0 -11 -

a) ¿Cuáles son las variables básicas y las no básicas?

b) ¿Cuál es la solución correspondiente a esta tabla? ¿Cuánto vale la función objetivo en esta solución? ¿Es una solución factible básica? c) Verifica que dicha tabla cumple las condiciones que satisface cualquier tabla del Simplex. d) ¿Qué efecto tiene sobre la función objetivo introducir en la base cada una de las variables no básicas?

e) Razona que la tabla no es óptima. Indica la variable de entrada, la variable de salida y el elemento pivote.

f) Calcula la tabla siguiente. Verifica que la nueva tabla cumple las condiciones que satisface cualquier tabla del Simplex.

2. Responde a los apartados de la pregunta anterior para la siguiente tabla del Simplex de un problema de maximizar:

5 1 2 0 0 x y z s 1 s 2 5 x 1 0 -1/3 2/9 5/9 0 1 y 0 1 1/3 1/9 -2/9 2 zj 5 1 4/3 11/9 23/ w^2 j 0 0 2/3^ -11/9^ -23/

3. Dadas las siguientes tablas del Simplex para problemas de maximizar indica si son óptimas y en caso de serlo indica el tipo de solución óptima. Indica, cuando sea posible, la solución óptima mostrada en la tabla. Si hay soluciones óptimas alternativas, calcúlalas.

x y z s 1 s 2 4 x 1 4 2 1 0 5 0 s 2 0 -6 -5 -2 1 10 zj 4 16 8 4 0 20 wj 0 -12 -2 -4 0