Departament d’Economia i d’Història Econòmica
Grau en Economia
Grau en Administració i Direcció d’Empreses
Grau en Comptabilitat i Finances
Grau en Empresa i Tecnologia
102345 / 102097
Matemàtiques I
Llista de problemes
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
los problemas de matematicas, Ejercicios de Matemáticas
Asignatura: matematicas I, Profesor: Ricardo Flores, Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UAB
Tipo: Ejercicios
2015/2016
1 / 34
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Vista previa parcial del texto
¡Descarga los problemas de matematicas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Departament d’Economia i d’Història Econòmica
Grau en Economia
Grau en Administració i Direcció d’Empreses
Grau en Comptabilitat i Finances
Grau en Empresa i Tecnologia
Matemàtiques I
Llista de problemes
Llista de problemes 0
- Repàs previ -
- Simplifiqueu les expressions
(a)
a^3 b^2 a
(b)
( (^) a b^2
(c)
(−x)^3 + 2x^3 (−y)^4 + y^4 (d)
x−^2 y−^2
(2xy) x−^5 y^6
(e)
√ (^48) a 2 √ (^42) a (f ) 3
3 a^3 8 b^6
(g) 4
32 a^3 81 b^5
(h) 4
4 a^3 b^2 2 a^2 b^3 (i) 5
32 a^10 b^15 c (j) 4
(−3)^4 (k) 3
(−15)^3 (l) n
xn
(n)
(x − 3)^2 (o) 3
− 118 (^1
- Digueu si aquestes igualtats s´on certes o no:
(a) (x + 3)^2 = x^2 + 3^2
(b) x
p xq^ =^ x^
pq
(c)
2 x =
x
(d)
x + 2 =
x +
- Comproveu si els valors que us donen s´on solucions de les equacions corres-
ponents.
(a) x^6 − 7 x^3 − 8 = 0 x = 8, x = 2, x = − 1.
(b)
3 t 2 t + t^2 −^
t +^
2 + t = 0^ t^ = 1,^ t^ =^ −^1 /^3. (c) 31 −s^2 = 1 27
s = 2, s = 0, s = − 2.
(d) 5 log 10 x − log 10 32 = log 10 (0. 5 x) x = − 2 , x = 2.
(e) 5 a − 3 b = − 4 i 3 a − b = 0, (a = 1, b = 3), (a = 2, b = 6).
- Resoleu les equacions:
(a) 0. 3 x + 0.2 = 1. 5 (b) 2x − 1 = 8x + 3 (c) 2t − 4 /3 = 5t/6 + 2 (d) x − π = x/ 0 .3 + 2. 5 / 5 (e) 1. 73 d − (0.3)^2 = d/ 2 − 3. 03 (f ) x^3 − 0 .001 = 0
(g) a^4 + a^2 /2 + 1 = 0 (h) x^3 − x^2 − 5 x − 3 = 0 (i) s^2 − 2 s = 3
- Trobeu els punts de la recta real que compleixen les seg¨uents igualtats:
(a) |x + 1| =^12 (b) |x/ 3 − 1 | = 2x +^13 (c) x^2 − |x + 1/ 3 | = 1/ 3
(d) |x^2 − x − 2 | = 1 (e); x x^ + 1+ 2 =^12 (f ) (^) x + 1 x =^3 x 2 −x^1
- A quina dist
ancia de l’origen de coordenades esta el punt (4, 3)? Com cal- culeu la distancia a l’origen de qualsevol (x, y)? Doneu l’equaci´o que han de complir els punts (x, y) que s´on a distancia R de l’origen. - Busqueu tots els punts del pla cartesi`a tals que la primera coordenada ´es tres
vegades la segona. Quina figura geom`etrica n’obteniu?
- Localitzeu els punts (1, 3) i (1, 1) en el pla cartesi
a. Quina ´es la distancia
entre els dos punts? Quins s´on els punts del pla que disten igual de tots dos punts?
- Escriu l’equaci´o cartesiana de la recta (i dibuixa-la):
(a) que passa pels punts (3,-1) i (-2,1).
(b) de pendent − 3 / 5 i que passa per (1,-2).
(c) paral.lela a la recta 3 y + 2x + 1 = 0 que passa per (1,-1).
(d) perpendicular a la recta 3 y + 2x + 1 = 0 que passa per (1,-1).
- Dibuixeu les circumfer`encies:
(a) (x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 9, (b) (s − 3)^2 + (t + 1)^2 = 10
(c) (x − 1 .5)^2 + (y + 0.5)^2 = 10 (d) a^2 + 4a + y^2 − 2 y = − 1
- Resoleu les inequacions seg¨uents:
(a) x + 1 < 2 x − 7 (b) − x + 1 ≤ − 4 (c) s^ +^ π s
(d) (x − 1)(x + 2) ≥ 0 (e) x^2 − 2 x + 3 ≤ 0 (f ) x^3 − x ≥ 0
(g)
(x − 0 .2)(x + 1.4) x + 5. 5 <^1 (h)^
t + 3 t − 8 >^0
Llista de problemes 1
- Introducció -
1. Digueu si aquestes igualtats s´on certes o no:
a) (x + 3)^2 = x^2 + 3^2 b)
xp
xq^
= x
pq
c)
2 x =
x d)
x + 2 =
x +
e) (−2)(x − 5) = − 2 x − 5 f )(−x)^3 = −x^3
g)
x + y
y
= x h) (−x)^4 = −x^4
2. Trobeu el conjunt de nombres reals soluci´o de cada una de les seg¨uents
inequacions:
a) 3x − 4 > 0 b) (x + 1)(x − 3) > 0
c) 5x + 9 < 0 d)
x + 1
x^2 − 4
e) − 4 x + 3 > 0 f ) x^2 − 1 ≤ 1
g)
3 x
+ 6 > 2 h)
x
1 − x
i) 3x − 5 > 6 x − 7 j) (x − π)(x + 5)(x − 3) > 0
k) 8x − 1 < 9 x + 3 l) (x − 21 /^3 )(x − 21 /^2 ) > 0
m) 2x^2 − 7 x + 6 ≤ 0 n) 3x^2 + 2x − 1 < 0
o)
2 x
x − 1
x
x + 7
p) 3x^2 + 26x ≥ 9
q)
x
2 − 4 x
r)
x + π
x
3. Sigui I = (a, b) un interval obert. Trobeu els valors de x 0 i r per tal que
I = B(x 0 , r). Calculeu el valor de x 0 i r en el cas particular dels intervals:
a) I 1 = (− 2 , 8)
b) I 2 = (− 7 , 7)
c) I 3 = (− 10 , −7)
d) I 4 = (−∞, +∞)
7. Sigui la funci´o f (x) = ax + b, on a, b ∈ IR. Observeu que la seva gr`afica
sempre ´es una recta. Trobeu els valors de a i b per tal que la recta compleixi
les seg¨uents condicions:
a) Tingui pendent 2 i passi pel punt (1,-1)
b) Sigui horitzontal i passi pel punt (3,3)
c) Passi per l’origen de coordenades i pel punt (1,-2)
d) Passi pel punt (1,-2) i cada cop que augmenta una unitat la variable x
tamb´e augmenta una unitat la variable y
e) Sigui paral.lela a la recta y = 2x + 1 i passi pel punt (0, 0)
f) Sigui perpendicular a la recta y = 2x + 1 i passi pel punt (− 1 , −1)
Llista de problemes 2
- Funcions -
3. Considereu la grafica de la funci´o f (x) = x^3. Usant aixo doneu la gr`afica
de les seg¨uents funcions pels casos : c = − 2 , c = 0, c = 5.
a) g(x) = f (x) + c b) g(x) = f (x + c)
c) g(x) = cf (x) d) g(x) =
f (x)
e) g(x) = f (
x
) f ) g(x) = f (|x|)
g) g(x) = |f (x)| h) g(x) = max{f, 0 }
i) g(x) = min{f, 0 }
4. Feu el mateix que el problema anterior per a les funcions f (x) = ex^ ,
f (x) = ln x i f (x) = e−x.
5. D’entre totes les relacions-funcions que un pot descriure entre el conjunt IR
i si mateix, n’hi ha algunes que s´on privilegiades i que es poden expressar
per f´ormules algebraiques senzilles. Cal saber recon`eixer-les i dibuixar-les
graficament sense necessitat de grans calculs. Fonamentalment aquestes
s´on: polinomis de grau 1 (rectes) i 2 (par`aboles), exponencials i logar´ıtmes.
Feu un esboc¸ de les seg¨uents funcions amb el m´ınim de c`alculs possibles.
a) f (x) = 5x + 7 b) f (x) = − 7 x − 1
c) f (x) = 3x^4 d) f (x) = x^2 − 8
e) f (x) = ln x f ) f (x) = ex
g) f (x) =
x
h) f (x) =
x^2
i) f (x) =
x
6. En un estudi de l’economia dels EEUU durant el periode 1929-1941 es va
poder constatar que la despesa total C en b´ens de consum i serveis est`a
relacionada amb la renda nacional Y de la seg¨uent forma: quan Y = 500
tenim que C = 470. A m´es cada cop que la renta nacional augmenta en 100
unitats el consum de b´ens i serveis ho fa en 75 unitats. Suposant una relaci´o
lineal entre la renda nacional i el consum obtenir la funci´o que descriu la
relaci´o. Quin ser`a el cosum de b´ens i serveis quan la renda sigui Y = 1000?
- Comproveu que:
a) (^) xlim→ 1 (x^2 + 1) 6 = 3, b) (^) xlim→ 01 x
no existeix
- Comproveu que
x^ lim→ 1
[
(x^2 − 1) · cos
x^2 − 1
)]
- Raoneu si s´on certes o no les seg¨uents implicacions:
a) lim x→a f (x) = l =⇒ f (a) = l b) f (a) = l =⇒ (^) xlim→a f (x) = l
- Sigui h(x) = f (x) + g(x). Raoneu si s´on certes o no les seg¨uents implica-
cions:
a) Si h(x) ´es cont´ınua =⇒ f (x) i g(x) s´on cont´ınues
b) Si h(x) ´es cont´ınua i g(x) tamb´e ´es cont´ınua =⇒ f (x) cont´ınua
- Els problemes que precedeixen en aquest requereixen d’un domini m´es o
menys acurat de la noci´o de l´ımit. Ara proposem un calcul molt m´es sis- tematic basat en “les regles” de calcul de l´ımits conegudes per vosaltres. No obstant, potser cal pensar una mica sobre el que fem per tal de reconeixer la noci´o de l´ımit dels problemes anteriors en aquestes “regles” m´es o menys misterioses (´es a dir, substituir x per x 0 quan fem limx→x 0 ). Calculeu, doncs, els l´ımits seg¨uents.
a) lim x→ 1
1 − x
1 − x^3
b) (^) x→lim+∞^ x
(^2) − 5 x + 1 3 x + 7
c) (^) x→lim+∞^ (2x^ + 3)
(^3) (3x − 2) 2 x^5 + 5
d) (^) xlim→− 1 x
x^2 + 3x + 2 e) (^) x→lim+∞
x^2 + 1 −
x f ) lim x→ 1 x
(^3) − 3 x + 2 x^4 − 4 x + 3 g) lim x→ 0 (1 + x) 1 x^ h) lim x→ 0
x^2 − 1 x + 3
i) (^) x→lim+∞^ x
2 10 + x
x
j) (^) x→lim+∞
2 x + 1 −
2 x^2 + x + 1
k) (^) x→lim+∞
x^2 + 3 x^2 + 2
)x l) lim x→ 1 e(^ x^1 − 1 )
m) (^) xlim→∞(1 + x^1 )x^ n) (^) x→−∞lim ln x^2
o) (^) xlim→∞ sin x p) (^) xlim→∞ x sin x
q) (^) xlim→∞
x^2 + 3 2 x − 1 r)^ xlim→∞
x^2 − 3 x^6 + 2x s) (^) xlim→∞
√x^ −^ x^ + 1 x + x − 1
t) lim x→ 0
sin^2 x
x^2
u) lim x→ 01 x
(ex^ − 1) v) lim x→ 0
sin x x
w) (^) xlim→∞^2 x
(^2) − 3 x − 4 √ x^4 + 1
x) (^) xlim→∞
x + 2 2 x + 1
) x 22
y) lim x→ 0 x^2 cos
x^2 + 2 x
z) (^) xlim→∞
3 x^3 − 2 x^2 + x − 6 2 x^2 + 3x + 5
- Una funci´o, f , ´es cont´ınua en un punt, x 0 , si els l´ımits laterals de la funci´o
en aquest punt existeixen i coincideixen amb el valor que pren la funci´o en aquest punt. ´es important tenir en compte que aquesta definici´o ´es local i, per tant, el fet que una funci´o sigui cont´ınua (o no) en un punt no d´ona cap informaci´o sobre la continu¨ıtat de la mateixa funci´o en qualsevol altre punt diferent de x 0. Passarem ara a estudiar la continu¨ıtat de funcions en tot el seu domini. Aixo implica per tant, saber separar els punts on la funci´o pot patir alguna patologia d’aquells on simplement la funci´o ´es cont´ınua pel fet de ser polinomial, exponencial, logar´ıtmica, trigonometrica, etc. En els punts patologics caldra un estudi m´es acurat usant fortament el c`alcul de l´ımits vist anteriorment. Estudieu, doncs, la continu¨ıtat de les seg¨uents funcions en tots els punts del seu domini de definici´o i, en cas de ser discont´ınues en algun punt, digueu de quin tipus de discontinu¨ıtat es tracta:
a) f (x) = x − 2 b) f (x) = ex−ln(x^2 +1)
c) f (x) =
x^2 x − 2 d)^ f^ (x) =^ e
−
( (^1) x^2
)
e) f (x) = 1 +^ x
3 1 + x
f ) f (x) = e^1 /x
g) f (x) = x · sin
( (^) π x
(h) f (x) = ln
x
i) f (x) = 0 (j) f (x) =
√ (^) x |x|
k) f (x) =
x^2 , si x ≤ 3 2 x + 1, si x > 3
l) f (x) =
{ (^) ex x −^ e,^ si^ x <^1 ln x, si x ≥ 1
m) f (x) =
x · ln(x^2 + 1), si x ≤ 0 x · ex, si x > 0
n) f (x) =
1 , si x < − 1 1 , si x ≥ 1
o) f (x) =
{ (^) x |x| ,^ si^ x^6 = 0 0 , si x = 0
p) f (x) =
ln √ |x|, si x < 0 x^2 + 1, si x ≥ 0
- Vegeu si existeixen valors dels par`ametres a, b pels que les seg¨uents funcions s´on cont´ınues (cal que imposeu que els dos l´ımits laterals coincideixin amb el valor de la funci´o en el punt conflictiu):
a) f (x) =
{ (^) x (^2) − 4 x− 2 ,^ si^ x^6 = 2 a, si x = 2
b) f (x) =
ax^2 + 1, si x ≤ 1 a, si x > 1
c) f (x) =
ex, si x ≤ 0 ax + b, si x ∈ (0, 1] ln(bx), si x > 1
d) f (x) =
ex^2 +ab, si x ≤ 1 −x^2 − ab, si x > 1
e) f (x) =
a, si x < − 2 x^2 − b, si − 2 ≤ x ≤ 1 ax + b, si x ≥ 1
f ) f (x) =
ln(x + 1) + a, si x ∈ [− 1 , 1] ex^ + 2bx^2 , si 1 < x < 2 sin(πx) + (a + 1)x, si x ≥ 2
g) f (x) =
x^2 + ax + b, si x ≤ 0 √ x + ab, si x > 0 , a, b > 0
- Demostreu que les seg¨uents funcions tenen una arrel (´es a dir, f (x 0 ) = 0)
en els intervals que s’indican
a) f (x) = ex^ − (x + 2) en [− 10 , 0] i [0, 10] b) f (x) = ex^ − (x^2 + 2) en [0, 3]
c) f (x) = ex^ − (5x^3 − 5) en [0, 2]
d) f (x) = ex^ − (2 − x^2 ) en [− 2 , 0] i [0, 3] e) f (x) = x^3 − 3 x^2 − 5 en [2, 4]
f ) f (x) = ex^ + 2 − (3 − x^2 ) en [− 2 , 0] i [0, 3]