problemas lingo, Ejercicios de Matemáticas

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PROBLEMAS PARA MODELIZAR Y RESOLVER Con LINGO 1 Introducción a la modelización El objetivo de estas prácticas es aprender a resolver problemas de optimización matemática con la ayuda de la aplicación LINGO. El primer paso antes de poder usar el ordenador es modelizar el problema, es decir, formularlo en términos matemáticos adecuados. Ilustraremos este proceso con la ayuda de un ejemplo: Problema Una fábrica se propone confeccionar una serie de trofeos deportivos, correspondientes a las modalidades de fútbol, baloncesto, carrera y tenis. Cada trofeo requiere varios materiales para su fabricación: madera para la base, acero pora la estructura y oro para. dorados y embellecedores. Además, se conocen los horas de mano de obra que requiere cada trafeo. Los datos aparecen en la tabla siguiente: Madera | Acero | Oro | Mano de obra (en kg) | (en kg) | (en kg) | (en horas) Fútbol 04 0.6 0.2 2.2 Baloncesto | 0.5 03 0.1 17 Carrera. 0.6 03 0.1 1.2 Tenis 04 045 | 015 13 Por otra parte, la empresa dispone de 55 kg de madera, 39 kg de acero, 23 kg de oro y 175 horas de mano de obra, y los ingresos que obtiene son de 7.20€ por cada trofeo de fútbol, 4.50€ por cada trofeo de baloncesto, 480€ por cada uno de carrera y 6€ por cada uno de tenis. Determinar la producción que maximiza los ingresos. La modelización de cualquier problema puede descomponerse en las etapas siguientes: 1) Elección de las variables Las variables del problema se corresponden con las magnitudes cuyo velor podemos decidir. Así, la empresa no puede decidir qué ingresos va a tener, pero sí cuántos trofeos va a fabricar de cada tipo, y esta decisión determinará los ingresos. Ello nos lleva a la siguiente elección de las variables: F' número de trofeos de fútbol que conviene fabricar, B número de trofeos de baloncesto que conviene fabricar, C número de trofcos de carrera que conviene fabricar, T' número de trofeos de tenis que conviene fabricar. Es importante dejar bien claro el significado de cada variable de un modelo. 2) Formulación de las restricciones Hemos dicho que la empresa puede decidir qué cantidad de trofeos fabricará de cada tipo, es decir, que tiene libertad para asignar los valores de las variables F', B, C y T, pero ello no significa que tenga libertad absoluta. Por ejemplo, la empresa no puede tomar la decisión de fabricar 1000 trofeos de fútbol, pues para ello necesitaría 400 kg de madera, y sólo dispone de 55. Más precisamente, para fabricar F' trofeos de fútbol se requieren 0.4.F kg de madera, para fabricar B trofeos de baloncesto hacen falta 0.5 B kg de madera, para fabricar C' trofeos de carrera hacen falta 0.60 kg de madera y para fabricar T trofeos de tenis hacen falta 0.4 T' kg de madera. Las necesidades totales de madera son, pues, 0.4 F +05 B+0.6C +0.4P. Como la empresa dispono de 55 kg, su decisión deberá. satisfacer la restricción 04F4+05B 40.60 40.47 < 55, 2 INTRODUCCIÓN A LINGO 2 Así mismo tenemos obra. [in total, las restricciones debidas a las limitaciones en los otros materiales y en la mano de ¡eciones a las que nos hemos de ajustar son: Madera 04 F+05B 4060404 7 <55 Acero 06F+03B4:0.304045T < 39 Oro 0.2F+0.1B4+01C+0.157 < 23 Mano de obra 22F+1.7B412C4+13 P<175 Hay olras restricciones que no por obvias debemos dejar de explicitar, pues son muy importantes a la hora de resolver el problema: las variables no pueden tomar valores negativos: F,B,C,P >0. 3) Determinación de la función objetivo La empresa puede hacer infinilas elecciones distintas de modo que se respeten las restricciones anteriores, El problema es encontrar la mejor y, para ello, hemos de especificar qué entendemos por una solución mejor que otra. En nuestro caso, una solución será mejor cuantos más ingresos proporcione a la empresa. Es claro que una producción (F, B, C, T) proporciona unos ingresos dados por la función I=7.20F+450B+4800+67T. Por lo tauto nuestro objetivo será maximizar la función 7. Notemos que con esto no sólo hemos espe- cificado la función objetivo, sino Lambién la dirección de optimización, que en nuestro caso es maximizar, si bien en otros contextos podría ser minimizar. Con todo esto, hemos llegado a la siguiente modelización de nuestro problema: Max. 720F +450B+480C+6T sa 04FP405B4+06C0 404 T<55 0.6F4+03B4+0.30 40457 < 39 02F4+0.1B+4+01C+0.157T < 23 22F4+1.7B4+120413 TS 175 F,B,C,T20 Ahora ya estamos en condiciones de pedirle al ordenador que nos ayude a encontrar la solución óptima. 2 Introducción a LINGO Para empezar a usar LINGO hemos de abrir la aplicación y crear un documento en blanco sobre el que escribir (aunque ya so crea uno por defecto al abrir LINGO, si lo hemos cerrado o queremos otro nuevo, basta acudir al menú Pile > New). Como en cualquier otra aplicación, podemos guardar en cualquier momento nuestro trabajo mediante el menú File > Save o File > Save as. .. El documento se guardará con la extensión .Ig4. La única configuración que requiere el programa (al menos, para el uso que nosotros le daremos) se introduce mediante el menú LINGO > Options, . . Aparece entonces un panel de opciones con varias pestañas. 2 INTRODUCCIÓN A LINGO 4 2. La función objetivo empieza con Max = si el objetivo os maximizar y con Min = si el objetivo es minimizar. 3. En lugar de escribir < o > hemos de escribir < o >. Las restricciones de igualdad se introducen con =. 4. Es necesario escribir los productos con el signo *, de modo que obtendríamos un error si es- cribiéramos 7.20F en lugar de 7.20*F . 5. La coma decimal se represente, con un punto. 6. Las potencias se introducen con el cireunfiejo “ . Por ejemplo, F* se escribiría F74, 7. No es necesario introducir las condiciones de no negatividad, F, B,C,T > 0, sino que LINGO las da por supuestas. Si quisiéramos especificar que una variable, por ejemplo F, es libre, añadiríamos una nueva línea QFraee(F) ; 8. Los nombres de las variables pueden constar de una o más letras (pero no espacios en blanco, acentos, ni eñes, ete.). Por ejemplo, podríamos haber llamado a las variables x1, x2, ete. (Además el primer signo ha de ser una letra y no un número. Por ejemplo, 1x no valdría como nombre de variable.) 9. Las palabras entre corchetes antes de las restricciones no son necesarias, pero ayudan a leer después la solución. Han de cumplir las mismas condiciones que los nombres de las variables. En particular no pueden tener espacios en blanco, Si queremos poner varias palabras podemos usar guiones bajos, como en Mano_de_obra. Una vez introducido el modelo, lo resolvemos con el menú LINGO — Solve, o bien con el icono en forma de diana (Rf) que hay en la parte superior de la ventana. Si no se produce ningún error, obtendremos una ventana con este aspecto: Solver Status | [ Vañabes — Model Class: 1P [9 4 | | Nonineas: 0 ES Global Opt || Integas: 0 Objective: 568.8 | UNES E | Infeasibinye ol Tolat s | None 0 Iterations: 2 =— q Nonzeros Extended Solver Status a Total 20 Notlnear: 0 Solves Type: | E Best Obi. Generator Memory Used (K)— Obi Bound 20 E ¡Elapsed Runtime (hhvmrcss) AVE P 00:00:00 cual 0 0 La tínica información quo nos interesa es “State: Global Opt”, que nos indica que LINGO ha obtenido un óptimo global. Las posibilidades son: 2 INTRODUCCIÓN A LINGO al Global Opt: óptimo global. Local Opt: óptimo local. En tal caso deberemos estudiar si cl óptimo cs global mediante convexidad. Infeasible/Unbounded: infactible/no e virtiéndonos de que el problema no votado. En esle caso aparecerá antes un cuadro de error ad- ene solución. Unknown: Desconocido. Se da este caso cuando LINGO encuentra un error y no resuelve el problema. Si LINGO ha encontrado ina solución óptima (global o local), cerramos la ventana anterior y veremos otra ventana titulada “Solution Report”, que contiene (entre otras líneas que no nos interesan) dos tablas con la solución del problema. Para nuestro problema son: Variable Value Reduced Cost ¡El 0,000000 0.4800000 B 0.000000 0.6000000E-01 c 61.00000 0.000000 de 46.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price INGRESOS 568 .8000 1.000000 MADERA 0.000000 2.400000 ACERO 0.000000 11.20000 ORO 10.00000 0.000000 MANO_DE_OBRA 42.00000 0.000000 Si queremos guardar la solución deberemos ir al menú FILE — Save o FILE —> Save as..., y obten- diremos un documento de extensión .lgr. Interpretación de la solución El significado de las dos tablas que proporciona LINGO es el siguiente: 1. En la primera tabla, la columna Value contiene el valor óptimo de cada variable, En muestro ejemplo, vemos que conviene fabricar 0 trofeos de fútbol, O de baloncesto, 61 de carrera y 46 de tenis. 2. En la primera tabla, la columna Reduced Cost indica! lo que empeoraría la función objetivo (es decir, lo que disminuiría si el problema es de maximizar o lo que aumentaría si es de minimizar) si en lugar de haber exigido que la variable correspondiente fuera no negativa (es decir, F > 0), hubiéramos exigido F > 1. En muestro ejemplo: + Hemos visto que no conviene producir trofcos de fútbol, pero si exigiéramos producir uno (es decir, si exigiéramos F' > 1) nuestros ingresos disminuirían 0,48€ (o, más cn gencral, por cada trofco que fabricáramos de fútbol, perderíamos 0.48:€). Hemos visto que no conviene producir trofeos de baloncesto, pero si exigiéramos producir uno (es decir, si exigiéramos B > 1) nuestros ingresos disminuirían 0,06€ (o, más en general, por cada trofeo que fabricáramos de baloncesto, perderíamos 0.06 €). si oxigiéramos producir al menos uno (C > 1) lución sería la misma y los ingresos no variarían. Como conviene producir 61 trofeos de carrer seguiríamos produciendo 61, con lo que la s Por eso el coste reducido us 0, ¡Atención! Sería un error muy grave interpretar el coste reducido igual a O como que si en lugar de producir 61 trofeos de carrera decidiéramos producir 62 los ingresos serían los mismos. “El coste reducido es el multiplicador de Kuhn y Tucker de la condición de signo correspondiente a la variable, con el signo cambiado si el problema es de maximizar. 2 INTRODUCCIÓN A LINGO T Objective Coefficient Ranges: Current Allovable Allovable Variable Coefficient Increase Decrease F 7.200000 0.4800000 INFINITY B 4.500000 0.6000000E-01 INFINITY el 4.800000 1.200000 0.8571429E-01 T 6 .000000 1.200000 0.3000000 Righthand Side Ranges: Current Allowable Allowable Row RHS Increase Decrease MADERA 55.00000 23.00000 20.33333 ACERO 39.00000 21.00000 11.50000 ORO 23,00000 INFINITY 10,00000 MANO_DE_OBRA 175.0000 INFINITY 42.00000 La interpretación es la siguiente: 1. La primera tabla contiene, en su primera columna, el coeficiente de la función objetivo de la variable correspondiente, y en las otras dos columnas lo que puede aumentar y lo que puede disminuir dicho coeficiente para que la solución óptima siga siendo la misma. En nuestro ejemplo: + El ingreso que proporciona cada trofeo de Mútbol es de 7.2€, y mientras dicho ingreso no aumente más de 0.48€ (cs decir, mientras no sobrepase los 7.68 €) la solución óptima seguirá siendo la mismo. (El INFINITY en la tercera columna significa que por mucho que disminuya dicho ingreso por trofeo la solución óptima seguirá siendo la misma.) El ingreso que proporciona cada trofeo de baloncesto es de 4.5 €, y mientras dicho ingreso no aumente más de 0.06€ (es decir, mientras no sobrepase los 4,56 €) la solución óptima seguirá siendo la misma. El ingreso que proporciona cada trofco de carrera es de 4.8€, y mientras dicho ingreso no aumente más de 1.20€ o disminuya más de 0,08€ la solución óptima seguirá siendo la misma. El ingreso que proporciona cada trofeo de tenis es de 6€, y mientras dicho ingreso no aumente más de 1,20€ o disminuya más de 0.30€ la solución óptima seguirá siendo la misma. 2. La segunda tabla contiene, en su primera columna, el término independiente de la restricción correspondiente, y en las otras dos columnas lo que puede aumentar y lo que puede disminuie dicho coeficiente para que la solución óptima tenga las mismas variables básicas. El significado preciso de osta afirmación se estudiará más adelante, pero, de momento, como una aproximación aceptable para trabajar, podomos entenderlo así: mientras el término independiente se mantenga en el rango indicado, las variables (incluidas las de holgura) que en la solución óptima valen O seguirán tomando el valor 0, En nuestro ejemplo, las variables que valen O son 7, B y las variables de holgura de la madera y el acero. Par lo Lanto: * Disponemos de 55 kg de madera, y mientras la cantidad de madera disponible no aumente en más de 23 kg o disminuya en más de 20,33 kg seguirá sin convenir fabricar trofeos de fútbol y de baloncesto y seguiremos empleando loda la madera y todo el acero disponibles. + Disponemos de 39 kg de acero, y mientras la cantidad de acero disponible no aumente en más de 21 kg o disminuya cn más de 11.5 kg seguirá sin convenir fabricar trofcos de fútbol y de baloncesto y seguiremos empleando toda la madera y todo el acero disponibles. 2 INTRODUCCIÓN A LINGO 8 + Disponemos de 23 kg de oro, y mientras la cantidad de oro disponible no disminuya en más de 10 kg seguirá sin convenir fabricar trofeos de Fútbol y de baloncesto y seguiremos empleando toda la madera y todo el acero disponibles. + Disponemos de 157 horas de mano de obra, y mientras la cantidad do horas de mano de obra disponibles no disminuya en más de 42 horas segnirá sin convenir fabricar trofeos de fútbol y de baloncesto y seguiremos empleando toda la madera y todo el acero disponibles. Variables enteras Supongamos que la cantidad de madera necesaria para labricar un trofeo de tenis fuera de 0,3 kg en lugar de 0.4, como habíamos supuesto. Si modificamos este dato y volvemos a resolver el problema, obtenemos la solución siguiente: Variable Value Reduced Cost F 0.000000 0.8000000 B 0.000000 0.1000000 e 72.50000 0.000000 T 38.33333 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price INGRESOS 578.0000 1.000000 MADERA 0.000000 2.000000 ACERO 0.000000 12,00000 DRO 10.00000 0.000000 MANO_DE_OBRA 38.16667 0.000000 Esto significa que hemos de fabricar 72.5 trofeos de carrera y 38,33 trofeos de tenis, pero esto es absurdo, Si fabricamos medio trofeo de carrera no vamos a ganar nada con ello, porque nadie nos comprará un trofeo sin acabar. La solución de este problema sólo tiene sentido si las cantidades a producir son enteras. La forma de obligar a LINGO a que nos proporcione soluciones enteras os añadir al modelo la línea OCGIN(F); CGIN(B); QGIN(C); OGIN(T); (En realidad son cuabro instrucciones distintas, por eso van separadas por punto y coma, pero da igual escribirlas en la misma línea o una debajo de otra.) Ahora la solución que obtenemos es Variable Value Reduced Cost F 0.000000 7 .200000 B 2.000000 -4.500000 c 71,00000 -4.800000 T 38.00000 -6.000000 Row Slack or Surplus Dual Price INGRESOS 577.8000 1,000000 MADERA 0.000000 0.000000 ACERO 0.000000 0.000000 ORO 10,00000 0.000000 MANO_DE_OBRA 37.00000 0.000000 Lo que supone fabricar 2 trofeos de baloncesto, 71 de carrera y 38 de tenis, lo cual sí que es factible, Notemos que la solución entera no se obtiene redondeando la solución fraccionaria, Si nos hubiéramos limitado a redondear habríamos conchaido que nos convenía producir ínicamente 72 Lroleos de carrera y 38 de tenis, con lo que habríamos obtenido unos ingresos de 573.6€ , que son inferiores a los 577.8€ de la solución que nos ha proporcionado LINGO. A veces es necesario exigir que una variable X sólo pueda tomar los valores 0 o 1. Estas variables se llaman binarios y la forma. de introducir en LINGO esta restricción es escribiendo EBin (O ; 2 INTRODUCCIÓN A LINGO 10 Podemos insertar comentarios en un modelo (cs decir, escribir líneas que LINGO no leerá) em- pezándolas con una admiración y terminándolas siempre con ; Por ejemplo, podíamos haber be- eleado: l Problema de los trofeos, página 2 de los apuntes ; [Ingresos] Max=7.20*F+4,50xB+4.80*G+6+T; [Madera] 0.4*F+0.5x*B+0.6*C+0,4*T<55; [Acero] 0.6*F+0.3*B+0.3*C+0.45*T<39; [Oro] 0.2xF+0.1*B+0.1*C+0.15*T<23; [Mano_de_obra]2.2%F+1.7*B+1.2*C+1.3*T<175; Y el efecto sería el mismo. LINGO no diferencia entre mayúsculas y minúsculas. Si escribimos primero F' y luego f el efecto es el mismo que si escribimos las dos veces F o las dos veces f. También es irrelevante que dejemos espacios en blanco. Da igual escribir 3+*x+y que 3 * x + y. Al introducir un problema podemos usar paréntesis como al escribir normalmente. Por ejemplo, para introducir “Maximizar (a + y)? + Yg” escribimos Max=(x+y)"2 + y" (1/3). Tema 5 s A, Problema Una fábrica se propone confeccionar una serie de trofeos deportivos, correspondientes a : modalidades de fútbol, baloncesto, carrera y tenis. fabricación: madera pora la base, acero pora la estructura y oro para dorados y embellecedores. Además, se conocen las horas de mano de obra que requiere cada trofeo. Los datos aparecen en la tabla siguiente; == las Problemas para modelizar Cada trofeo requiere varios materiales para su Madera | Acero Mano de obra (en kg) | (en kg) (en horas) Fútbol 0,4 0.6 2.2 Baloncesto 0.5 0.3 17 Carrera 0.6 0.3 1.2 “Tenis 0.4 0,45 13 Por otra parte, la empresa dispone de 55 kg de madero, 39 kg de acero, 23 kg de oro y 175 horas de mano de obra, y los ingresos que obtiene son de 7,20€ por cada trofeo de fútbol, 4.50€ por cada trofeo de baloncesto, 4.80€ por cada uno de carrera y 6€ por cada uno de tenis. Determinar lo producción que maximiza los ingresos. 2 . + Una empresa dispone de un presupuesto de 500€ para fabricar cuatro artículos A, B, C y D. La - tabla siguiente contiene el coste unitario de producción y el precio unitario de venta: Artículo | 4 Coste 5 Precio 8 La empresa se ha comprometido con un distribuidor de su producto a suministrarle al menos 100 unidades de los artículos A y B, al menos 300 unidades de C y D y al menos 50 unidades de A y D. Calcula la producción que maximiza los beneficios de la empresa. El modelo es: 3. Una empresa de aviación dispone de un total de 20 aviones que puede destinar a tres rutas turísticas diferentes. Cada ruta debe contar al menos con tres aviones. La tabla siguiente recoge los ingresos que proporciona cada avión según en la ruta en la que se emplee y los costes que requiere. Los costes totales no pueden exceder el presupuesto máximo que la empresa pretende dedicar a estas rutas, que os de 70 um. Calcula el número de aviones que la empresa debe destinar a cada ruta para maximizar sus benef- cios. Ruta l Ruta2 Ruta 3 Ingresos Costes 5 2 11 5 (a) ¿Agotará la empresa su presupuesto? (b) ¿Empleará todos sus aviones? 5. MONDESCOR es una empresa que fabrica'dog modelos de coches en dos plantas de 7 producción y los vende en Madrid, Barcelona y Valencia. Los costes de transportar un coche, independientemente del modelo, de cada fábrica a cada ciudad, vienen dados en unidades monetarias en la siguiente tabla: A A E Aa! Planta 1|__30 20 40 AA A Y la demanda de cada modelo en cada ciudad es: RIO AYER DESC ALTA Modelo 1 | 800 0 La capacidad máxima de producción de cada planta es de 10000 y 8000 coches, respectivamente, sumando los dos modelos. Se pide: a) Determinar cuántos coches de cada modelo se deben transportar desde cada planta a cada ciudad para satisfacer la demanda y minimizar los costes de transporte. b) ¿Qué ocurrirá con la solución anterior si en Madrid se produce un aumento de demanda del 10% para el modelo uno? : ly 7 Problemas de interpretación 7.1 Ejemplos resueltos Ejemplo 1 Una empresa dispone de un presupuesto de 500€ para fabricar cuatro artículos A, B, C y D. La tabla siguiente contiene el coste unitario de producción y el precio unitario de venta: Artículo A] B|C|D Coste sj3[2|2 Precio |[8|6|6|4 La empresa se ha comprometido con un distribtwidor de su producto a suministrarle al menos 100 unidades de los artículos A y B, al menos 300 unidades de C y D y al menos 50 unidades de Ay D. Calcula la producción que maximiza los beneficios de la empresa. El modelo es: a) Resuelve el problema con LINGO. Explica el resultado. b) ¿Le convendría a la empresa aumentar su presupuesto hasta 1000 €? Responde a las cuestiones siguientes considerando un presupuesto de 1.000€. 1600 €) ¿Qué cantidad le conviene a la empresa fabricar de cada artículo? d) ¿Cuál es el beneficio máximo que puede conseguir? e) Interpreta el coste reducido del artículo A. f) Explica cómo se interpreta que el coste reducido del artículo B sea 0. £) ¿Cómo variaría el beneficio de la empresa si el distribuidor se conformara con 95 unidades entre los artículos A y B? ¿Y si pidiera 1107 h) Interpreta el intervalo de sensibilidad de la variable y. i) Interpreta el precio dual y el intervalo de sensibilidad del compromiso AD. 1) ¿Perjudicaría en algo a la empresa que el distribuidor exigiera 320 unidades entre los productos CyD? k) Indica si la solución que proporciona LINGO nos permite concluir lo siguiente o no: “Si la empresa aumentara en una unidad la producción conjunta de Cy D, el beneficio obtenido no variaría”. I) La empresa estudia la posibilidad de aumentar el precio de venta de alguno de sus productos. Si se decidiera por el producto €, ¿le convendría replantearse las cantidades a producir? ¿Y si aumentara 1.5€ el precio de venta del producto D? 189