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MATEM ´ATICAS
1 o^ curso de Ambientales (Curso 2017-2018)
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
- El modelo exponencial
y = N 0
( 1 +
α 100
)t = N 0 et^ ln(1+^ 100 α )^ = N 0 eβt
corresponde a un crecimiento (o decrecimiento) del tama˜no de una poblaci´on del α% en cada unidad de tiempo, partiendo de un valor inicial de N 0 (en t = 0). a) Representar las funciones y = 100e^2 t^ e y = 100e−t. b) Si el crecimiento es de un 5% por unidad de tiempo y N 0 = 100, ¿cu´al es la velocidad de crecimiento de y en el instante t = 3? ¿Y en t = 50?
- La funci´on logar´ıtmica
y = a + b ln x (para x > 0)
se utiliza, por ejemplo, para describir emp´ıricamente la relaci´on entre la concen- traci´on (X) de una hormona de crecimiento para plantas y el tama˜no alcanzado por la planta (Y ). a) Representar la funci´on y = 100 + 2 ln x. b) Hallar la concentraci´on X para la cual la magnitud Y crece una unidad por cada unidad de aumento de la concentraci´on.
- Hace tiempo, los zo´ologos encontraron que las medidas realizadas en dos partes diferentes del cuerpo (X e Y ) de individuos en crecimiento de una especie animal, se pod´ıan relacionar (aproximadamente) de la siguiente forma:
ln y = k + b ln x (relaci´on alom´etrica),
o lo que es igual: y = ekeb^ ln^ x^ = axb, para x > 0. Representar las funciones y = 2x^3 e y = 2x^1 /^2.
- Una funci´on muy utilizada para representar el tama˜no de un cultivo de microbios a lo largo del tiempo es la funci´on log´ıstica:
y = f (t) =
k 1 + ae−bt^
, para t ≥ 0 (a, k, b > 0)
a) Representar la funci´on y = (^) 1+2^100 e−t , para t ≥ 0. b) Hallar el instante en que la velocidad de crecimiento es m´axima. c) ¿En qu´e tama˜no tiende a estabilizarse la poblaci´on?
- En una reacci´on bioqu´ımica controlada por una enzima, la velocidad (v) de con- versi´on de una sustancia (para una cantidad fija de enzima) viene dada por
v = f (s) =
as k + s
, para s ≥ 0 (a, k > 0),
donde s es la concentraci´on del sustrato que est´a siendo convertido. Esta funci´on se conoce con el nombre de funci´on de Michaelis-Menten. a) Representar la funci´on. b) Hallar la velocidad m´axima de conversi´on que se puede alcanzar. c) Calcular cu´al debe ser la concentraci´on del sustrato para que la velocidad de conversi´on sea la mitad de la m´axima alcanzable.
- La concentraci´on de ox´ıgeno en un estanque contaminado con un residuo org´anico viene dada por la funci´on:
y = f (t) =
t^2 − t + 1 t^2 + 1
, para 0 ≤ t < ∞,
donde t representa el tiempo en semanas. a) Representar la funci´on. b) Hallar los instantes en los que se alcanzan las concentraciones m´axima y m´ınima de ox´ıgeno. c) Hallar el instante en que la velocidad de crecimiento de la concentraci´on de ox´ıgeno es m´axima.
- Obs´ervese que si se pierde un 50%, despu´es hay que ganar un 100% para volver a la situaci´on original. Calcular qu´e porcentajes habr´ıa que perder para volver a la situaci´on original despu´es de ganar un: 25%, 300%, 50%.
- Un gas confinado en un dep´osito perforado, pierde una proporci´on fija de las mol´eculas por unidad de tiempo. A las 7 de la ma˜nana medimos una concentraci´on en el dep´osito de 15 ppm (partes por mill´on). Media hora m´as tarde la concentraci´on ha bajado un 1% respecto a la anterior. a) Escribir la funci´on que expresa la concentraci´on del gas en funci´on del tiempo. b) ¿Que concentraci´on hab´ıa a las 3 : 30 de la ma˜nana, antes de que hici´esemos nuestra primera medici´on? c) ¿Cuanto tardar´a en bajar la concentraci´on hasta 3 ppm?
- En el vertedero de basura de Valdeming´omez se ha observado que cada a˜no los camiones de la CAM depositan un 5% m´as de basura que el a˜no anterior. Como la basura no se retira, se va acumulando. a) Escribir la funci´on que expresa la cantidad de basura depositada cada a˜no por los camiones de la CAM en el vertedero. b) Encontrar la f´ormula que da la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n a˜nos.
- a) La pol´ıtica seguida en una reserva natural para proteger cierta especie resulta un ´exito, y cada a˜no la poblaci´on se incrementa en un 8%. Si al iniciar el programa se contaba con 20 ejemplares, ¿cu´al es la poblaci´on estimada al cabo de 30 a˜nos? b) ¿Cu´al tendr´ıa que ser el porcentaje de incremento anual para conseguir la misma poblaci´on final que en el apartado anterior, pero en solo 20 a˜nos?
- Una sustancia radiactiva se desintegra un mismo porcentaje cada a˜no.
a) Si la cantidad de sustancia presente en este momento es de 120 Kg, hallar la expresi´on de la cantidad de sustancia, C(t), al cabo de t a˜nos. b) Calcular el valor del porcentaje de desintegraci´on anual, sabiendo que dentro de 20 a˜nos la cantidad de sustancia presente ser´a el doble de la que habr´a dentro de 40 a˜nos.
- Las granjas de patos contaminan el agua con nitr´ogeno en forma de ´acido ´urico. Se hace un seguimiento del nivel de ´acido ´urico (Y ) de un r´ıo, cerca de una de estas granjas, a lo largo del tiempo (en meses). Este nivel de ´acido ´urico se puede describir, durante un buen per´ıodo de tiempo, mediante la funci´on:
y = f (t) = 4 ln(t + 1) − 5 ln(t + 2) + 10 para t ≥ 0.
a) ¿Cu´al es el nivel de ´acido ´urico al comenzar el seguimiento? b) El nivel de ´acido ´urico, ¿crece o decrece en los primeros meses? ¿Cu´ando alcanza su nivel m´aximo o m´ınimo? ¿Cu´al es este nivel m´aximo o m´ınimo? c) Hacer una representaci´on aproximada y razonada de la evoluci´on del nivel de ´acido ´urico durante el per´ıodo [0, 24] (los dos primeros a˜nos).
- Dos especies de paramecios (paramecium aurelia y paramecium caudata) compiten en un nicho ecol´ogico por los mismos recursos. El n´umero de individuos por mililitro (N ) de paramecium caudata en este ecosistema viene dado por la funci´on:
N = 50(6t + 1)e−^2 t^ (t = tiempo en d´ıas).
a) N´umero de individuos de paramecium caudata al empezar el estudio. b) Calcular el n´umero m´aximo de individuos e indicar cuando se alcanza. c) ¿Qu´e ocurre con la poblaci´on a largo plazo?
- La velocidad de variaci´on de una poblaci´on viene dada por la funci´on:
v(t) =
2 t^2 t^2 + 3
para t ≥ 0 (t en a˜nos)
(a) Valor de la velocidad al comienzo (t = 0). ¿A qu´e tiende la velocidad a largo plazo? (b) Calcula la primera derivada de v(t), y utilizala para determinar crecimientos, decrecimientos, m´aximos y m´ınimos de v(t). (c) Calcula la segunda derivada de v(t), y utilizala para determinar concavidades y puntos de inflexi´on de v(t). (d) Haz una representaci´on de v(t) a partir de lo obtenido en los apartados anteriores.
- La tiroxina (tambi´en llamada tetrayodotironina) es el principal tipo de hormona tiroidea secretada por las c´elulas foliculares de la gl´andula tiroides. En el a˜no 2000, una persona ten´ıa un ´ındice de tiroxina libre de 80 mcg/l (que se puede considerar normal). Debido a un problema de hipotiroidismo, este ´ındice disminuye durante los 5 a˜nos siguientes (hasta 2005) a un ritmo de un 10% anual. Detectado el problema, se le somete a un tratamiento y durante los 5 a˜nos siguientes (hasta 2010) el ´ındice aumenta a un ritmo de un 10% anual. (a) Calcular su ´ındice de tiroxima libre en 2005 y en 2010. (b) ¿Cu´al tendr´ıa que haber sido el porcentaje anual de crecimiento entre 2005 y 2010, para recuperar el ´ındice de tiroxina libre de 80 mcg/l?
- La concentraci´on Y de una sustancia en un r´ıo, en mg/cm^3 , crece bruscamente tras un vertido incontrolado. A partir de ese momento va evolucionando seg´un la funci´on:
y = f (t) = 50 −
1 + e−t^
, para t ≥ 0 (t expresado en meses)
(a) ¿Cu´al es la concentraci´on de la sustancia al producirse el vertido (t = 0)? (b) Estudiar crecimiento, decrecimiento y posibles m´aximos y m´ınimos relativos, mediante la primera derivada. (c) Estudiar concavidades y posibles puntos de inflexi´on, mediante la segunda derivada. (d) Estudiar qu´e ocurre con la concentraci´on de la sustancia a largo plazo. (e) ¿Cu´al es la concentraci´on de la sustancia al cabo de 6 meses? ¿Cu´al es la velocidad de variaci´on de la concentraci´on al cabo de 1 a˜no?
- Representar la funci´on
f (x) =
2 π
e−x
(^2) / 2
Comentario: Esta funci´on es la funci´on de densidad del modelo Normal standard y es muy utilizada en Estad´ıstica.
- En una gran ciudad se lleva a cabo un ambicioso proyecto de reducci´on de di´oxido de nitr´ogeno para mejorar la calidad del aire. La funci´on que expresa la cantidad de di´oxido de nitr´ogeno (en microgramos por metro c´ubico) en funci´on del tiempo (en meses) es: C(t) = 20 + 30e−^2 t^ para t ≥ 0. (a) Halla la cantidad de di´oxido de nitr´ogeno al comienzo y a largo plazo. ¿Cu´ando se conseguir´a la cantidad de 25 microgramos por metro c´ubico? (b) Calcula la primera derivada y, a partir de ella, estudia crecimiento, decrec- imiento, m´aximos y m´ınimos de la funci´on. ¿Cu´al es la velocidad de aumento o disminuci´on de la contaminaci´on al cabo de 6 meses? (c) Calcula la segunda derivada y, a partir de ella, estudia tipos de concavidad y puntos de inflexi´on de la funci´on. Finalmente, utiliza todo lo obtenido para representar la funci´on.
INTEGRACI ´ON
- Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a)
∫ (^) ex
1 + e^2 x^
dx
b)
∫ x^5
1 − x^2 dx
c)
∫ ln x dx
d)
∫ ex^ sen x dx
e)
∫ x^5 sen(x^2 ) dx
f)
x^2 − 5 x + 6
dx
g)
∫ (^5) x (^2) + 20x + 6
x^3 + 2x^2 + x
dx
- Hallar el ´area comprendida entre la gr´afica de f (x) = sen x, x = π 3 , x = π 2 y el eje OX (x est´a en radianes).
- Dibujar la regi´on delimitada por las curvas y = 5 − x^2 e y = 3 − x y calcular su ´area.
- Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con velocidad v(t) = t(1 − t) unidades por segundo. Su posici´on inicial es 2 unidades a la izquierda del origen. a) Hallar la posici´on del objeto 10 segundos m´as tarde. b) Hallar la distancia total recorrida por el objeto en esos 10 segundos.
- Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje OX con velocidad v(t) = At^2 + 1.
a) Calcular A sabiendo que x(1) = x(0). b) Hallar la distancia total recorrida por la part´ıcula durante el primer segundo.
- La concentraci´on de ox´ıgeno f (t) en un estanque contaminado con un residuo org´anico var´ıa a lo largo del tiempo. La velocidad de variaci´on viene dada por:
v(t) =
t^2 − 1 (t^2 + 1)^2
(t=“tiempo en semanas”).
a) Hallar la diferencia aproximada de concentraci´on de ox´ıgeno entre t = 0 y t = 1 utilizando la regla del trapecio y la regla de Simpson con 4 subintervalos. b) Comparar el resultado aproximado con el exacto, sabiendo que
f (t) =
t^2 − t + 1 t^2 + 1
, para t ≥ 0.
- El tama˜no N (t) de una poblaci´on var´ıa a lo largo del tiempo. Su velocidad de variaci´on viene dada por:
v(t) =
30 e−^0 ′ 1 t
(1 + 3 e−^0 ′^1 t)^2
(t=“tiempo en a˜nos”).
a) Calcular la variaci´on de la poblaci´on entre t = 0 y t = 20. Obtener el resultado exacto y los resultados aproximados utilizando la regla del trapecio y la regla de Simpson con 2 subintervalos. b) Si N (0) = 25, ¿cu´al es el tama˜no de la poblaci´on al cabo de 20 a˜nos?
- Una part´ıcula se mueve a lo largo de un eje con una velocidad
v(t) = t^2 − 5 t + 4
(a) ¿Cu´al es la diferencia de posici´on de la part´ıcula entre los instantes t = 0 y t = 2? (b) ¿Cu´al es la distancia total recorrida por la part´ıcula entre los instantes t = 0 y t = 4?
- Consideramos la funci´on
f (x) =
x^2 x^2 + 1
para todo x ∈ < (x est´a en radianes).
(a) Estudiar razonadamente as´ıntotas, m´aximos, m´ınimos, puntos de inflexi´on y representar la funci´on. (b) Calcular aproximadamente el ´area limitada por dicha curva, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = −1 y x = 1, mediante la regla del trapecio con 4 subin- tervalos. (c) Calcular de manera exacta el ´area anterior, calculando la primitiva correspondi- ente.
- Calcula de dos formas el valor de la siguiente integral definida:
∫ (^8)
4
x^2 + 5x + 6 x^2 − 3 x + 2
dx
(a) De forma aproximada, utilizando la regla de Simpson con 4 subintervalos. (b) De forma exacta, obteniendo previamente la primitiva.
- El ´ındice gluc´emico de un alimento (para una persona) se obtiene calculando el ´area bajo la curva de la funci´on que expresa la glucosa postprandial durante las dos horas siguentes a la ingesta de ese alimento. Dicho de otra forma, el ´ındice gluc´emico de un alimento se obtiene calculando la integral ∫ (^120)
0
g(t)dt
ECUACIONES DIFERENCIALES
- Se observa que la velocidad de variaci´on del n´umero de individuos, x, de una poblaci´on con respecto al tiempo, t, viene dada por:
v(x, t) =
(x − 100)(200 − x).
Inicialmente hay x(0) = 180 individuos. a) Hallar la funci´on x(t). b) Calcular en qu´e valor tiende a estabilizarse la poblaci´on a largo plazo.
- Llamamos x(t) a la proporci´on de individuos de una especie que existe en un instante t. Se sabe que la velocidad de crecimiento de x con respecto a t es proporcional a x(1 − x). Resolver la ecuaci´on diferencial correspondiente.
- Al abrir una cuenta en un banco, nos dicen que nos van a abonar cada a˜no un 3,5% de inter´es sobre el capital acumulado, durante los 6 primeros a˜nos. Si inicialmente depositamos 3000 euros, ¿cu´anto dinero habr´a en la cuenta al cabo de esos 6 a˜nos? Resolverlo (de forma aproximada) mediante una ecuaci´on diferencial.
- Se est´a estudiando una especie de gato mont´es. Se cuenta la poblaci´on de estos animales un cierto a˜no y se obtiene que hay 100. Se sabe que bajo buenas condi- ciones medioambientales, la tasa anual de crecimiento de la poblaci´on es de 1,676%. Esto puede provocar un desequilibrio ecol´ogico en la zona. Para solucionar esto, se consideran dos planes. El primero es permitir la caza de un gato al final de cada a˜no. El segundo es permitir que se cace un 5% de los gatos al final de cada a˜no. Plantear las ecuaciones diferenciales correspondientes a cada plan y calcular cu´al ser´ıa la poblaci´on aproximada al cabo de 25 a˜nos, con cada uno de ellos.
- Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua con sal. El contenido total de sal es de 1 Kg. En un determinado momento, se comienza a sacar l´ıquido del tanque, a raz´on de 3 litros por minuto (con lo cual, cada minuto, se pierde un 3% de sal). Para que la cantidad total de l´ıquido se mantenga constante, cada minuto se a˜naden 3 litros de otra soluci´on salina cuyo contenido en sal es de 250 gramos por litro (con lo cual, cada minuto, se a˜naden 750 gr. de sal). a) Hallar la cantidad de sal en el tanque, S(t), en funci´on del tiempo, a partir de la ecuaci´on diferencial correspondiente. b) Determinar el momento en que la soluci´on del tanque contiene 13 Kg. de sal. c) Calcular la cantidad de sal que habr´a a largo plazo.
- Al comienzo de cierto a˜no, se tienen censados 540 gamos en el Monte de El Pardo. El ritmo de aumento natural anual de la poblaci´on es del 12%; para evitar un crecimiento descontrolado, se abaten todos los a˜nos 40 gamos. a) Plantear la variaci´on anual del tama˜no de la poblaci´on en funci´on del tiempo (dN/dt), y obtener N (t) a partir de esta ecuaci´on diferencial.
b) ¿Cu´al ser´ıa el n´umero aproximado de gamos al cabo de 20 a˜nos si este plan se lleva a cabo?
- Cada 8 horas tomamos 200 miligramos de un medicamento, y cada 8 horas el or- ganismo elimina una quinta parte de lo que tiene. a) Escribir la funci´on que expresa el n´umero de miligramos en el organismo en funci´on del tiempo (tomando como unidad de tiempo los intervalos de 8 horas). b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la cantidad de medicamento en el organismo?
- La velocidad de variaci´on de la variable x con respecto al tiempo t viene dada por
x′^ = v(t, x) =
tx 1 + t^2
Adlem´as, es conocido que en el instante inicial (t=0), x=1. Resolver la ecuaci´on diferencial.
- En el seguimiento de un paciente con problema de hipercolesterolemia, se ha obser- vado un aumento mensual del colesterol en sangre de un 2%. Se le somete a una medicaci´on con una dosis que rebaja el colesterol 3 mg/dl al final de cada mes. Al comienzo del tratamiento, su nivel de colesterol era de 240 mg/dl. (a) Plantear y resolver la ecuaci´on diferencial correspondiente, para expresar el nivel Y de colesterol (en mg/dl) en funci´on del tiempo t (en meses). (b) ¿Cu´al ser´a el nivel de colesterol estimado a los 12 meses de tratamiento? (c) Utilizar la regla del trapecio y la regla de Simpson con 2 subintervalos para calcular (aproximadamente) la siguiente integral: ∫ (^12)
0
1 , 80 e^0 ,^02 t^ dt
Relacionar este resultado con los dos primeros apartados.
- De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variaci´on de la temperatura, X, de una sustancia introducida en un ambiente m´as fr´ıo con tem- peratura constante A, es proporcional a X − A. En concreto, si la temperatura ambiente es de 30 grados cent´ıgrados, la velocidad de variaci´on de la temperatura es proporcional a X − 30. Introducimos en ese ambiente un cuerpo que inicialmente est´a a 100 grados cent´ıgrados, y al cabo de 6 minutos se ha enfriado a 50 grados. (a) Con toda la informaci´on anterior, plantear la ecuaci´on diferencial correspondi- ente, y resolverla para expresar la temperatura del cuerpo, X, en funci´on del tiempo, t (en minutos). (b) Utilizar la funci´on obtenida para hallar el tiempo que tardar´a en enfriarse a 40 grados.
APLICACIONES DEL C ´ALCULO MATRICIAL
- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 − x 3 = 0 3 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2
x 1 + x 3 − x 4 = 5 x 2 + x 3 + x 4 = 2
}
x 1 + x 2 − x 3 = 1 x 1 − x 2 + x 3 = 0 x 2 − x 3 = 2
−x 1 + x 2 + x 3 = − 5 x 1 + x 2 − x 3 = 1 x 1 − x 3 = 1
- Realizar las siguientes multiplicaciones de matrices:
( 1 2 1 3 − 1 5 2 − 2
)
;
( 3 2 0 7 − 3 1 − 1 − 2 1 − 3
) .
- Sea A la matriz (^)
Realiza la siguientes multiplicaciones de matrices
A;^ A
;
A;^ A
.
- Hallar la matriz inversa de:
A =
- Calcula la matriz
( a b c d
)
tal que: (^) ( a b c d
) ( 3 2 0 − 2 1 4
)
( 5 1 − 4 4 5 4
) .
- Las hembras de una poblaci´on se pueden clasificar en dos grupos de edad (hembras j´ovenes y hembras adultas). La matriz de Leslie que describe la evoluci´on de esta poblaci´on es la siguiente: L =
( 1 , 5 2 0 , 08 0
)
(a) Si inicialmente hay 100 hembras de cada clase, ¿cu´antas habr´a en el siguiente per´ıodo de tiempo? (b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la tasa de variaci´on de cada uno de los grupos? ¿Se extinguir´a la poblaci´on? (c) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la proporci´on de hembras j´ovenes y adultas?
- En cierta especie animal, las hembras se clasifican en juveniles (hasta 1 a˜no de edad) y adultas (de 1 a 2 a˜nos de edad). Solamente el 40% de las hembras j´ovenes sobreviven cada a˜no y pasan a adultas. Todav´ıa no tienen capacidad de reproducci´on. Las hembras adultas no sobreviven al a˜no siguiente, y paren una media de 1, hembras cada a˜no. (a) Construir la matriz de Leslie correspondiente a este modelo de evoluci´on. (b) Calcular la tasa de crecimiento o decrecimiento a largo plazo. (c) Calcular la proporci´on aproximada de hembras j´ovenes que formar´an parte de la poblaci´on a largo plazo.
- Se lleva a cabo un estudio sobre una poblaci´on de ballenas azules. Las hembras son clasificadas en cuatro grupos de edad, y sobre cada grupo se obtiene la sigu- iente informaci´on en t´eminos de fertilidad (n´umero medio de cr´ıas hembras en cada per´ıodo) y en terminos de mortalidad:
grupo de edad: 0 a 3 4 a 7 8 a 11 12 a 15 no. medio de cr´ıas: 0 0’63 1’00 0’ mortalidad: 43% 43% 43% 100%
Formular un modelo matricial para la evoluci´on de esta poblaci´on. Si en un deter- minado momento, la poblaci´on est´a formada por 20, 30, 40 y 20 ballenas hembra de cada grupo de edad, ¿cu´al ser´a la composici´on de la poblaci´on (aproximadamente) al cabo de dos per´ıodos de tiempo?
- En una granja de cr´ıa de cerdos, los animales son clasificados seg´un sus edades de la siguiente forma: - Cochinillos: De 0 a 1 a˜no. - Lechones: De 1 a 2 a˜nos. - J´ovenes: De 2 a 3 a˜nos. - Adultos: De 3 a 4 a˜nos.
El procedimiento de gesti´on de las hembras de la granja es el siguiente:
- Se sacrifica al 60% de las que van naciendo para su consumo como cochinillos.
- Se sacrifica para su consumo a todas las hembras cuando llegan a los 4 a˜nos. No se sacrifica a ninguna de las dem´as, y se supone que ning´un animal muere por otras causas.
a) Describir la evoluci´on de la poblaci´on en forma matricial. b) Transcurridos unos a˜nos, determina en qu´e tanto por ciento crecer´a o decrecer´a anualmente la poblaci´on de hembras, y cu´ales ser´an los porcentajes de cada grupo en la poblaci´on. c) Determina cu´al deber´ıa ser el tanto por ciento de supervivencia de las hembras j´ovenes para que el tama˜no de la poblaci´on se mantuviera estable (a largo plazo).
- Para abordar el estudio de la evoluci´on de las hembras de una poblaci´on, las dividi- mos en dos grupos o intervalos de proyecci´on (de 1 a˜no cada uno), que llamaremos juveniles y adultas. La matriz de Leslie de esta poblaci´on es
L =
( 1 2 , 5 0 , 3 0
)
(a) Estudiar el comportamiento a largo plazo de esta poblaci´on a trav´es de los autovalores y autovectores. (b) ¿Cu´al tendr´ıa que ser el n´umero medio n de cr´ıas anuales de cada hembra adulta para conseguir que el tama˜no total de la poblaci´on (a largo plazo) no aumente ni disminuya?
- Para las siguientes matrices de Leslie, estudiar su evoluci´on y composici´on, a largo plazo: (a)
L =
( 2 4 0 , 3 0
)
(b)
L =
( 1 3 0 , 7 0
)
(c)
L =
- La poblaci´on de una especie en cierto ecosistema la consideramos estructurada en dos grupos de edad de 5 a˜nos cada uno. La matriz de Leslie que rige la evoluci´on (aproximada) de esta especie es la siguiente:
L =
( 0 , 8 1 , 2 0 , 5 0
)
(a) Calcular el autovalor dominante y su autovector normalizado, explicando sus significados en la evoluci´on a largo plazo. (b) ¿Cu´al tendr´ıa que ser el porcentaje de supervivencia del grupo 1 al grupo 2 para que, a largo plazo, el tama˜no de la poblaci´on se mantuviera estable?
- Una poblaci´on se estructura en 3 grupos de edad (con un a˜no de duraci´on cada grupo), y la matriz de Leslie que rige su evoluci´on es la siguiente:
L =
Con la ayuda de un programa de ordenador, obtenemos lo siguiente:
Autovalor 0 , 82 − 0 , 72 − 0 , 10 Un − 0 , 97 0 , 96 0 , 16 autovector − 0 , 24 − 0 , 27 − 0 , 32 − 0 , 09 0 , 11 0 , 93
L−^1 =
(a) A largo plazo, ¿qu´e podemos decir razonadamente sobre la composici´on y la evoluci´on de la poblaci´on? (b) Si en un determinado momento, la composici´on de la poblaci´on es de 200 ejem- plares de cada grupo, ¿cu´al ser´a la composici´on 2 a˜nos despu´es? (c) Si en un determinado momento, la composici´on de la poblaci´on es de 100 in- dividuos en el grupo 1, otros 100 en el grupo 2, y 10 en el grupo 3, ¿cu´al era la composici´on 1 a˜no antes? Obtener la respuesta a partir de la informaci´on sumin- istrada, sin resolver ning´un sistema de ecuaciones.
- Consideramos la siguiente funci´on de dos variables
f (x, y) = x^2 − yey
(a) Obtener los puntos de silla y los m´ınimos y m´aximos locales que pueda haber. A continuaci´on, consideramos la secci´on de esa funci´on para x = 2, es decir:
g(y) = 4 − yey
(b) Hallar razonadamente los m´aximos y m´ınimos relativos y puntos de inflexi´on que pueda tener g(y). ¿En qu´e valor es m´axima la velocidad de crecimiento de la funci´on? (c) Calcular los l´ımites de g(y) cuando y tiende a −∞ y a ∞.
