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Asignatura: Elasticidad y resistencia de materiales, Profesor: , Carrera: Ingeniería Técnica Industrial: Mecánica, Universidad: UC3M
Tipo: Ejercicios
1 / 349
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Problemas resueltos
Elasticidad y Resistencia de Materiales
σIII σII σI σn
C (^2)
C (^1)
C (^3)
τ
τmax
≈
PROLOGO
El objetivo principal que ha movido a los autores a editar este volumen de problemas de la asignatura “Elasticidad y Resistencia de Materiales I”, ha sido ofrecer al alumno que la cursa la posibilidad de disponer de una amplia colección de enunciados sobre los que ejercitar los conocimientos teóricos adquiridos. Este objetivo responde a la política iniciada por el Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras para la mejorar del material didáctico que actualmente existe para el aprendizaje de las asignaturas que desde él se imparten. En este caso, se pretende además dar respuesta a una demanda frecuentemente planteada por los alumnos: la disponibilidad de una colección de problemas, paralela a la que se publica cada curso para su resolución en aula.
Los problemas se han seleccionado cuidadosamente del conjunto de problemas de exámenes de “Elasticidad y Resistencia de Materiales I” correspondientes a pasadas convocatorias así como de otros que complementan a estos. Se ha procurado con esta selección ofrecer al alumno una colección que cubra los conceptos fundamentales de la asignatura.
Como cualquier otra actividad de un profesor en relación con sus alumnos, esta colección de problemas está realizada con muchísima ilusión, por lo que supone de ayuda para el aprendizaje de la materia por parte de nuestros alumnos. No obstante, aunque se ha puesto cuidado y esmero, en este texto se habrán deslizado erratas e, incluso, errores. En este sentido, los autores agradecerían muchísimo que se les haga conocedores de cualquier errata que se observe, así como de cualquier sugerencia, o hasta crítica, para mejorar este material didáctico.
Agradecemos de antemano a nuestros alumnos la acogida que dispensen a esta colección. Así mismo, deseamos mostrar nuestro agradecimiento a nuestros compañeros del Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Universidad Carlos III de Madrid el estímulo que de ellos hemos recibido para realizar el trabajo, así como sus valiosas observaciones y comentarios. Por último, no podríamos dejar de reconocer el esfuerzo y la ayuda prestada por nuestra Universidad, siempre preocupada por la mejora de la docencia que imparte, para que estos apuntes vieran la luz.
En Leganés, a 25 de septiembre de 2003.
Enrique Barbero Pozuelo, Profesor Titular de Universidad Interino
Ramón Zaera Polo, Profesor Titular de Universidad
Carlos Navarro Ugena, Catedrático de Universidad
CAPÍTULO 1
TENSIÓN
u ( i j k ) r r r r = + + 3
por lo que las componentes del vector tensión sobre dicho plano será:
z
y
x
La tensión normal actuante la hallaremos como:
n u^ (^ )^6 ,^67 MPa 3
r r σ σ
y la tensión tangencial resultará ser:
n^2^132 ,^6744 ,^499 ,^39^ MPa
PROBLEMA 1.
Dadas todas las componentes excepto una del tensor de tensiones T ,
referidas a un sistema de coordenadas cartesianas, correspondiente a
un punto de un sólido elástico cargado, determinar el valor del
parámetro σ de forma que exista un plano, que pase por las
proximidades del punto considerado, sobre el que no actúe ninguna
tensión. Obtener las componentes de un versor normal al citado plano.
Solución Problema 1.
r que actúa sobre cualquier plano, que pase por las proximidades del punto considerado del sólido, puede expresarse en función de las componentes del tensor T como:
{ } [ ]{ } T n r r
donde n r es el versor del plano considerado.
En nuestro caso 0 r r
deberá cumplirse:
{ } [ ]{ } { } 0 r r^ r
Para que el sistema de ecuaciones anterior tenga una solución distinta
de la trivial, el determinante de coeficientes del sistema debe ser nulo:
T = 0
condición que conduce a que el valor de σ sea 2.
Sustituyendo dicho valor en el sistema de ecuaciones, y expresado éste
en forma matricial, se obtiene:
En un punto de un sólido elástico, el tensor de tensiones referido a un triedro cartesiano de referencia viene dado por la siguientes componentes:
determínese:
a) El vector tensión actuante sobre el plano que nos definen puede
expresarse como:
por lo que:
σ = (
b) Su módulo será:
σ = ⎛⎝ 6 2 + 62 + 152 ⎞⎠ / 3 = 9.
c) La componentes normal de este vector tensión la podemos hallar
proyectándolo sobre dicha normal. Es decir:
σ n =
( )^ σ
[ ]^ n =^
(^6 −^6 15 )
La componente tangencial la podemos obtener como:
τ = σ^2 −σ n^2 = 4.
d) El ángulo α que forma el vector tensión con la normal al plano se
puede calcular atendiendo a la figura:
de donde, α = arctg (4,24/9) = 25,24º
Por tanto, la expresión del tensor de tensiones en el nuevo sistema de
referencia resulta ser:
[ ] (^) ⎥ ⎦
PROBLEMA 1.
Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles
valores de las constantes C1, C 2 y C3 para que la siguiente distribución
de tensiones puede existir en un sólido en equilibrio:
( ) 0
3 3
2 1 2
2 1 2 = ⋅ − + ⋅ ⋅ =− ⋅ =
xy xz yz
x y z C C y C x z C y
C x y C z
Solución Problema 1.
Las Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0) conducen a que:
3 3
1 1 1
se cumple x y z
Cz C x y z
Cy Cx C x y z
zx zy z
yx y yz
x xy xz
La constante C 2 puede tomar cualquier valor, por lo que el estado
tensional tendría la forma:
xy xz yz
x y C z z τ τ τ
σ σ σ
( ) ( ) ( ) 1
l m n
l n
m m
l n
l m n
l m n
l m n
l m n
zx zy z
yx y yz
x xy xz
Operando, las direcciones principales resultan ser:
r (0,16; 0; 0,99)
r (0; 1; 0)
r (-0,99; 0; 0,16)
b) La tensión tangencial máxima se producirá sobre los planos cuyo vector normal tenga la dirección de la bisectriz de las direcciones principales I-III. Utilizando, ahora, como sistema de referencia el triedro formado por las direcciones principales (cuyos versores unitarios son I J K
r r r , , ), el tensor de tensiones podrá expresarse como:
[ ] T MPa ⎟
Así, por ejemplo, para las direcciones I y III, el vector normal al plano buscado será el (^) ⎟ ⎠
(^1) , por lo que las componentes del vector
tensión que actúa sobre dicho plano resultarán ser:
III
II
I
El vector tensión resultante es:
I K r r r
cuyo módulo es 47,69 MPa y su componente normal al plano es: ( 37,07; 0; −30,0 ) (⋅ 1 2 ; 0; 1 (^2) )= 5 MPa. Por tanto, el módulo de la tensión tangencial máxima será igual a: 47 , 692 − 52 = 47 , 42 MPa
A este último valor podríamos haber llegado teniendo en cuenta que:
I III 47 , 42 MPa 2
max (^2)
Si deseáramos expresar el vector tensión en los ejes x-y-z , tendríamos:
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
k
j
i
K
J
I
r
r
r
r
r
r
0 , 99 0 0 , 16
0 1 0
0 , 16 0 0 , 99
y, por tanto, el vector tensión sería:
( ) ( 23 , 87 0 41 , 51 ) 0 , 99 0 0 , 16
0 1 0
0 , 16 0 0 , 99 37 , 07 0 30 , 1 = − − ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ − σr= −
o, lo que es lo mismo:
i k r r r σ=− 23 , 77 − 41 , 51
c) Tomando como referencia el triedro de las direcciones principales, y denominando u lI mJ nK r r r r = + + al vector unitario de los planos que se van buscando, se tendría:
n
m
l
III
II
I
por lo que el vector tensión correspondiente sería:
lI mJ n K r r r r
debiéndose cumplir que los vectores σ r y u r fueran ortogonales entre sí; esto es:
⋅ u = 52 , 43 l^2 + 20 m^2 − 42 , 43 n^2 = 0 r r
que junto con la ecuación:
l^2 + m^2 + n^2 = 1
proporciona dos ecuaciones con tres incógnitas, sistema éste que proporciona infinitas soluciones.
PROBLEMA 1.
El punto elástico paralelepipédico de la figura se encuentra sometido al estado tensional indicado en la figura. Los ejes x,y, z*, cumplen lo siguiente:
a) Calcular, en el punto en estudio, las componentes del tensor de tensiones referidas a los ejes x,y,z indicados en la figura y dibujarlas sobre el punto elástico correspondiente.
b) Determinar las tensiones principales, así como sus direcciones, y dibujar el punto elástico correspondiente.
σ ''
σ '
τ
σ ’= 20 MPa
σ ''= 60 MPa
τ (^) = 30 3 MPa
σ ''
σ '
τ
σ ’= 20 MPa
σ ''= 60 MPa
τ (^) = 30 3 MPa
Solución Problema 1.
a) Denominando:
{ } e
= Base sistema de referencia x, y, z
se tiene que:
{ }^ e =^ [ ] R
donde la matriz [R] viene dada por:
[ ]^ R =
El tensor de tensiones, referido al sistema x, y, z* , es:
por lo que su expresión en el sistema x,y,z resultará ser:
[ ]^ T =^ [ ] R ⎡⎣ T *⎤⎦ [ ] RT
[ ]^ T =
Conocidas las componentes del tensor de tensiones en el sistema x,y,z podemos dibujar el punto elástico correspondiente:
