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Rey Juan Carlos
PROBLEMAS DEL TEMA 1: CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN AC
Problemas de reactancias
Problema 14. Una bobina con L = 5 mH se conecta a un generador de tensión alterna sinusoidal de V (^) ef = 80 V. Calcula la reactancia inductiva y la corriente eficaz del circuito cuando la frecuencia es de 15 Hz, 200 Hz y 3500 Hz. Teniendo en cuenta la corriente eficaz obtenida para 15 Hz, ¿cuánto debería valer L para conseguir la misma corriente eficaz a 3500 Hz?
Sol: Para f = 15 Hz, 2 f 30 rad/s, X (^) L L 30 rad/s · 0.005 H 0.47 y por ello 80 V (^) 170.2 A
ef ef L
I X
Para f = 200 Hz, 400 rad/s, X (^) L L 6.28 , (^) ef^ ef 12.74 A L
I X
.
Por último, para f = 3500 Hz, 7000 rad/s, X (^) L 109.96 , Ief 0.728 A.
Para poder conseguir la corriente que se tiene a 15 Hz (de 170.2 A) pero a una frecuencia de 3500 Hz, y ya que la tensión alterna no cambia, es necesario que la reactancia de la bobina a esa frecuencia sea igual que la de 15 Hz, es decir, I (^) ef (3500 Hz) I (^) ef (15 Hz) X (^) L (3500 Hz) XL (15 Hz) 0.47. Para ello el coeficiente de
autoinducción L de la bobina debe ser
21.4 μH 7000 rad/s
L X^ L
.
Problema 15. Un condensador de 10 μF se conecta a un generador de tensión alterna sinusoidal de V (^) P = 150 V. Si la corriente eficaz del circuito es de 1 A, ¿Cuál es el periodo de la señal de tensión alterna? ¿Cuál debería ser la velocidad angular del generador para que la corriente eficaz del circuito fuese de 5 A?
Sol: Dado que se conoce que V (^) P = 150 V, la tensión eficaz del generador es entonces de 106,1 V. La reactancia capacitiva del condensador es por lo tanto de Vef /I (^) ef = 106,1 Ω. Como el condensador tiene una capacidad de 10 F, se puede obtener la velocidad angular (^) C^1 1 942.5 rad/s C
X C X C
, la frecuencia
2 150 Hz 2
f f
y con ella el periodo 1 T 6.67 ms f
Para que la corriente eficaz del circuito fuese de 5 A se necesitaría una reactancia capacitiva de 106,1V / 5A = 21,22 Ω, lo que se consigue a una velocidad angular de 1 4712.5 rad/s X C C
Problema 16. Una bobina de 62.5 mH se conecta a un generador de tensión alterna sinusoidal de V (^) P = 100 V. Si la corriente eficaz del circuito es de 3 A, ¿cuál es la frecuencia f de la tensión alterna?
Sol: Dado que se conoce que VP = 100 V, la tensión eficaz del generador es de 70,71 V. La reactancia de la bobina es por lo tanto 70,71V / 3 A = 23,57 Ω.
Rey Juan Carlos
Como la bobina tiene una autoinducción de 62.5 mH, se puede obtener la velocidad angular X (^) L L XL 377.12 rad/s L
y con ella la frecuencia
2 60 Hz 2
f f^
Problemas de impedancias complejas y fasores
Problema 17. Hallad la corriente en un circuito RLC en serie si el voltaje de entrada es V= 10 cos(8t). R = 4 , L =1 H y C =0,025 F.
Z R j L
j C
4 j (8 5) 4 3 j (^5) 36,9º
I
V
Z
(^2) 36,9º 1,6 j 1,
En forma sinusoidal la corriente se expresa como:
I 2cos(8 t 36,9)
Problema 18. Hallad el voltaje que cae en el condensador del ejercicio anterior.
El voltaje en el condensador se haya multiplicando la corriente por la impedancia del condensador: Z (^) c
j C
j
C
5 j (^5) 90
V IZ (^) c (^2) 36,9 5 90 (^10) 126,9 6 8 j
Que en forma sinusoidal se escribe como:
V 10cos(8 t 126,9)
Nota. En estos problemas se nos dan las fuentes de la forma f =A cos(t+), donde f puede ser una fuente de tensión o de corriente. En esta nomenclatura, A es la amplitud de la señal (el módulo), es la frecuencia angular y es el desfase.
También se recuerda al alumno que las relaciones entre módulo y fase (, parte real (a) y parte imaginaria (b) de un número complejo son:
a=cos b=sen
= (a^2 +b^2 )1/ = arctg (b/a)
Rey Juan Carlos
Problema 21. Hallad la función de transferencia de un circuito RC, tomando la salida en bornes del condensador. Decir cuál es el límite de dicha función a frecuencia muy baja y a frecuencia muy alta.
Primero calculamos la corriente que circula por el circuito y después calculamos el voltaje en bornes del condensador: I
Vin R Z (^) c
Vout IZC
Vin Z (^) c R Z (^) c
Vout Vin
j C
R
j C
1 j RC
Calculamos ahora los límites de esa función a baja y a alta frecuencia:
0
lim
1 j RC
lim
1 j RC
j
RC
Problema 22. Tenemos una fuente V = 1 V conectada en serie con dos elementos Z 1 =-2j y Z 2 =1+2j. Hallad el voltaje que cae en Z 2.
Hallamos primero la corriente que circula por el circuito y después calculamos el voltaje que cae en Z.
I
V
Z 1 Z 2
Z 1 Z 2
2 j 1 2 j
VZ (^) 2 IZ 2 1(1 2 j ) 1 2 j (^5 )
Problema 23. En el mismo circuito del problema anterior hallad Z 2 para que V 2 = 7-3j, sabiendo que V 1 =3+j y que Z 1 =-2j
Repetimos los cálculos del problema anterior con los nuevos datos:
I
V 1
Z 1
3 j 2 j
1,5 j 0,
Z 2
V 2
I
7 3 j 0,5 1,5 j
3,2 3,6 j 4,82 (^) 132
Rey Juan Carlos
Problema 24. Hallad el circuito equivalente de Thévenin del circuito inferior visto desde los terminales de entrada con R =3 , ZL = 2j, ZC=-4j, I = 2| 10
Para simplificar hacemos el paralelo entre L y C y le sumamos la R que está en serie
Z (^) e R
Z L Z C
Z L Z C
2 j (^) 4 j 2 j 4 j
2 j
3 4 j (^5 )
VTH IZ (^) e 2 10 5 53 (^10 ) I (^) sc I
RTH
VTH
I
Z (^) e (^5 )
Problema 25. Hallar en el circuito inferior la corriente que circula por la resistencia si R = 4 , C =0,125 F, I (t) = 3cos(4t) A. La fuente de voltaje es dependiente del voltaje VR que cae en la resistencia, y su valor es de K·VR (con K=0,5).
Llamando i a la corriente que circula por R (de arriba hacia abajo), tenemos que la corriente que circula por C será (I 1 -i).
Planteamos la ecuación de Kirchhoff de la malla:
c
c
c R c c
R KR Z
IZ
i
Ri I i Z KV IZ iZ KRi
V Ri
1
Metiendo los datos del problema, nos queda:
i (^3 )
2 j 4 2 2 j
2 j 2 2 j
j 1 j
2,43cos(4 t 45)
R R
Rey Juan Carlos
Problemas de factor de potencia y frecuencia de resonancia
Problema 29. Hallar el factor de potencia en un circuito RLC en serie. Particularizar para una frecuencia de red de 50 Hz y valores R = 1 k, L = 1 mH y C = 1 F.
cos ,
,
2 2 2 2 6
R 1000
R L 1000 2 50 x0 001 C 2 50x
Problema 30. Hallar el factor de potencia en un circuito RLC en paralelo para una frecuencia de red de 50 Hz y valores R = 1 k, L = 1 mH, C = 1 F
Y
Z
R
j L
j C
R
j C
L
cos
R
R
2
C
L
2 ^
1 CR
R
L
2
Problema 31. Hallar la frecuencia de resonancia de un circuito RLC con valores R = 1 k L = 1 mH, C = 1 F
La frecuencia de resonancia se define como la frecuencia a la cual la impedancia del circuito es real, por tanto en la expresión de la impedancia del ejercicio anterior igualamos la parte imaginaria a cero, con lo que nos queda:
L
C
LC
10 ^9
f
5 kHz
Problema 32. Un determinado dispositivo eléctrico consume 10 A eficaces y tiene una potencia media de 720 W cuando se conecta a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz. ¿Cuál es la impedancia del aparato? ¿A qué combinación en serie de resistencia y reactancia es equivalente? ¿Y en paralelo?
La impedancia del dispositivo eléctrico por el que pasan 10 A eficaces cuando se conecta a 120 V eficaces es Z = 12 Ω
Si tiene una potencia media de 720 W, y dado que la potencia eléctrica media en un circuito de alterna se puede calcular como P ef Ief cos , el factor de potencia del circuito es cos 0.6, y por ello el desfase (entre corriente total y tensión total)
Rey Juan Carlos
es cos 0.6 0.927 rad. Como dicho desfase no es ni cero ni 2 , el circuito está formado necesariamente por una resistencia y una reactancia:
o Si el circuito está en serie, el valor de la resistencia se obtiene de cos ·cos 7. R R Z Z . También se conoce la relación que permite
calcular la reactancia: tan^ X^ X R ·tan 9. R
o Si el circuito está en paralelo, ahora cos 1 20 1 cos
R (^) R Z Z
. La
reactancia ahora se calcula teniendo en cuenta que tan 1 15 1 tan
X R (^) X R R X
