¡Descarga Problemas de Estadística: Cálculo de Probabilidades y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Industrial solo en Docsity!
PROBLEMES COMPLEMENTARIS DELS CAPÍTOLS 3er i 4art
PROBLEMES PROPOSATS PER FER EN EXÀMENS
Curs 06 - 07
- La policia local d'una gran ciutat ha comprat 40 aparells per mesurar el nivell de soroll que emeten les motocicletes. Dels 40 instruments adquirits n'hi ha 4 0 0 de (^) 1 Ffectuosos que no mesuren amb prou precisió.
a) Si es selecciona aleatòriament una mostra de 8 d'aquests aparells per provar si les seves mesures són precises, calcula la probabilitat que en la mostra es trobi almenys un aparells defectuós.
b) Per a una determinada motocicleta la probabilitat que un aparell no 0 0 defec (^) 1 Ftuós marqui un soroll per sobre del límit legal és de 0´3, en canvi un dels aparells defectuosos marcarà, per a aquesta mateixa motocicleta, que el 0 0 so (^) 1 Froll està per sobre del límit legal amb una probabilitat de 0´75. Si un policia agafa al atzar un dels 40 aparells i el prova en aquesta motocicleta, calcula la probabilitat que l'aparell marqui un soroll superior al límit legal.
c) Si la mesura de l'aparell en la motocicleta de l'apartat anterior ha donat 0 0 supe (^) 1 Frior al límit legal, calcula la probabilitat que l'aparell sigui defectuós.
- L'administrador d'una finca rep la queixa d'un veí, que no surt de casa, sobre el soroll de l'ascensor: diu que el molesta una mitjana de 2 vegades cada 12 hores. Suposant que la variable aleatòria que compta el número de vegades per hora que els sorolls de l'ascensor molesten al veí segueix una distribució de Poisson, 0 0 cal (^) 1 Fcula:
a) La probabilitat que l'ascensor no molesti al veí en un període de, almenys, 24 hores seguides.
b) La probabilitat que en un control de 10 dies, n'hi hagi exactament 4 (no 0 0 ne (^) 1 Fcessàriament consecutius) en que els sorolls de l'ascensor no molestin al veí (pots considerar que els dies són períodes disjunts de 24 hores).
- Les qualificacions (de 0 a 10) d'una assignatura (Mètodes Estadístics, per 0 0 1 F
0 0 exem ple) segueixen una distribució normal de mitjana i variància. Cal (^) 1 Fcula:
a) El percentatge d'estudiants que aproven l'assignatura (a partir del 5).
b) La nota màxima del 10% dels estudiants que han tingut les notes més 0 0 bai (^) 1 Fxes.
- Un fabricant de ventiladors per a ordinadors assegura que el seu producte 0 0 funci (^) 1 Fona amb un nivell de soroll molt baix, inferior a 30 dB.
a) Si el nivell de soroll que emeten aquest ventiladors segueix una distribució normal de mitjana 35 dB i variància 9 dB, calcula el percentatge de 0 0 ventila (^) 1 Fdors d'aquest fabricant que funcionen amb un nivell de soroll inferior als 30dB.
b) Si un error en el disseny del ventilador en un determinat model d'ordinadors fa que la probabilitat de superar el nivell de 40 dB sigui de 0´35, calcula la probabilitat que de 10.000 ventiladors venuts d'aquest model n'hi hagi, 0 0 al (^) 1 Fmenys, 3580 que funcionin amb un soroll superior als 40 dB.
- Tenim un dau i sis monedes, tots els objectes estan perfectament equilibrats. 0 0 Llan (^) 0 01 Fcem el dau i, seguidament, llancem un nombre de monedes igual a la pun (^) 1 Ftuació que hem obtingut del dau.
a) Calcula la probabilitat que entre les monedes que hem llançat observem exactament 4 cares.
b) Si sabem que han sortit exactament 4 cares, calcula la probabilitat que la puntuació del dau hagi estat un 5.
- El temps de funcionament d'un cert tipus de ventilador en un sistema de 0 0 refrigera 0 0 (^) 1 Fció és una variable aleatòria X que segueix una distribució exponencial, la mit (^) 1 Fjana d'avaries és de 1 cada 6 anys.
a) Calcula la probabilitat que un d'aquests ventiladors funcioni més de 9 anys.
b) Calcula la probabilitat que de 130 ventiladors d'un gran sistema de 0 0 refrige (^) 1 Fració n'hi hagi almenys 40 d'ells que hagin funcionat més de 9 anys sense avaries.
Curs 05 - 06
- La mitjana d'accidents laborals en una de les grans empreses del sector del metall és de 0´02 per dia.
a) Calcula la probabilitat que es produeixin exactament 3 accidents en aquesta empresa en un període de 365 dies.
b) Si durant un període de 365 dies no s'ha produït cap accident laboral a 0 0 l'em (^) 1 Fpresa, calcula la probabilitat que en els 10 dies següents a aquest 0 0 perí (^) 1 Fode es produeixi, almenys, un accident.
La probabilitat que un treballador del sector del transport pateixi un accident 0 0 la (^) 1 Fboral d'un cert grau d'importància, grau A3, al llarg de la seva vida professional és. Calcula la probabilitat que almenys 650 treballadors dels 5000 que té una 0 0 em (^) 1 Fpresa de transports tingui un accident laboral de grau A3 al llarg de la seva 0 0 vida profes (^) 1 Fsional.
Una avioneta miniatura autònoma està programada per volar a determinat lloc, utilitzar els sensors per a recollir informació i tornar. En el 80% dels vols,
c) Calcula la probabilitat que hi hagi almenys 400 cilindres defectuosos en una remesa de 940.
Curs 03 - 04
- La fracció d'aspirines defectuoses verificades en una màquina és de 0´01.
a) Si les pastilles es posen en tubs de 20, ¿quina és la probabilitat que un tub 0 0 tin (^) 1 Fgui 3 pastilles defectuoses.
b) Si els tubs es posen en caixes de 1000 unitats, ¿quina és la probabilitat que una caixa contingui menys de 800 tubs sense cap pastilla defectuosa?
- Un cotxe de competició efectua una mitjana de 10 voltes senceres a un circuit per cada 20 minuts de cursa (no es té en compte la fracció de volta).
a) Calcula la probabilitat que en 5 minuts de cursa el cotxe faci, almenys, 3 0 0 vol (^) 1 Ftes senceres.
b) Si es considera "volta ràpida" la que s'efectua en un temps inferior a 1 0 0 mi (^) 1 Fnut i 45 segons, calcula la probabilitat que el cotxe faci una "volta ràpida".
- Una empresa envasa un cert producte en paquets. El pes d'aquests paquets 0 0 se (^) 1 Fgueix una distribució 0 0 normal de mitjana 1 Kg i desviació 50 gr. Un mecanisme de con (^) 1 Ftrol retira automàticament tots els paquets que pesen menys 0 0 de 900 gr i els que pe (^) 1 Fsen més de 1100 gr. La resta de la producció es posa a la venda.
a) ¿Quin percentatge de paquets són retirats pel mecanisme de control?
b) Si un paquet passa el control, ¿quina és la probabilitat que tingui un pes 0 0 1 F
0 0 su pe (^) 1 Frior a 1050 gr?
Curs 02 - 03
- Dos jugadors, A i B, realitzen el següent joc: el jugador A treu, amb reposició, 500 vegades una bola d'una capsa que conté 18 boles blanques i 2 negres. El jugador B treu, sense reposició, 100 boles d'una caixa que conté 490 boles blanques i 510 boles negres. El guanyador del joc és el jugador que hagi tret més boles negres. Calcula quin jugador té més expectatives de guanyar.
[Per fer aquest problema has de comparar les esperances de dues variables aleatòries]
- A un nen li falta un cromo dels que surten en uns pastissets per completar un 0 0 àl (^) 1 Fbum de 40 cromos. Si suposem que tots els cromos de la col·lecció tenen la 0 0 1 F
0 0 ma teixa pro (^) 1 Fbabilitat de sortir, calcula la probabilitat que pugui completar la 0 0 col·lecció al com (^) 1 Fprar el cinquè pastisset.
- Dos jugadors, A i B, realitzen el següent joc: el jugador A treu, amb reposició, 10 vegades una bola d'una capsa que conté 9 boles blanques i 1 negra. Aquest jugador paga 20 € al jugador B per cada bola negra que li surt. Llavors el jugador B treu, sense reposició, 100 boles d'una caixa que conté 800 boles blanques i 200 0 0 boles ne 0 0 (^) 1 Fgres i paga 1 € al jugador A per cada bola negra que li surt. Calcula quin juga (^) 1 Fdor té més expectatives de guany.
[Per fer aquest problema has de comparar les esperances de dues variables aleatòries que comp 0 0 1 Ften el guany de cada joc]
A un nen li falta un cromo dels que surten en uns pastissets per completar un 0 0 àl (^) 1 Fbum de 40 cromos. Si suposem que la probabilitat que aquest cromo surti en un pastisset qualsevol és 0´01, calcula la probabilitat que al comprar 6 pastissets li surti aquest cromo exactament dues vegades.
L'edat dels lectors dels llibres d'una col·lecció infantil-juvenil té una distribució normal amb mitjana 12´2 anys i desviació típica 2´5 anys. Determina l'edat més gran del 10% de lectors més joves.
Entre les 2 i les 4 de la tarda la mitjana de trucades que es reben en un telèfon 0 0 d'a (^) 1 Ftenció ciutadana és de 2´5 per minut. a) Calcula la probabilitat que en un determinat minut hi hagi més de 4 0 0 truca (^) 1 Fdes. b) Calcula la probabilitat que, a partir d'un cert instant, el temps sense rebre cap trucada sigui, al menys, de 45 segons.
El procés de fabricació de claus electròniques requereix molta precisió i això fa que el 10% de les claus fabricades no siguin útils. Troba la probabilitat que com a 0 0 mà (^) 1 Fxim 350 d'aquestes claus siguin defectuoses d'un total de 4000.
El nombre d'errades per pàgina provocades per un procés d'impressió digital 0 0 se (^) 1 Fgueix una llei de Poisson de mitjana 0´1. Una enciclopèdia ha estat impresa per aquest sistema. a) Calcula la probabilitat que una pàgina de l'enciclopèdia escollida a l'atzar 0 0 con (^) 1 Ftingui (^) 0 0almenys un error (dóna el resultat arrodonint a les deumil·lèsi (^) 1 Fmes). b) Un corrector examina 10.000 pàgines de l'enciclopèdia escollides a l'atzar. 0 0 Cal (^) 1 Fcula la probabilitat que el número de pàgines en que no hi ha cap errada es trobi entre 9.000 i 9.100 ambdós inclosos.
- Un ordinador s'espatlla una mitjana de 4 vegades a l'any. Sigui X la variable 0 0 1 F
0 0 alea tò (^) 1 Fria que compta el número de vegades que aquest ordinador s'espatlla en 0 0 un any. Es 0 0 (^) 1 Fcriu tots els valors que pot prendre aquesta variable i indica el tipus de distribu (^) 1 Fció que segueix.
En una granja hi ha 700 vaques de les quals 2 tenen la malaltia de les vaques 0 0 bo (^) 1 Fges. Sigui X la variable aleatòria que compta el número de vaques amb aquesta malaltia que hi ha si agafem una mostra de 13 vaques d'aquesta granja. Escriu tots els valors que pot prendre aquesta variable i indica el tipus de 0 0 distribució que se (^) 1 Fgueix.
Una ruleta està dividida en 15 parts iguals; en les tres primeres hi ha escrit un 3, en les dues següents hi ha escrit un 2, en les quatre següents hi ha escrit un 1 i, en les que queden, hi ha escrit un 0. Girem 27 vegades aquesta ruleta. Sigui X la 0 0 va (^) 1 Friable aleatòria que compta el número de zeros, de uns, de dosos i de tresos que ens han sortit. Escriu tots els valors que pot prendre aquesta variable i indica 0 0 el ti (^) 1 Fpus de distribució que segueix.
Un joc consisteix en tirar una moneda 5 vegades. Si surten tres cares i dues creus o tres creus i dues cares però en ambdós casos en forma alternativa, aleshores 0 0 gua (^) 1 Fnyem el joc; en cas contrari el perdem. Sigui X la variable aleatòria que compta el número de vegades que tirem les cinc monedes fins que guanyem. Escriu tots els valors que pot prendre aquesta variable i indica el tipus de distribució que segueix.
En una caixa hi ha 25 bombetes de 25w, 25 bombetes de 40w, 25 bombetes de 60 w i 25 bombetes de 100 w. Es treu a l'atzar una bombeta de la caixa. Sigui X la 0 0 varia (^) 1 Fble aleatòria que ens indica la potència de la bombeta treta. Escriu tots els valors que pot prendre aquesta variable i indica el tipus de distribució que segueix.
a) Sigui F una variable aleatòria que té distribució F de Fisher amb 7 i 13. Troba el punt x tal que 0´005.
b) Sigui F una variable aleatòria que té distribució F de Fisher amb 9 i 22. Troba el punt x tal que 0´01.
c) Sigui F una variable aleatòria que té distribució F de Fisher amb 30 i 20. Troba el punt x tal que 0´05.
d) Sigui F una variable aleatòria que té distribució F de Fisher amb 20 i 30. Troba el punt x tal que 0´05.
- Sigui X una variable aleatòria que segueix una distribució Ji-quadrat. Troba:
a) (si ν = 9)
b) (si ν = 2) c) (si ν = 3)
- Sigui X una variable aleatòria que segueix una distribució t de Student. Troba:
a) (si ν = 15)
b) (si ν = 5)
c) (si ν = 7)
Sigui X una variable aleatòria que té distribució t de Student amb ν = 12 graus de llibertat. a) Troba el punt x tal que. b) Troba la probabilitat.
Sigui X una variable aleatòria que té distribució amb ν = 12 graus de llibertat.
a) Troba el punt x tal que. b) Troba la probabilitat.
- a) Un fabricant d'estufes rep els termòstats d'un proveïdor en lots de 2. 0 0 uni (^) 1 Ftats. El 5% dels termòstats subministrats pel proveïdor no satisfan les 0 0 1 F
0 0 1 F
0 0 especi ficacions tèc ni (^) 1 Fques. Calcula la probabilitat que un lot contingui més de 120 termòstats defectuosos.
b) L'empresa no cobra els lots que contenen més de 120 termòstats 0 0 defectuo (^) 1 Fsos. Calcula quin número de lots ha de preveure l'empresa que no 0 0 cobrarà d'una re (^) 1 Fmesa de 100 lots.
c) Se sap que els termòstats defectuosos fallen una mitjana d'una vegada cada hora de funcionament. Per això abans de posar el termòstat en una estufa es 0 0 té 2 ho (^) 1 Fres en funcionament i es posa en el cas que no hagi fallat cap vegada (és clar que, aleshores, es considera que el termòstat és bo encara que sigui 0 0 defectuós) Cal (^) 1 Fcula la probabilitat d'instal·lar un termòstat defectuós com si 0 0 fos bo amb aquest sis (^) 1 Ftema de selecció.
- Per un punt d'una autopista passen una mitjana de 6 cotxes per minut.
a) Calcula la probabilitat que des de l'instant en que passa un cotxe fins que passa el cotxe següent transcorrin més de 20 segons. b) Cada dia a les 9 del matí es transfereixen les dades recollides durant les 24 0 0 ho (^) 1 Fres anteriors a l'ordinador central; aquest procés dura 20 segons. Si 0 0 durant la trans 0 0 (^) 1 Fferència de dades passa un cotxe es produeix un error en les dades transfe 0 0 (^) 1 Frides. Calcula la probabilitat que en un període de 100 dies es produ (^) 1 Feixin 90 ó més dies amb errors.
