MATEM `
ATIQUES
(Grau de Qu´ımica)
Curs 2017-2018
Nombres complexos
1. Siguin: z1= 2 −3i,z2=−1−4i,z3=1
3−i,z4=−3i.
Calculeu: a) z1·z2−z3·z4b) |¯z1−¯z2
2|c) z2
z4−¯z3.
2. Expresseu aquests nombres en forma polar:
2i , 1 + i√3,−3,√3−i , 1+2i.
3. a) Calculeu (1 −i)23 i (√2−√2i)17.
b) Expresseu en la forma x+iy, on xiys´on reals
(1 + i)24,(√3−i)17, i2007 .
4. Calculeu totes les solucions de les seg¨uents equacions:
a) z2=ib) z4=−1c) z3= 1 + i√3
d) z2+z=−1e) z6=−1 + if) z4+z2+ 1 = 0
5. Trobeu les solucions de
(a) z3= 1 + √3
(b) z2−2(1 + i)z+ 2i= 0
(c) z3+ (i−1)z2+ (1 −i)z−1 = 0.
Indicaci´o: En el tercer apartat, una de les arrels ´es natural.
6. Factoritzeu a C[z] els seg¨uents polinomis:
(a) z4+ 16
(b) z3+ 27
(c) z4−1
(d) z3+ (i−1)z2+ (1 −i)z−1
i descomponeu en producte de polinomis irreductibles a coeficients reals en els casos
que sigui possible.
7. Expresseu els seg¨uents nombres complexos en la forma a+bi:
eiπ, e2−iπ /3.
8. Calculeu totes les solucions de les seg¨uents equacions:
a) ez= 1 b) e2z= 4 c) e3z−1=i
9. (a) Calculeu el nombre complex z:= 1+i
3eiπ
3en forma cartesiana. Calculeu la part real
del nombre complex z2014.
(b) Trobeu les arrels complexes de 2x4+ 8.
(c) Factoritzeu als nombres reals el polinomi 2x4+ 8.