Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Àlgebra, Profesor: Mònica Sánchez, Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UPC
Tipo: Ejercicios
1 / 81
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
2 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
Origen del recull d’enunciats. Els enunciats de problemes tenen diversos or´ıgens. Uns s’han extret o s’han adap- tat dels llibres que s’indiquen, dels autors ANTON i ROSEN, d’altres provenen dels enunciats d’examen de l’assignatura al llarg dels quadrimestres i, finalment, d’altres s´on aportacions pr`opies dels diversos autors d’aquesta publicaci´o. ANTON, H.: Introducci´on al ´algebra lineal. Limusa-Wiley, 2004. ROSEN, K.H.: Matem´atica discreta y sus aplicaciones. McGrawHill, 2004.
4 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
1 (?) Demostreu que per a tot n natural es compleix:
1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1) 2 d’acord amb la idea seg¨uent: escriviu S = 1 + 2 + 3 + · · · + n, despr´es en ordre contrari i sumeu. Escriviu la f´ormula anterior en termes de sumatori.
2 (?) Sigui x nombre real, x 6 = 1. Proveu que
1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xn^ =
1 − xn+ 1 − x d’acord amb la idea seg¨uent: escriviu S = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xn^ i seguidament S − xS. Escriviu la f´ormula anterior en termes de sumatori.
3 (?) Expresseu amb notaci´o de sumatori les f´ormules seg¨uents, indicant quina ´es la forma del terme general (a l’esquerra) :
a) 1 + 2 + 2^2 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1, n ≥ 0;
b) 2 − 2 · 5 + 2 · 52 − 2 · 53 + · · · + 2 · (−5)n−^1 = (1 − (−5)n) /3, n ≥ 1.
4 (?) Reescriviu les f´ormules seg¨uents amb notaci´o de sumatori o productori:
a) 1 +
n^2
n
, n > 1;
Enunciats de problemes 2007-2008 Q1 Matem`atica Aplicada 2 FIB-UPC 7
e) la successi´o tal que els dos primers termes s´on 1 i 2, i els termes successius s’obtenen a partir de la suma dels dos termes anteriors a ell;
9 (?) Quin ´es el valor de les sumes seg¨uents?
a)
∑^ n
k=
(k + 1);
b)
∑^ n
i=
c)
∑^ n
j=
(−2)j^ ;
d)
∑^ n
k=
(2k+1^ − 2 k).
e)
∑^ n
j=
3 · 2 j^ ;
f )
∑^ n
j=
2 j^ ;
g)
∑^ n
j=
(−3)j^ ;
h)
∑^ n
j=
2 · (−3)j^ ;
i)
∑^ n
j=
(1 + (−1)j^ );
j)
∑^ n
j=
(3j^ − 2 j^ );
k)
∑^ r
j=
∑^ s
i=
(j + i);
l)
∑^ r
j=
∑^ s
i=
ij;
m)
∑^ n
j=
∑^ n
i=
(ij + 1);
n)
∑^ n
j=
∑^ n
i=j
ij;
o)
∑^ n
j=
(1 + (−1)j^ ).
10 Quin ´es el valor de les sumes seg¨uents, si S = { 1 , 3 , 5 , 7 }?
a)
j∈S
j; b)
j∈S
(1/j); c)
j∈S
j^2 ; d)
j∈S
11 (?) Digues quines de les expressions seg¨uents s´on correctes i quines no.
a)
n=1(4n)
n=1 4 n
b)
n=1(4n)
n=1 12 n
c)
∑n j=1(j
n j=1 j
3
d)
∑n j=1(j
n j=1 j
3
e)
∑n j=2(4j
(^3) + 1) = ∑^4 n j=8 j
f )
∑n j=1(4j)
(^3) = ∑n j=1 4
(^3) + ∑n j=1 j
12 D´ona el valor dels productes seg¨uents.
8 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
a)
j=
j;
b)
j=
(−1)j^ ;
c)
i=
i;
d)
j=
e)
∏^ m
i=
∏^ n
j=
ij^.
13 Calcula
k=
k! i
k=
k!.
10 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
18 (?) Siguin p i q les proposicions “Avui ´es un dia humit” i “Avui esta plovent”, respectivament. Escriviu les proposicions seg¨uents usant p i q i connectius logics.
a) Avui hi ha humitat i est`a plovent.
b) Avui ´es un dia humit per`o no plou.
c) Avui no hi ha humitat i no plou.
d) O b´e est`a plovent, o b´e ´es un dia humit (o totes dues coses).
e) Si avui est`a plovent, avui ´es un dia humit.
f ) No ´es un dia humit, llavors no est`a plovent.
g) Que plogui ´es necessari i suficient per tenir un dia humit.
19 Siguin p i q proposicions.
a) Constru¨ıu les taules de veritat de les proposicions p ⇒ q i ¬p ∨ q
b) Demostreu que s´on proposicions equivalents.
c) Dedu¨ıu la negaci´o de p ⇒ q.
d) Aplicaci´o: Trobeu la negaci´o de la proposici´o: si xy = 0, llavors x = 0 o y = 0.
20 Siguin p i q proposicions tals que p ∨ q i p ⇒ q s´on proposicions certes.
a) Podem afirmar que p ´es certa?
b) Podem afirmar que q ´es certa?
21 Siguin p i q proposicions, i sigui r la proposici´o p ⇒ q. Suposem que r ⇒ p ´es certa.
a) Podem afirmar que p ´es certa?
b) Podem afirmar que q ´es certa?
22 Siguin p i q proposicions, i sigui r la proposici´o p ⇒ q. Suposem que r ⇔ p ´es certa.
Enunciats de problemes 2007-2008 Q1 Matem`atica Aplicada 2 FIB-UPC 11
a) Podem afirmar que p ´es certa?
b) Podem afirmar que q ´es certa?
23 (?) Sigui P (x) el predicat “x sap conduir”, essent l’univers els estudiants de l’aula. Escriviu cadascun dels quantificadors seg¨uents en llenguatge ordinari.
a) ∃xP (x)
b) ∀xP (x)
c) ¬∃xP (x)
d) ∀x¬P (x)
e) ∃x¬P (x)
f ) ¬∀xP (x)
24 Siguin els predicats A(x) = “x ´es un artista” i D(x) = “x ´es un bon dibuixant”. Escriviu cadascuna de les formalitzacions seg¨uents en llenguatge ordinari.
a) ∃x(D(x) ⇒ A(x))
b) ∀x(D(x) ⇒ A(x))
c) ∃x(D(x) ∧ A(x))
d) ∀x(D(x) ∧ A(x))
25 (?) Sigui C(x) el predicat “x sap conduir cotxes” i sigui B(x) el predicat “x sap conduir motos”, essent l’univers els estudiants de l’aula. Formalitzeu les frases seg¨uents
a) Alguns estudiants a la teva aula saben conduir cotxes i motos.
b) Tots els estudiants de la teva aula saben conduir cotxes i motos.
c) Hi ha estudiants que saben conduir cotxes per`o no motos.
d) Cap estudiant de l’aula sap conduir cotxes i motos.
26 (?) Sigui P (x) el predicat “3x + 2 ≥ 2 x”. Si x representa un nombre enter, quines de les proposicions seg¨uents s´on certes?
a) P (1)
b) P (−2)
c) ∃xP (x)
d) ∀xP (x)
e) ∃x¬P (x)
f ) ∀x¬P (x)
27 Negeu
a) ∀x(P (x) ⇒ Q(x))
29 (?) Proveu que el quadrat d’un nombre parell ´es parell usant
a) una prova directa; b) el contrarrec´ıproc.
30 (?) Proveu que:
a) la suma de dos nombres senars ´es un nombre parell;
b) el producte de dos nombres parells ´es un nombre parell;
c) el producte de dos nombres senars ´es un nombre senar;
d) el producte d’un nombre senar per un de parell ´es un nombre parell;
e) la suma de dos nombres racionals ´es un nombre racional;
f ) el producte de dos nombres racionals ´es un nombre racional;
g) la suma d’un nombre irracional i un nombre racional ´es un nombre irracio- nal, usant la reducci´o a l’absurd.
31 Prova que si n ´es un enter i n^5 + 3 ´es senar, llavors n ´es un nombre parell usant
a) una prova directa; b) la reducci´o a l’absurd.
32 Digueu si s´on certes o falses les proposicions seg¨uents. Si s´on certes doneu-ne una demostraci´o i si s´on falses un contraexemple.
14 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
a) per tot enter n, n^3 + 5n + 232 ´es un nombre parell;
b) per tot enter n, 2n^2 + 5 ´es un nombre primer.
33 Demostreu que
a) log 2 3 ´es un nombre irracional;
b) (?) 3
3 ´es un nombre irracional;
c) si n no ´es el quadrat d’un enter, llavors
n ´es un nombre irracional.
34 Usant la demostraci´o per casos, proveu que
a) (?) el quadrat d’un enter no divisible per 5 t´e per residu 1 o 4 quan ´es divideix per 5;
b) si x i y s´on nombres reals, llavors |x| + |y| ≥ |x + y|;
c) bn/ 2 c + dn/ 2 e = n, per a tot enter n.
35 Prova que si n ´es un enter positiu tal que la suma dels seus divisors positius ´es n + 1, llavors n ´es un nombre primer. Quin tipus de demostraci´o has usat?
36 Digueu si s´on correctes o falses cadascuna de les proposicions seg¨uents:
a) dbxce = bxc per a tot nombre real x;
b) b 2 xc = 2bxc per a qualsevol nombre real x;
c) dxe + dye − dx + ye = 0 o 1 per a qualssevol x i y nombres reals;
d) dxye = dxedye per a tots els x i y nombres reals;
e) dx/ 2 e = b(x + 1)/ 2 c per a tot x nombre real.
37 (?) Demostreu que si n ´es un enter, les quatre proposicions seg¨uents s´on equiva- lents:
16 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
h) 1+ 12 + 13 + 14 +· · ·+ (^21) n ≤ 1+n, n ≥ 0.
42 Per a quins enters n no negatius s´on certes les expressions seg¨uents? Proveu la vostra resposta usant el principi d’inducci´o matem`atica.
a) n^2 ≤ n! b) 2 n + 3 < 2 n
43 Demostreu per inducci´o:
12 + 2^2 + · · · + (n − 1)^2 <
n^3 3
< 12 + 2^2 + · · · + n^2 , n ≥ 1
44 (?) Demostra per inducci´o les f´ormules seg¨uents:
a) 1 + r + r^2 + · · · + rn−^1 = (rn^ − 1)/(r − 1), n ≥ 1;
b) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + (n − 1)(n − 1)! = n! − 1, n ≥ 2;
c) 1 + 2 + · · · + (n − 1) + n = n(n + 1)/2, n ≥ 1;
d) 12 + 2^2 + · · · + (n − 1)^2 + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6, n ≥ 1;
e) 12 − 22 + 3^2 − · · · + (−1)n−^1 n^2 = (−1)n−^1 n(n + 1)/2, n ≥ 1;
f ) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3, n > 0;
g)
1 − x
= 1 + x + x^2 + · · · + xn−^1 +
xn 1 − x
, n ≥ 1;
h)
∏^ n
k=
k
n
, n > 1;
i)
∑^ n
k=
k 2 k^ = (n − 1)2n+1^ + 2, n ≥ 1.
45 (?) Prova per inducci´o que
a) 3 divideix a n^3 + 2n per a tot n no negatiu;
b) 6 divideix a n^3 − n, per a tot n ≥ 0;
Enunciats de problemes 2007-2008 Q1 Matem`atica Aplicada 2 FIB-UPC 17
c) 8 divideix n^2 − 1, per a tot n ≥ 1 senar.
46 [?] Considereu la successi´o recurrent u 0 = 0, u 1 = 1, un = 5un− 1 − 6 un− 2 si n ≥ 2. Proveu que un = 3n^ − 2 n, per a tot n ≥ 0.
47 Demostreu per inducci´o que els termes de la successi´o de Fibonacci (F 1 = F 2 = 1, Fn = Fn− 1 + Fn− 2 si n ≥ 3) venen donats per la f´ormula seg¨uent:
Fn =
1+ √ 5 2
)n −
1 − √ 5 2
)n
√ 5
, n ≥ 1.
48 (?) (Examen del 14-06-06). Demostreu per inducci´o que per a n ∈ N, n > 0, es compleix:
∑^ n
k=
k(k + 1) =
n(n + 1)(n + 2) 3
49 (Examen del 14-11-05). Sigui n nombre natural positiu (n ≥ 1). Demostreu per inducci´o ∑n
k=
k 3 k^ =
(3n(2n − 1) + 1), n ≥ 1
50 (Examen del 17-01-05). Sigui n un nombre natural, n ≥ 1.
a) Demostreu que
∑n k=1 k^ =^
n(n+1)
b) Apliqueu la f´ormula anterior per a obtenir
∑n k=1(2k).
c) Apliqueu els apartats anteriors per a obtenir
∑n k=0(2k^ + 1).
d) Apliqueu els apartats anteriors per a obtenir
∑r i=
∑s j=1 ij.
51 (?) (Examen del 14-11-04). Demostreu per inducci´o que es compleix 3|(2^2 n^ − 1), per a n ≥ 0, n natural.
52 (?) (Examen del 27-4-05). Si n ≥ 1 ´es un nombre natural,
Enunciats de problemes 2007-2008 Q1 Matem`atica Aplicada 2 FIB-UPC 19
a) per inducci´o
b) sense utilitzar el m`etode d’inducci´o
Expliciteu detalladament tots els passos.
20 Algebra 2007-2008 Q1 FIB-UPC`
