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PROCESOS ESTOCÁSTICOS
¿Para qué?
Para conocer el desarrollo futuro de procesos que se desarrollan a lo largo del tiempo, para predecir el comportamiento de fenómenos físicos, económicos, atmosféricos. Para conocer la evolución de los que en estadística se conocen como sucesos raros.
Teodoro
Rodriguez
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Procesos Estocásticos
Introducción:
Siempre que estudiamos el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del tiempo, estamos ante un proceso estocástico.
En general, trabajamos con procesos estocásticos en cualquier caso en que intentamos ajustar un modelo teórico que nos permita hacer predicciones sobre el comportamiento futuro de un proceso.
Un ejemplo particularmente importante lo proporcionan las denominadas "Series de Tiempo" o "Series Temporales", que registran observaciones de determinado proceso en función del tiempo. Podemos definir, pues, un proceso estocástico como una
familia { de variables aleatorias, clasificadas mediante un parámetro t,
que varía en un conjunto T.
X ( t ), t ∈ T }
Cada una de las variables aleatorias X(t) puede depender explícitamente del tiempo t o no; en este segundo caso, el proceso estocástico se denomina ESTACIONARIO. Si el estado en que se encuentra un proceso estocástico depende sólo del estado anterior, pero no de los anteriores a éste, estaremos ante un proceso de Markov. Cuando t toma valores discretos, diremos que el proceso estocástico es de parámetro discreto y cuando toma valores continuos, diremos que el proceso estocástico es de parámetro continuo.
Proceso de Poisson
Sea un sistema en el que se observa el número de veces que ocurre el suceso A, que se repite de forma aleatoria e independientemente del tiempo. Denominaremos N(t) a la variable aleatoria que indica el número de veces que el suceso A, se repite en un intervalo arbitrario de tiempo t. -Diremos que el proceso está en un estado En en el instante t>0, si el suceso A ha ocurrido exactamente n veces en el tiempo t.
-Denotaremos como Pn ( t ) = P [ N ( t )= n ]a la probabilidad de que el suceso A
ocurra n veces en el tiempo t. -Es decir, Pn(t) describe la probabilidad de que el sistema, en el estado Ej en el momento h, evolucione hacia el estado Ej+n en el instante h+t.
-Lo que pretendemos es obtener la función de densidad de la variable ξ=τ.
f ( τ ) d τ= P [ τ < ξ< τ+ d τ] = P 0 ( τ). P 1 ( d τ)
luego
λ τ λτ f τ d τ e^ λτ^. d 0!
( ) ( )
0 = −
por lo que la función de densidad, quedará como:
f (τ ) = λ e −^ λτ
-La variable τ , que es una variable continua, tendrá como esperanza matemática
τ τ λ λτ^ τ 0
E ( ) e d
que integrando por partes, ofrece el resultado:
λ
τ
E ( )=
que denominamos tiempo medio de espera en el Proceso de Poisson.
SIMÉON-DENIS POISSON
Se ocupó de la teoría de la probabilidad y el análisis complejo. Aplicó las matemáticas al electromagnetismo. La ley de Poisson relaciona las presiones y los volúmenes en la compresión adiabática. Nació en 1781 en Pithiviers. Inicialmente su formación se orientó hacia la cirugía, pero Poisson se dio cuenta de que no poseía condiciones para esta profesión que, por otro lado, tampoco le gustaba demasiado. Estudió en la École Polytechnique de París, donde uno de sus profesores, Lagrange, se da cuenta de la enorme creatividad matemática que el joven estudiante posee. En 1800 entra a formar parte del equipo docente de la École.
Su contribución al estudio de la teoría de probabilidades se fundamenta en los resultados de Laplace. En 1838, desarrolló una fórmula para calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la práctica. A partir de esta fórmula obtuvo una distribución que lleva su nombre, y que, como más tarde se demostraría, es un caso especial de la distribución binomial o distribución de Bernoulli. Poisson estudió también el área de las matemáticas puras, siendo significativo su estudio de lo que en la actualidad se conoce como integración de contornos. Fue el primer matemático que interpretó funciones complejas a lo largo de contornos en el plano complejo. Con sus trabajos en esta materia contribuyó, en gran medida, al desarrollo del análisis complejo.
Además, Poisson es célebre por sus estudios en el campo de la física matemática, donde formuló una ley, conocida como relación o ley de Poisson, sobre la teoría del calor y la elasticidad. En 1812, Poisson y George Green extendieron la teoría matemática de la gravitación a la electricidad y al magnetismo, y finalizaron también una ecuación diferencial de Laplace, convirtiendo así la electrostática en una ciencia moderna. Además, por el consejo de Laplace, Poisson utilizó los resultados que había obtenido para demostrar la fórmula de la fuerza en la superficie de un conductor cargado. De esta forma, consiguió solucionar el problema de la distribución de la carga en dos conductores esféricos separados por una distancia conocida. Fue el primer científico que resolvió esta cuestión. Más tarde, los estudios de Coulomb darían la misma solución que había obtenido Poisson.
CADENAS DE MARKOV
¿Para qué?
Para conocer el desarrollo de procesos y procedimientos que tienen lugar siguiendo una programación probabilística.
Cadenas de Markov
Situación característica
Supongamos que durante los cinco días laborables de la semana, una persona reparte su tiempo libre entre dos ocupaciones; bien sale a pescar, bien trabaja en el jardín. Nunca pasea dos días seguidos pero si un día trabaja en el jardín, es igualmente probable que realice cualquiera de las dos ocupaciones al día siguiente.
-Como observamos, se trata de una situación en la que el resultado de la prueba, la ocupación del tiempo libre de un determinado día, depende exclusivamente de la tarea del día anterior.
Definiciones
Proceso estocástico. Es aquel que consiste en la iteración finita de un experimento, que tiene como resultado un número finito de sucesos con probabilidades dadas.
Espacio de estados. Es el conjunto de resultados o sucesos posibles de cada uno de los experimentos asociados a un proceso estocástico.
Cadena finita de Markov
Es un experimento estocástico como el del ejemplo o situación característica, en el que se verifica que el resultado de determinada prueba o experimento, depende como mucho de la prueba anterior, pero en ningún caso de las anteriores a ésta.
Para cada cadena de Markov tendremos:
a) Un espacio de estados b) Para cada dos estados ai y aj , la denominada probabilidad de transición del estado i al estado j, que denotaremos como pij y que designa la probabilidad de que el estado j suceda al i. c) La matriz de transición del proceso, donde se ordenan todas las probabilidades de transición
Probabilidad de transición en k pasos
La probabilidad de que un proceso pase del estado i al estado j en k pasos, se
denomina probabilidad de transición en k pasos. La representamos por p (^) ik , j.
-Las probabilidades de transición en k pasos, pueden ser ordenadas en la denominada matriz de transición en k pasos.
k nn
k n
k n
k n
k k
k
p p p
p p p
P
.
1 2
11 12 1 ()
Teorema: Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov, entonces, la matriz de transición en k pasos, es la k-ésima potencia de P.
P ( k^ )= P^ k
Probabilidades totales La probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado ai después de realizar k experimentos, recibe el nombre de probabilidad total o absoluta. Denotamos dicha
probabilidad como Pi ( k ).
-A cada prueba k, le corresponde un vector estocástico, formado por todas las probabilidades totales de esa prueba. P (^ k^ )=( P 1 ( k ), P 2 ( k ),......, Pn ( k )) que recibe el nombre de "Distribución de probabilidades del paso k".
Teorema: Sea una cadena de Markov con matriz de transición P. Dado el vector de probabilidad inicial
P (^0 )=( p 1 (^0 ),..... p n (^0 ))
tenemos que
pk^ pk P p P^ k
p p P p P
p p P
() ( 1 ) ( 0 )
( 2 ) ( 1 ) ( 0 )
( 1 ) ( 0 )
−
Cadenas de Markov regulares
Consideremos las siguientes cadenas de Markov por sus matrices de transición:
A
B
ambas corresponden a procesos de Markov de dos estados. teniendo en cuenta el significado de pij ∀ i,j , podemos representar los siguientes "Diagramas de transición"
A) B)
1/2 2/ 1/2 a 1 a 2 0 1/3 b 1 b 2 1 1 0
En el diagrama A, es posible recorrer, aunque con probabilidades diferentes, un "ciclo" entre los dos estados, a 1 y a 2. En el diagrama B, por el contrario, si la transición se efectúa de b 1 a b2, el proceso queda bloqueado, repitiendo indefinidamente éste último estado, ya que la probabilidad de transición del mismo al anterior, es cero. b 2 en este caso, se denomina "estado absorbente".
Si analizamos un proceso de Markov de tres estados, tendremos:
C
D
Matrices a las que corresponden los diagramas siguientes:
c) ¾ d) 1 0 a 1 a 2 0 0 b 1 b 2 0 1/5 0
¼ ¾ ¼ 4/5 1 0 0 1
0 a 3 0 b 3
Por lo tanto, las probabilidades absolutas de que ocurra un determinado estado, son independientes de las condiciones iniciales del sistema. -La distribución de probabilidad que define el vector fijo, se denomina Distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de Markov.
Cadenas absorbentes
Consideremos la cadena de Markov que tiene como matriz de transición la siguiente:
0 2 / 5 3 / 5
0 1 0
2 / 3 0 1 / 3 P
Su diagrama de transición será:
2/3 a 1 a 2 1
a 3 3/
-Los estados a 1 y a 3 , pueden sucederse a si mismos, y además, es posible alcanzar al menos uno de los restantes desde ellos. Sin embargo, si el proceso está en el estado a 2 ,permanecerá indefinidamente en dicho estado, ya que las probabilidades de transición a cualquier otro, son nulas. Los estados 1 y 3 se denominan transitorios, mientras que el estado 2, se denomina absorbente.
-Una cadena de Markov que consta solamente de estados transitorios y absorbentes, se denomina cadena de Markov absorbente.
-Si una cadena de Markov contiene algún estado absorbente, la fila correspondiente de la matriz de transición, constará de un 1 en la diagonal, siendo 0 el resto de los elementos de la misma. Será por lo tanto una matriz no regular.
Para estudiar las cadenas de Markov absorbentes, es necesario reordenar la matriz de transición de forma canónica, de manera que los estados absorbentes aparezcan en primer lugar. Generalizando, si la matriz (cadena) contiene p estados transitorios y q estados absorbentes, la matriz reordenada, presentará el aspecto siguiente:
Q P
I O
Donde: I= Matriz unidad de dimensión q O=Matriz nula de dimensión qxp Q=Matriz pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes P=Matriz pxp que contiene la probabilidad de paso de estados transitorios a transitorios
Se denomina matriz fundamental de la cadena o proceso de Markov al resultado de la operación: F = ( I − P ) −^1
es decir, la matriz inversa de la obtenida al restar de una matriz unidad de dimensiones nxn, la matriz P de probabilidades de paso de estados transitorios a transitorios.
Teorema: Consideremos las matrices P,Q,F ya definidas, se verifica:
- Si la cadena comienza en ai, transitorio, la probabilidad de que llegue a aj, absorbente, viene dada por el elemento ij de la matriz FQ.
- La suma de elementos de la fila i de F, nos proporciona la media del número de veces que la cadena se mueve por estados transitorios antes de caer en uno absorbente, cuando empieza por el estado ai.
- El elemento ij de F representa la media del número de veces que la cadena está en aj (transitorio), sabiendo que empezó en ai, antes de caer en un estado absorbente.
las probabilidades de que pase por cualquiera de los otros dos, son idénticas entre si. Escríbase la matriz de transición del proceso, y dibújese el diagrama de transición.
ANDREI ANDREYEVICH MARKOV
Nació en Ryazan (Rusia) el 14 de junio de 1856 y murió el 20 de julio de 1922 en Petrogrado (hoy San Petersburgo). En 1906 definió por primera vez las cadenas de Markov en un artículo sobre la ley de los grandes números. Las cadenas de Markov nacen de la teoría de probabilidad.
Markov nunca intentó aplicarlos a las ciencias sino que las aplicó en textos literarios, los dos estados posibles o el espacio muestral eran vocal o consonante. Hizo un estudio de la alternancia de vocales y consonantes en el libro del gran poeta ruso Pushkin titulado "Eugene Onegin".
Se graduó en la Universidad de San Petersburgo en 1878. Se inició en la docencia en esa misma universidad desde 1880 a 1905. Se retiró casi a los 50 años con el fin de dar paso a matemáticos más jóvenes. Después de 1900 aplicó el método de fracciones continuadas, del que fue pionero su profesor Pafnuty Chebyshev, a la teoría de Probabilidad.
Se interesó enormemente en Probabilidad, en Teoría de Números, Fracciones Continuas, Teoría de la aproximación, Series de Convergencia, Secuencia de variables mutuamente dependientes y límites de integrales. Fue un participante activo en el movimiento liberal ruso antes de la primera guerra mundial, criticó públicamente a las autoridades estatales y fue miembro de la Academia de Ciencias de su país.
Tuvo un hijo que nació el 9 de septiembre 1903, y quien fue también un reconocido matemático.
En 1923 Norbert Wiener fue el primero en tratar rigurosamente los Procesos de Markov Continuos. Y en 1930 Andrei Kolmogorov enuncia teorías importantes en los Procesos de Markov.
Series de tiempo
Descripción
Una serie temporal o cronológica es una serie de observaciones de un fenómeno que varía con respecto al tiempo. Existen varios fines que justifican el estudio de las series temporales -Predecir el futuro basándose en datos pasados -Conocimiento y control del proceso que produce la serie -Tener una descripción de las características más destacables de la correspondiente serie, etc...
Las magnitudes que se suelen estudiar en series temporales, se pueden dividir en dos grandes grupos -Magnitudes "stock" o nivel, aquellas que toman un valor determinado en un momento concreto. -Magnitudes "flujo", aquellas que representan el valor acumulado de una variable desde la observación anterior hasta la observación actual.
Análisis de series temporales. Componentes.
Para proceder a su estudio, consideraremos una serie de tiempo como resultante de las siguientes componentes:
- Tendencia: Entendemos como tal el movimiento suave o regular de la serie, observada durante un período de tiempo suficientemente largo. Mediante la tendencia, se mide la variación media de la variable por unidad de tiempo.
- Variaciones estacionales: Entendemos como tales los movimientos periódicos que se presentan con cierta regularidad, durante un período de observación de duración igual o inferior a 1 año.
- Variaciones cíclicas: Son aquellos movimientos recurrentes, ya sean ascendentes o descendentes, que a diferencia de los estacionales, se extienden a períodos de tiempo superiores a 1 año.
- Variaciones residuales: Son aquellos movimientos que no muestran un carácter periódico reconocible; los consideramos aleatorios o producidos por causas no previsibles y suponemos que son independientes entre sí, siendo su media 0.
Modelos para el análisis de series de tiempo
Están definidos por la forma de integrar las cuatro componentes definidas anteriormente. Esquema aditivo: Parte de la hipótesis de que el valor de la serie de tiempo, está compuesto por la adición de las cuatro componentes Y=T+E+C+R Esquema multiplicativo: Considera que el valor de la serie de tiempo, está compuesto por la multiplicación de las cuatro componentes. Y=T·E·C·R
El modelo aditivo debe usarse cuando la composición de tendencia y movimiento estacional, conduce a una variación de amplitud constante. El modelo multiplicativo se empleará cuando dicha composición conduzca a una variación creciente en el tiempo.
Identificación de la tendencia
El método multiplicativo es el más utilizado en el análisis descriptivo de series temporales y podemos afirmar que es el que mejores resultados da; de todas formas, para lograr la descomposición de la serie en 4 componentes, tendremos en primer lugar que aislar la tendencia en los valores observados. Para ello, trataremos de representarla mediante una curva suficientemente suave, lo que conseguiremos mediante: -Mínimos cuadrados -Tanteo (mano alzada) -Método de las medias móviles
Tendencia Mínimo-cuadrática Determinamos la tendencia general de los datos, ajustando a los mismos una curva de mínimos cuadrados.
Tendencia Lineal Elegimos representar la tendencia mediante una recta, de ecuación y=a+bt
