¡Descarga Productos notables teoría y ejercicios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
UNIDAD V
V.1 PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen
al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A
continuación se describen los más importantes.
V.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio.
El desarrollo del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término:
( ) ( )( )
(^2 ) a + b = a + b a + b = a + ab + ba + b = a + 2 ab + b
“ El cuadrado de un binomio a + bes igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de
los términos más el cuadrado del segundo término”.
Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a − b , también multiplicando término a término, se obtiene:
( ) ( )( )
(^2 ) a − b = a − b a − b = a − ab − ba + b = a − 2 ab + b
“ El cuadrado de un binomio a − bes igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto
de los términos más el cuadrado del segundo término”.
En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por
lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:
( ) [ ( )] ( )
(^2 ) a − b = a + − b = a + 2 a − b + b = a − 2 ab + b
Ejemplos.
- ( 4 ) 2 ( )( 4 ) 4 8 16
(^2 ) a + = a + a + = a + a +
- ( ) ( ) ( )( ) ( )
(^2 ) 2 x + 3 y = 2 x + 22 x 3 y + 3 y = 4 x + 12 xy + 9 y
- ( 5 ) 2 ( )( 5 ) 5 10 25
(^2 ) b − = b + b − + = b − b +
- ( ) ( ) ( )( ) ( )
(^2 ) 6 k − 8 m = 6 k + 26 k − 8 m + − 8 m = 36 k − 96 km + 64 m
- 2 2
2 2 2
a b a a b b = a + ab + b
^ +
^ +
^ =
( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 32 22 2 3 32 4 2 3 6 7 p − 9 q = 7 p + 27 p − 9 q + 9 q = 49 p − 126 pq + 81 q
( 2 5 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 5 ) 5 4 20 25
(^2 ) − k + = − k + − k + = k − k +
b
a
b
2 a ab
2 b
2 2 2 a + b = a + 2 ab + b
ab
a b
a
b
2 a ab
2 b
2 2 2 a + b = a + 2 ab + b
ab
a
- ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 2 42 4 2 8 4 2 − 10 α − 7 λ =− 10 α + 2 − 10 α − 7 λ +− 7 λ = 100 α + 140 α λ+ 49 λ
Representación geométrica de ( )
2 a + b :
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + b y
las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Los
segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en
cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro
menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho b. La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
área total del cuadrado de lado a + b :
Representación geométrica de ( )
2 a − b :
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a. Los
segmentos (^) a − b y (^) b horizontales y verticales dividen al cuadrado
en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a − b y otro
menor de lado (^) b , y dos rectángulos de largo (^) a − b y ancho (^) b. La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
área total del cuadrado de lado 2 a. Por lo tanto, el área del
cuadrado de a − b es igual al área total menos el área de los
rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es:
( ) ( )
(^2 ) a − b = a − 2 a − bb − b = a − 2 ab + 2 b − b = a − 2 ab + b
V.1.2 CUADRADO DE UN POLINOMIO
El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio.
El desarrollo del cuadrado del trinomio a + b + c se puede obtener de la siguiente forma:
( ) [( ) ] ( ) ( )
(^2 ) a + b + c = a + b + c = a + b + 2 a + bc + c = a + 2 ab + b + 2 ac + 2 bc + c
ordenando se tiene
( a b c ) a b c 2 ab 2 ac 2 bc
(^2 )
Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos a + b + c + d se puede obtener
de la siguiente forma:
( ) [( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 a + b + c + d = a + b + c + d = a + b + 2 a + b c + d + c + d 2 2 2 2 = a + 2 ab + b + 2 ac + 2 ad + 2 bc + 2 bd + c + 2 cd + d
ordenando se llega a:
( a b c d ) a b c d 2 ab 2 ac 2 ad 2 bc 2 bd 2 cd
(^2 )
( a − b ) 2 = a^2 − 2 ab + b^2
b
a
a
a − b
a − b
b^2
2 a − b
b ( a − b ) b
( a − b ) b
( a − b ) 2 = a^2 − 2 ab + b^2
b
a
a
a − b
a − b
b^2
2 a − b
b ( a − b ) b
( a − b ) b
( )( )
2 2 2 2
a + b a − b = a − ab + ba − b = a − b
esto significa que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de
sus términos.
Esto es:
( )( )
2 2 a + b a − b = a − b
Ejemplos.
( 3 ) ( 3 ) 9 2 k + k − = k −
( )( ) 2 2 3 x + 2 y 3 x − 2 y = 9 x − 4 y
( )( )
2 2 5 a + 8 b 5 a − 8 b = 25 a − 64 b
( )( ) 2 3 2 3 4 6 4 w + 7 z 4 w − 7 z = 16 w − 49 z
2 2 25
x y x y = x − y
( )( ) 2 2 2 2 6 jk + 4 mn 6 jk − 4 mn = 36 j k − 16 m n
(^) ( )( ) 2 3 4 2 5 23 4 2 5 46 8 4 10 2 10 r tv + 12 suw 10 r tv − 12 suw = 100 r tv − 144 s u w
( )( ) 2 −α + 1 α+ 1 = 1 − α
La representación del producto de dos binomios conjugados se efectúa a partir de un cuadrado de lado
a y un cuadrado interior de lado b. El área sombreada representa 2 2 a − b y está dada por la suma de
los rectángulos ( a − b ) a y b ( a − b ), esto es, (^) ( a + b )( a − b ):
a − b
b
( )( )
2 2 a + b a − b = a − b
a
a
b^2
b a − b
V.1.4 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es x de la forma
( x + a ) por ( x + b ). Al desarrollar el producto se tiene: (^ x^ +^ a )(^ x + b )^ = x + xb + xa + ab
2 , que se
puede agrupar como sigue:
( x + a )( x + b ) = x +( a + b ) x + ab
2
Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos
distintos.
Ejemplos.
- ( 2 )( 3 ) ( 2 3 ) ( 2 )( 3 ) 5 6
2 2 x + x + = x + + x + = x + x +
- ( 1 ) ( 4 ) ( 1 4 ) ( 1 )( 4 ) 3 4
2 2 a − a + = a + − + a + − = a + a −
- ( 2 5 )( 2 3 ) ( 2 ) ( 5 3 )( 2 ) ( 5 )( 3 ) (^41615)
(^2 ) b + b + = b + + b + = b + b +
(^) ( 3 6 )( 3 7 ) ( 3 ) ( 6 7 )( 3 ) ( 6 )( 7 ) 9 2 39 42 2 z − z − = z + − − z + − − = z − z +
(^) ( ) ( )( ) 5 2
21
16
49 5 1 4
7 5 1 4
7 1 4
7 5 4
(^7 )
2 + − − = −^ +
+ −^ −
^ =
−
x − x x x x x
( 2 8 )( 2 11 ) ( 2 ) ( 8 11 )( 2 ) ( )( 8 11 ) 4 6 88 4 4 4 2 4 8 4 e + e − = e + − e + − = e − e −
( 5 4 )( 5 7 ) ( 5 ) ( 4 7 )( 5 ) ( 4 )( ) 7 25 15 28 3 2 3 2 3 2 2 3 2 6 4 3 2 α β − α β + = α β + − + α β + − = α β + α β −
( 5 ) ( 12 ) ( ) ( 5 12 )( ) ( 5 )( 12 ) 17 60
(^2 ) − k + − k + = − k + + − k + = k − k +
Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado x. A
uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que se forma
una superficie con cuatro regiones:
x + b
b
a
xb
xa ab
( (^) x + a )( (^) x + b ) (^) = x +( a (^) + b ) (^) x + ab 2
x + a
2
x x
x
^ +
3 2 2 25
a a b a b
3 3 2 2 3 3 2 2 3 125
- b = a + ab + ab + b = a + ab + ab + b
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 23 33 32 2 3 2 2 23 4 x − 8 y = 4 x + 34 x − 8 y + 34 x − 8 y + − 8 y
( )( ) ( )( ) 9 6 2 3 4 6 9 6 2 3 4 6 = 64 x + 316 x − 8 y + 34 x 64 y − 512 y = 64 x − 384 x y + 768 x y − 512 y
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 3 − 3 a + 10 = − 3 a + 3 − 3 a 10 + 3 − 3 a 10 + 10
27 3 ( 9 )( 10 ) 3 ( 3 )( 100 ) 1000 27 270 900 1000
3 2 3 2 = − a + a + − a + =− a + a − a +
- (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 3 − 9 z − 2 = − 9 z + 3 − 9 z − 2 + 3 − 9 z − 2 + − 2
729 3 ( 81 )( 2 ) 3 ( 9 )( 4 ) 8 729 486 108 8 3 2 3 2 = − z + z − + − z − =− z − z − z −
V.1.6 CUBO DE UN TRINOMIO
El desarrollo de un cubo de trinomio a + b + c se obtiene multiplicando este trinomio por su cuadrado:
( a b c ) ( a b c )( a b c ) ( a b c )( a b c 2 ab 2 ac 2 bc )
(^3 )
- = + + + + = + + + + + + +
a ab ac ab ac abc ab b bc ab abc b c
3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 = + + + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 2 2 3 2 2
- a c + bc + c + 2 abc + 2 ac + 2 bc
simplificado queda como:
( a b c ) a b c 3 a b 3 ab 3 ac 3 ac 3 bc 3 bc 6 abc
(^3 )
El resultado consta de diez términos y presenta la siguiente estructura:
El cubo de un trinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de los términos, más el triple producto del cuadrado de cada término por cada uno de los términos restantes más seis veces el
producto de los tres términos.
Ejemplos.
- ( 4 a 2 b 5 c ) ( 4 a ) ( 2 b ) ( 5 c ) 3 ( 4 a ) ( 2 b ) 3 ( 4 a )( 2 b ) 3 ( 4 a ) ( 5 c )
3 3 3 3 2 2 2
3 ( 4 a )( 5 c ) 3 ( 2 b ) ( 5 c ) 3 ( 2 b )( 5 c ) 6 ( 4 a )( 2 b )( 5 c )
2 2 2
64 a 8 b 125 c 3 ( 16 a )( 2 b ) 3 ( 4 a )( 4 b ) 3 ( 16 a )( 5 c )
3 3 3 2 2 2 = + + + + +
3 ( 4 a )( 25 c ) 3 ( 4 b )( 5 c ) 3 ( 2 b )( 25 c ) 6 ( 4 a )( 2 b )( 5 c )
2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 = 64 a + 8 b + 125 c + 96 ab + 48 ab + 240 ac + 300 ac
60 b c 150 bc 240 abc 2 2
- ( 3 6 1 ) ( 3 ) ( 6 ) ( 1 ) 3 ( 3 ) ( 6 ) 3 ( 3 )( 6 ) 3 ( 3 ) ( 1 )
3 3 3 3 2 2 2 x − y − = x + − y + − + x − y + x − y + x −
3 ( 3 )( 1 ) 3 ( 6 ) ( 1 ) 3 ( 6 )( 1 ) 6 ( 3 )( 6 )( 1 )
2 2 2
- x − + − y − + − y − + x − y −
27 216 1 3 ( 9 )( 6 ) 3 ( 3 )( 36 ) 3 ( 9 )( 1 ) 3 3 2 2 2 = x − y − + x − y + x y + x −
3 ( 3 )( 1 ) 3 ( 36 )( 1 ) 3 ( 6 )( 1 ) 6 ( 3 )( 6 )( 1 ) 2
27 x 216 y 1 162 x y 324 xy 27 x 9 x 108 y 18 y 108 xy 3 3 2 2 2 2 = − − − + − + − − +
3 3 3 3 2 2
^ +
^ +
^ +
^ =
e + f − g e f g e f e f
2 2 2 2
4
3
3
2 3 4
3
3
2 3 4
3
2
1 3 4
3
2
1 (^3)
−
^ +
−
^ +
−
^ +
−
^ +
3 3 3 2 2 9
e f g e f e f
^ +
^ +
^ +
2 2 2 2 16
3 e g e g f g f g
3 3 3 2 2 2 2 32
= e + f − g + e f + ef − eg + eg
f g fg efg 2
3 8
2 9 2 − + −
2 3 43 23 33 43 22 3 − 5 β − 4 δ + 10 λ =− 5 β +− 4 δ + 10 λ + 3 − 5 β − 4 δ
2 32 22 4 2 4 2
- 3 − 5 β − 4 δ + 3 − 5 β 10 λ + 3 − 5 β 10 λ
3 2 4 3 4 2 2 3 4
- 3 − 4 δ 10 λ + 3 − 4 δ 10 λ + 6 − 5 β − 4 δ 10 λ
6 9 12 4 3 2 6 =− 125 β − 64 δ + 1000 λ + 325 β − 4 δ + 3 − 5 β 16 δ
4 4 2 8 6 4 3 8
- 325 β 10 λ + 3 − 5 β 100 λ + 316 δ 10 λ + 3 − 4 δ 100 λ
2 3 4
- 6 − 5 β − 4 δ 10 λ 6 9 12 4 3 2 6 4 4 =− 125 β − 64 δ + 1000 λ − 300 βδ − 240 βδ + 750 β λ 2 8 6 4 3 8 2 3 4 − 1 , 500 β λ + 480 δ λ − 1 , 200 δ λ + 1 , 200 βδ λ
V.1.7 SUMA Y RESTA DE CUBOS
Para obtener la suma de dos cubos de la forma
3 3
a + b se efectúa el siguiente producto:
2 2 a + b a − ab + b
cuyo desarrollo es:
3 2 2 2 2 3 a − ab + ab + ab − ab + b
y simplificando se tiene:
3 3 a + b
Esto significa que:
- ( )( ) 2 2 5 p − 6 q 25 p + 30 pq − 36 q
Solución:
( )( )
2 2 3 2 2 2 2 3 5 p − 6 q 25 p + 30 pq − 36 q = 125 p + 150 pq − 180 pq − 150 qp − 180 pq − 216 q
( ) ( ) 3 3 3 3 = 125 p − 216 q = 5 p − 6 q
2 2 25
a b a ab b
Solución:
2 2 3 2 2 2 2 3 125
a b a ab b = a + ab + ab − ab − ab − b
3 3 3 3 5
^ −
= a − b = a b
V.1.8 BINOMIO DE NEWTON
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton , expresa la enésima potencia de un
binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( )
n a + b posee singular importancia ya que
aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del
conocimiento.
Si el binomio de la forma ( a + b )se multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes
potencias:
( a + b ) = a + b
1
( ) ( )( ) 2 2
2
2 a b a b a b a 2 ab b veces
( ) ( )( )( ) 3 2 2 3
3
3 a b a b a b a b a 3 a b 3 ab b veces
( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 4
4
4 a b a b a b a 4 ab 6 ab 4 ab b veces
( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2 3 4 5
5
5 a b a b a b a 5 ab 10 ab 10 ab 5 ab b veces
( ) ( ) ( ) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6
6 a b a b a b a 6 ab 15 ab 20 ab 15 ab 6 ab b veces
De los desarrollos anteriores, se observa que:
- El desarrollo de n ( a + b ) tiene n + 1 términos
- El exponente de a empieza con n en el primer término y va disminuyendo en uno con cada término,
hasta cero en el último
- El exponente de b empieza con cero en el primer término y va aumentando en uno con cada
término, hasta n en el último
- Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n
- El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n
- El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término
- Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Ejemplo.
( )
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a + b = a + 6 ab + 15 ab + 20 ab + 15 ab + 6 ab + b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6
61 5
152 4
203 3
154 2
65 1
1 16
es
Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
1 2 2 3 3 4 4 12 3 4
( 1 ) 2 3
12 3
( 1 )( 2 )
12
( 1 )
1
a b
nn n n a b
nn n a b
nn a b
n a b a
n (^) n n − n − n − − − − n −
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )
n n a b b
n n n n n +⋅⋅⋅+
− − − −
− 5 5 12 3 4 5
1 2 3 4
Se define como factorial de un número natural n^ al producto de n^ por todos los números que le
preceden hasta el uno. Se denota mediante n! :
n! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 ) ⋅⋅⋅( n − 1 )( n )
Por definición, el factorial de cero es uno: 0! ≡ 1
Ejemplos.
3! = 1 ( 2 )( 3 ) = 6
5! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 )( 5 ) = 120
8! = 1 (^2 )(^3 )( 4 )( 5 )( 6 )( 7 )( 8 )^ = 40 , 320
14! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 ) ⋅⋅⋅( 13 )( 14 ) = 87 , 178 ' 291 , 200
Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:
( ) 1 2 2 3 3 (^ )(^ )^44 4!
a b
nn n n a b
nn n a b
nn a b
n a b a
n (^) n n − n − n − − − − n −
( )( )( )( ) (^) n n a b b
n n n n n +⋅⋅⋅+
− 5 5 5!
Ejemplos.
- Obtener el desarrollo de 4 ( 3 x − 4 y )
Solución.
Haciendo a = 3 x , b = − 4 y y n = 4
Aplicando la fórmula se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 2 2 3 4 3 4 4 3!
3 x − 4 y = 3 x + x − y + x − y + x − y + − y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4 4 3 2 2 3 4 3 4 4 6
3 x − 4 y = 3 x + x − y + x − y + x − y + − y
El triángulo de Pascal es un esquema que tiene como característica que cada uno de los componentes
de sus filas representa los coeficientes del desarrollo binomial.
Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el 1 de la cumbre. De una fila a la siguiente se
escriben los números con un desfase de medio lugar o casilla para que cada casilla tenga dos números
justo arriba, en la fila anterior. Cada extremo de la fila tiene un 1 y el valor que se escribe en una casilla
es la suma de los números que están encima.
Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de
a y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto
es:
1 1
1 2 1
1 1
1 1
3 3
4 6 4
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 a + b
2 a + b
3 a + b
4 a + b
5 a + b
6 a + b
7 a + b
( )^1
0 a + b
Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ( )
6 a + b , se le aplican los factores de la
séptima fila, tal y como se muestra en la siguiente figura:
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a + 6 ab + 15 ab + 20 ab + 15 ab + 6 ab + b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a ab ab ab ab ab b
Ejemplos.
- Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )
4 3 x − 2 y
Solución. Ubicando los coeficientes respectivos se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4 4 3 2 2 3 4 3 x − 2 y = 3 x + 43 x − 2 y + 63 x − 2 y + 43 x − 2 y + − 2 y
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 2 2 3 4 = 81 x + 427 x − 2 y + 69 x 4 y + 43 x − 8 y + 16 y 4 3 2 2 3 4 = 81 x − 216 x y + 216 x y − 96 xy + 16 y
- Encontrar la expansión de ( ) 4 36 5 a + 4 b aplicando el triángulo de Pascal.
Solución.
Ubicando los coeficientes respectivos se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 36 46 45 3 44 32 43 33 42 34 5 a + 4 b = 5 a + 65 a 4 b + 155 a 4 b + 205 a 4 b + 155 a 4 b
( )( ) ( ) 4 35 36
( )( ) ( )( ) ( )( ) 24 20 3 16 6 12 9 = 15 , 625 a + 63 , 125 a 4 b + 15625 a 16 b + 20125 a 64 b
( )( ) ( )( ) 8 12 4 15 18
- 15 25 a 256 b + 65 a 1 , 024 b + 4 , 096 b 24 20 3 16 6 12 9 8 12 = 15 , 625 a + 75 , 000 a b + 150 , 000 a b + 160 , 000 a b + 96 , 000 ab
V.2 FACTORIZACIÓN
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.
Ejemplo. Sean los siguientes productos:
( 3 ) ( 2 ) = 6 , por lo que factores de son 3 y.
( 5 ) ( 2 ) = 10 , por lo que factores de son 5 y 2.
( 5 ) ( 3 )( 2 ) = 30 , por lo que factores de 30 son 5 , 3 y 2.
Nótese como el número 2 aparece como factor común de 6 , 10 y 30 porque cada uno de estos
números se divide exactamente entre dicho factor común.
Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos.
Ejemplos.
- El término 2 3 x es factor común de x y 4 6 , de 3 9 x y de 2 2 − 12 x y porque cada monomio puede
expresarse como el producto de 2 3 x por otro término, es decir:
x y ( x )( x y ) 4 2 2 6 = 3 2
9 x ( 3 x )( 3 x ) 3 2 =
( )( ) 2 2 2 2 − 12 x y = 3 x − 4 y
4 15 18
Ejemplos.
Factorizar las siguientes expresiones.
- 5 (^ a + b )^ + k (^ a + b )
El MCD de los todos los términos es: ( a + b )
Así que: 5 ( a + b ) + k ( a + b ) =( a + b )( 5 + k )
- 6 r ( m − 3 n ) − 8 q ( m − 3 n ) + 11 s ( m − 3 n )
El MCD de los todos los términos es: ( m − 3 n )
Así que: 6 r ( m − 3 n ) − 8 q ( m − 3 n ) + 11 s ( m − 3 n ) =( m − 3 n )( 6 r − 8 q + 11 s )
- (^) w ( x + 3 y − 2 z ) − x − 3 y + 2 z + 4 p ( x + 3 y − 2 z )
Esta expresión puede rescribirse como:
w ( x + 3 y − 2 z ) − 1 ( x + 3 y − 2 z ) + 4 p ( x + 3 y − 2 z )
por lo que el MCD de los todos los términos es: ( x + 3 y − 2 z )
Así que: w ( x + 3 y − 2 z ) − x − 3 y + 2 z + 4 p ( x + 3 y − 2 z ) =( x + 3 y − 2 z )( w − 1 + 4 p )
- ( ) ( ) 2 2 3 a 4 a − 3 + a 3 − 4 a
Esta expresión puede rescribirse como:
( ) ( ) 2 2 3 a 4 a − 3 − a 4 a − 3
El MCD de los todos los términos es: ( )
2 a 4 a − 3
Así que: (^) a ( 4 a − 3 ) − a ( 4 a − 3 ) = a ( 4 a − 3 ) [ a −( 4 a − 3 )] = a ( 4 a − 3 ) ( 3 − 3 a ) = 3 a ( 4 a − 3 ) ( 1 − a ) 2 2 3 2 2 2
9 ( 4 7 ) 4 7 ( 4 7 )( 9 1 ) 2 2 z e + f + e + f = e + f z +
10 ( 2 ) 4 2 10 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 )( 10 2 ) 2 ( 2 )( 5 1 ) 3 3 3 3 3 3 u c − d + c − d = u c − d + c − d = c − d u + = c − d u +
(^) ( x − b )( w + 3 ) − 8 ( w + 3 ) +( c − y )( w + 3 ) =( w + 3 )( x − b − 8 + c − y )
( ) ( a a ) ( a a )( c b )
b a a
c − + + − + = − + + 2 2 2 2
2 12 3
V.2.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común. En esos casos, se debe factorizar por agrupación, procedimiento que combina los dos métodos anteriores.
Ejemplos.
Factorizar los siguientes polinomios:
- ax + bx + aw + bw
Para los primeros dos términos se toma como factor común a x^ y para los otros dos a w^ :
x ( a + b ) + w ( a + b )
ahora, se factoriza el polinomio ( a + b ):
( a + b )( x + w )
∴ ax + bx + aw + bw = ( a + b )( x + w )
- ax + ay + 4 x + 4 y
El factor común para los primeros dos términos es a y para los otros dos es 4 :
a ( x + y ) + 4 ( x + y )
después, se factoriza el polinomio (^) ( x + y ):
( x + y )( a + 4 )
∴ ax + ay + 4 x + 4 y =^ (^ x + y )(^ a + 4 )
2 10 px − 15 py + 6 xy − 9 y
Para los primeros dos términos se toma como factor común a 5 p y para los otros dos a 3 y :
5 p ( 2 x − 3 y ) + 3 y ( 2 x − 3 y )
ahora, se factoriza el polinomio ( 2 x − 3 y ):
( 2 x − 3 y )( 5 p + 3 y )
10 px 15 py 6 xy 9 y ( 2 x 3 y )( 5 p 3 y ) 2 ∴ − + − = − +
- 8 ac − 4 ad − 6 bc + 3 bd
El factor común para los primeros dos términos es 4 a y para los otros dos es − 3 b :
4 a ( 2 c − d ) − 3 b ( 2 c − d )
después, se factoriza el polinomio ( 2 c − d ):
( 2 c − d )( 4 a − 3 b )
∴ 8 ac − 4 ad − 6 bc + 3 bd = ( 2 c − d )( 4 a − 3 b )
- 3 10 3 2 a + a +
Esta expresión puede rescribirse como: 3 9 3 2 a + a + a +
El factor común para los primeros dos términos es 3 a :
3 a ( a + 3 ) + a + 3
3 10 3 ( 3 )( 3 1 ) 2 ∴ a + a + = a + a +
- 5 x y 3 x y 9 xz 15 x z x y ( 5 x 3 ) 3 xz ( 3 5 x ) ( 5 x 3 )( x y 3 xz ) x ( 5 x 3 )( xy 3 z ) 4 2 3 2 2 2 2 2 2
- 3 2 2 3 3 2 3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abx − y − x + aby = abx − x + aby − y = x ab − + y ab −
( )( ) 2 2 = 3 ab − 2 x + y
- (^2) ab + 2 a − b − 2 ac + c − 1 = 2 ab − b − 2 ac + c + 2 a − 1 = b ( 2 a − 1 ) − c ( 2 a − 1 ) +( 2 a − 1 )
= ( 2 a − 1 )( b − c + 1 )
Otra forma de resolver este ejercicio es escribirlo como (^2) ab − 2 ac + 2 c − b + c − 1 :
2 ab − 2 ac + 2 a − ( b − c + 1 ) = 2 a ( b − c + 1 ) −( b − c + 1 ) =( b − c + 1 )( 2 a − 1 )
V.2.4 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el
cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 2 9 a es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de 3 a.
Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio:
( ) (^1) 4 2 4 4 3 4 123 Perfecto
TrinomioCuadrado binomio
deun
Cuadrado
a b a ab b
2 2 2
Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus términos sean
cuadrados perfectos y que el otro término corresponda al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos.
6 3 2 4 81 p − 180 pq + 100 q
Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:
6 3 81 p = 9 p 4 2 100 q = 10 q
se separan por el signo del otro término ( −) y el binomio se eleva al cuadrado: (^) ( ) 3 2 2 9 p − 10 q
( ) 6 3 2 4 3 22 ∴ 81 p − 180 pq + 100 q = 9 p − 10 q
( ) 2 2 2 36 a + 84 ab + 49 b = 6 a + 7 b
( ) 2 2 2 9 x − 30 xy + 25 y = 3 x − 5 y
(^) ( ) 8 4 6 12 4 62 100 w − 100 wz + 25 z = 10 w − 5 z
2 2 2 13
e + ef + f = e + f
- ( ) 2 12 6 4 3 2 6 6 4 3 2 6 212 3 2 6 2 9 w t + 4 nr − 12 nrwt = 4 nr − 12 nr wt + 9 wt = 2 nr − 3 wt
Operación: Completar un trinomio cuadrado perfecto
Ejemplos.
Completar los siguientes TCP:
- ___ 9 2 x + +
Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:
x = x 2
9 = 3
se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: 2 ( x ) ( 3 ) = 6 x
por lo tanto el TCP completo es: 6 9
2 x + x +
2 2 16 c +___+ 25 d
Las raíces de los términos cuadrados perfectos son:
16 c 4 c 2 =
25 d 5 d 2 =
se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: 2 ( 4 c )( 5 d ) = 40 cd
por lo tanto el TCP completo es: 2 2 16 c + 40 cd + 25 d
4 6 144 α −___+ 49 β
Extrayendo las raíces de los términos cuadrados perfectos: 4 2 144 α = 12 α 6 3 49 β = 7 β
se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) 2 3 2 3 212 α 7 β = 168 α β
por lo tanto el TCP completo es: 4 2 3 6 144 α − 168 α β + 49 β
- 16 ___ 2 x + x +
Se extrae la raíz del término cuadrado perfecto: x = x 2
se divide el otro término entre la raíz obtenida: 16
x
x
este resultado se divide por dos 8 2
= y, finalmente, se eleva al cuadrado: 8 64 2 =
por lo tanto el TCP completo es: 16 64
2 x + x +
- 36 48 ___ 2 2 a + ab +
La raíz del término cuadrado perfecto es: 36 a 6 a
2
se divide el otro término entre la raíz obtenida: 2
2 8 6
b a
ab
este resultado se divide por dos 2
2 4 2
b
b = y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 2 2 4 4 b = 16 b
por lo tanto el TCP completo es: 2 2 4 36 a + 48 ab + 16 b
- 144 312 ___ 10 5 4 g + gh +
Extrayendo la raíz del término cuadrado perfecto: 10 5 144 g = 12 g
se divide el otro término entre la raíz obtenida: 4 5
5 4 26 12
h g
g h
este resultado se divide por dos 4
4 13 2
h
h = y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 4 2 8 13 h = 169 h
por lo tanto el TCP completo es: 10 5 4 8 144 g + 312 gh + 169 h
V.2.5 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados:
a − b = ( a + b )( a − b )
2 2
Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los
términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado.
Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones:
2 x −
Se extraen las raíces de los términos:
x = x 2
se forma el binomio: ( x + 2 )y se multiplica por su conjugado:
( x + 2 ) ( x − 2 )
por lo que: 4 ( 2 )( 2 ) 2 x − = x + x −
2 4 25 a − 16 b
Las raíces de los términos son:
25 a 5 a
2
