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Universidad Peruana Unión
Facultad de Ingeniería y Arquitectura Ingenieria Civil Examen de Métodos numéricos y Programación Docente: Braulio Gutiérrez P.
Problema 0.1 Demuestre que la estimación del número de iteraciones (k) por el método de la Bisección está dada por
k > log(b 0 − ao ) − log(e) log 2
o k > log 2 (b 0 − ao) − log 2 (e)
donde k número de iteraciones, e : precisión
Problema 0.2 Cuántas iteraciones como mínimo debemos realizar para encontrar un cero de la función f(x) = x log(x) − 1 en [2, 3] con una precisión de 0,01 ( 10 −^2 )
Problema 0.3 Encuentre una aproximación de
3 correcta con una precisión de 10 −^4
Problema 0.4 Se tiene un tanque esférico de radio R = 12m. y cuyo volumen de agua almacenado es: V = 60m^3.
- a) Hallar la altura del líquido h y el error cometido usando el método de Posición Falsa [1, 2], realizando 3 iteraciones. Se sabe que la altura se encuentra alrededor del valor ho = 1 b) ¿Cuantas iteraciones como mínimo se deberán realizar utilizando el método de la Bisección tomando el intervalo [0,5, 1,5] para obtener el mismo error cometido en el ítem anterior?. c) Si el item a) lo hubiese realizado con un programa de MATLAB pero con una precisión de 1e − 8. ¿Cómo sería el programa?
Considere V = π(R − h 3
)h^2
Problema 0.5 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura adjunta. Emplee el método
de bisección para resolver la posición de la viga donde no hay momento.
Problema 0.6 La velocidad v de un paracaidista que está dada por
v =
gm c ( 1 − e−(^ mc )t )
donde g = 9,8m/s^2. Para un pacacaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v = 35m/s en t = 9s. Utilice el método de la falsa posición para determinar m con una precisión de 0,
Problema 0.7 Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20m^3 /s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación
Q^2
gA^3 c
B
donde g = 9, 81m/s^2 , Ac = área de la sección transversal (m^2 ) y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de
B = 3 + y y Ac = 3y + y^2 2 Resuelva para la profundidad crítica con el uso del método
- a) Gráfico b) Bisección en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0, c) Falsa posición en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0,0001. Analice sus resultados
Problema 0.8 Verifique que:
- El número (0, 5) 10 tiene una representación binaria finita (0, 1) 2 El número (0, 125) 10 tiene una representación binaria finita (0, 001) 2 El número (0, 7) 10 tiene una representación binaria infinita (0, 1 0110 d) 2
Problema 0.9 Determine las raices reales de f(x) = 0,7x^5 − 8x^4 + 44x^3 − 90x^2 − 25182x
- a) Gráficamente y aislar sus raices b) Usando el método de la Bisección con una precisión de 0, c) Usando el método de la Posición Falsa con una precisión de 0,
Problema 0.10 Determine gráfica y analíticamente, la existencia y unicidad de la raiz, de f(x) = x − 2 + ln(x). luego aisle la raiz en un itervalo
Nota: Sin usar semejanza de triángulos.
Problema 0.14 La estimación de la temperatura en un recinto frio se puede estimar por la siguiente expresión polinómica: 2x^3 + 4x^2 − 2x − 5 = 0 , se sabe que el valor es cercano a 1 ◦C:
- a) Determine 2 fórmulas para aplicar el método de punto fijo que sean convergente b) Determine la fórmula para aplicar el método de Newton-Rapshon c) Estime la temperatura hasta la tercera iteración aplicando Newton-Raphson
Problema 0.15 Dada la función f(x) = x^2 ex^ − 1
- a) Mediante el método gráfico localizar la solución de la ecuación b) Efectúe tres iteraciones, utilizando el método de la bisección y dar el aproximado de la raíz, con ancho del intervalo inicial igual a uno.
iter a b c f(c) error 0 1 2 3
Problema 0.16 El siguiente algoritmo calcula de una forma aproximada la raíz n-ésima de un número no negativo a.
Ingresa: a, n y ε > 0, donde ε es la precisión deseada (ε = 10 −^9 ) x = a Mientras |xn^ − a| > ε (controlando la magnitud del error absoluto) x = x − (xn^ − a)/(nxn−^1 ), x 6 = 0 Retorna x (una aproximación para n
a)
En algún lenguaje de programación, haga un programa para ejecutar este algoritmo. Modifique el programa para que retorne también el número de pasos (iteraciones). ¿Cómo utilizaría el error relativo para controlar el algoritmo?. Y encuentre una aproximación de
7 correcta con una precisión de 10 −^4.
Problema 0.17 Del gráfico.
f(x) = x^2 , g(x) = 2x + 4, halle
a
b
Problema 0.18 Dos vigas de madera de longitudes L 1 = 40 pies y L 2 = 30 pies se colocan contra dos muros verticales como se muestra en la figura, La altura del punto donde las vigas se cruzan es
de h = 10 pies.
- a) Demuestre que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación x^4 − 2hx^3 + (L^21 − L^22 )x^2 − 2h(L^21 − L^22 )x + h^2 (L^21 − L^22 ) = 0
b) Use el método de Newton para aproximar la solución en el inciso a). Use como punto inicial x 0 ≥ 12 c) Aproxime la distancia z entre los dos muros
Problema 0.19 Hacer un programas en algún lenguaje de programación que calcule la derivada de f en x ∈ R. Es decir,
df(x) dx
= l´ım h→ 0
f(x + h) − f(x) h
usando la programación, calcule la primera derivada de
a. y = xx
b. y = (x + 1 )
x c. y = xln(x)
en el punto x = 2 y h = 0,
Problema 0.20 Implemente un nuevo programa de la bisección, teniendo en cuenta el número de estimación de iteraciones
k > log(b 0 − ao) − log(e) log 2
donde k número de iteraciones, e : precisión.
