Programación, Apuntes de Matemáticas

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TEMA 8

PROGRAMACIÓN CLÁSICA

Objetivos de aprendizaje

• Resolver un problema de optimización sin restricciones.
• Resolver un problema de optimización matemática con restricciones de igualdad.
• Interpretar los multiplicadores de Lagrange desde un punto de vista económico REQUISITOS PREVIOS Clasificación de formas cuadráticas (Matemáticas I) Derivadas parciales y matriz Hessiana (Tema 2). Matriz de Jacobi (Tema 3).

8.1.- OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

Optimización clásica

Planteamiento del problema

Sea f: Rn^ -----> R una función escalar, un problema de optimización sin restricciones es aquel en el que las variables del problema pueden tomar cualquier valor. Por tanto, son problemas del tipo: Optimizar f(x) ó bien Optimizar f(x) s. a x ∈ Rn

Condición necesaria de segundo orden de

existencia de óptimo

DEFINICIÓN: Sea S ⊆ Rn^ y sea f: S -----> R diferenciable. Un punto x ∈ S se dice que es un punto de silla de f si es un punto estacionario de f (x), pero no es máximo ni mínimo de f. PROPOSICIÓN: Sea S ⊆ Rn^ abierto y sea f: S -----> R dos veces diferenciable (segundas derivadas parciales continuas) y un punto estacionario de f en el cual la matriz hessiana no es nula. Entonces: a) Si x 0 es un máximo relativo de f(x) ocurre que la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana Hf(x) es semidefinida negativa. b) Si x 0 es un mínimo relativo de f(x) ocurre que la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana Hf(x) es semidefinida positiva.

Condición suficiente de segundo orden de

existencia de óptimo

PROPOSICIÓN: Sea S ⊆ Rn^ abierto y sea f: S -----> R dos veces diferenciable y x 0 un punto estacionario de f. a) Si Hf(x 0 ) representa una forma cuadrática definida negativa, entonces x 0 es un máximo local de f. b) Si Hf(x 0 ) representa una forma cuadrática definida positiva, entonces x 0 es un mínimo local de f. c) Si Hf(x 0 ) representa una forma cuadrática indefinida, entonces x 0 es un punto de silla.

Introducción

Como ya comentamos al principio del tema, abordamos ahora el problema de optimizar una función escalar en el caso en que las variables están sujetas a restricciones de igualdad. Estos problemas se resuelven de forma diferente a lo hecho hasta ahora; aunque en algunos casos, por ejemplo cuando las restricciones son lineales, se pueden reducir a programas sin restricciones. Ejemplo: Resolver el siguiente problema

Planteamiento del problema

Sea f: R n -----> R una función escalar y sea g: R n -----> R m una función vectorial de la forma Entonces el problema que nos planteamos es el siguiente:

Función Lagrangiana de un problema de

optimización

La teoría de los multiplicadores de Lagrange, sistematiza el procedimiento de obtención de soluciones y tiene interesantes interpretaciones económicas. Dado el problema (P) tal que f: R n -----> R y g: R n -----> R m , se llama función lagrangiana asociada al problema (P) a la siguiente función: L: R n × R m -----> R tal que ∀ x∈R n y ∀ λ = (λ 1 , λ 2 , ......, λm) ∈ R m

Condición necesaria para la existencia de

óptimos

TEOREMA.- (Condición necesaria de Lagrange) .- Sea x∈ R n una solución del problema (P) con m < n y tal que rg ( Jg (x 0 ) ) = m. Entonces ∃ tal que ∇L(x,λ ) = 0 siendo

TEOREMA .- Sea (x

,λ

) un punto estacionario del problema (P), es decir, ∇L(x,λ ) = 0. Si ∀v ≠ 0 tal que Jg(x

).v = 0 se cumple que: a) v t HL(x,λ ) v < 0 entonces ocurre que en el punto x* se alcanza un máximo del problema (P). b) vt HL(x,λ ) v < 0 entonces ocurre que en el punto x* se alcanza un mínimo del problema (P). Siendo (es decir, la función lagrangiana en este caso, sólo se deriva dos veces parcialmente respecto de las variables, no de los parámetros).

Condición necesaria y suficiente para la

existencia de óptimos

NOTA: si la matriz HL(x,λ ) es definida (positiva o negativa), no es necesario comprobar el signo sobre los vectores v ≠ 0 tales que Jg (x*). v = 0 ya que seguirá conservando el signo sea cual sea el subespacio de vectores que utilicemos.

Condición necesaria y suficiente para la

existencia de óptimos