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Asignatura: Matematicas II, Profesor: Gonzalo Gonzalo, Carrera: ADE, Universidad: UCLM
Tipo: Apuntes
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7.1 Planteamiento de un problema de optimización. 7.2 Tipos de problemas. Tipos de soluciones. Resolución geométrica. 7.3. Conjuntos convexos: definición, caracterización y propiedades. 7.4. Funciones escalares cóncavas y convexas: definición, caracterización y propiedades.
Los problemas de optimización, (P), tienen una estructura matemática común, que se suele denotar como: (P) Maximizar f(x) (P) Minimizar f(x) sujeto a x S Rn^ ó bien sujeto a x S Rn La función f : S Rn^ → R se llama función objetivo. S es el conjunto de oportunidades ó conjunto factible. Por último, x = (x 1 , x 2 ,... , xn) son las variables del problema ó variables de decisión. Para abreviar la notación, los problemas de máximo se denotan Max y los de mínimo Min. Cuando se buscan máximos y mínimos se denota Opt. Por último, sujeto a se abrevia s.a.. A los puntos x S se les llama puntos factibles.
DEFINICIÓN: x 0 ∈ S es un máximo global o absoluto de (P) si ocurre que: f(x 0 ) ≥ f(x) ∀x ∈ S x 0 ∈ S es un mínimo global o absoluto de (P) si ocurre que: f(x 0 ) ≤ f(x) ∀x ∈ S Las soluciones de “(P) Max” son los máximos globales y las de “(P) Min” son mínimos globales. En la búsqueda de máximos/mínimos globales, normalmente se empieza encontrando máximos/mínimos locales que como veremos son más sencillos de caracterizar matemáticamente.
El siguiente teorema asegura la existencia de óptimos globales: Teorema de Weierstrass.- Si S es un conjunto compacto de Rn^ y f: S ----> R una función continua en S, entonces f posee en A un máximo y un mínimo globales. Resolución geométrica: Si S ⊆ R^2 , se utilizan las curvas de nivel. ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≥ ≥
x 0,y 0 x 2y 5 s.a 2x y 6 Optimizarx 2y
En un problema de optimización con función objetivo f(x) y conjunto factible S ⊆ Rn, son de especial relevancia aspectos geométricos de S y f para caracterizar matemáticamente la existencia de soluciones. DEFINICIÓN: Dados dos puntos , x, y ∈Rn, se define el segmento que une x con y como el conjunto siguiente: [x,y] = { z ∈ Rn^ / z = λx + (1 - λ)y , 0 ≤ λ ≤ 1 } DEFINICIÓN: Un conjunto S⊆Rn^ se dice que es convexo si para todo par de puntos de S, el segmento que los une está enteramente contenido en S, es decir, ∀ x,y ∈ S se cumple que [x,y] ⊆ S
Ejemplos: 1.- Son conjuntos convexos los siguientes: 2.- Y no son convexos los conjuntos siguientes:
Como veremos en temas posteriores, la mayoría de los técnicas para resolver problemas de programación matemática son útiles para encontrar óptimos locales. Esto es debido a que, bajo ciertas condiciones, los óptimos locales son sencillos de caracterizar matemáticamente. Sin embargo, encontrar los óptimos globales y por tanto la solución del problema suele ser una tarea muy compleja. La convexidad (en un problema de Min) o concavidad (en un problema de Max) de la función objetivo juega un papel importante en determinar si los óptimos locales son globales.
