Programacion Dinamica, Diapositivas de Investigación de Operaciones

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CONTROL DE CALIDAD

INGENIERIA INDUSTRIAL

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

II – 333 INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES II

Ingeniería Industrial

R. Fabricio Linarez

III Parcial

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)

La idea principal de la programación dinámica (PD) es descomponer el problema en subproblemas (más manejables). Los cálculos se realizan entonces recursivamente donde la solución óptima de un subproblema se utiliza como dato de entrada al siguiente problema. La solución para todo el problema está disponible cuando se soluciona el último subproblema. La forma en que se realizan los cálculos recursivos depende de cómo se descomponga el problema original. En particular, normalmente los subproblemas están vinculados por restricciones comunes. La factibilidad de estas restricciones comunes se mantiene en todas las iteraciones.

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD) Podemos resolver este problema enumerando todas las rutas entre los nodos 1 y 7 (hay cinco rutas). Sin embargo, la enumeración exhaustiva es computacionalmente insoluble en redes grandes. Para resolver el problema por PD, primero lo descomponemos en etapas como se indica mediante las líneas de rayas verticales en la figura 12. 2. A continuación, realizamos por separado los cálculos en cada etapa. La idea general para determinar la ruta más corta es calcular las distancias (acumulativas) más cortas a todos los nodos terminales de una etapa, y luego utilizarlas como datos de entrada a la etapa inmediatamente subsiguiente. Partiendo del nodo 1 , la etapa 1 llega a tres nodos terminales ( 2 , 3 y 4 ) y sus cálculos son simples.

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)

Luego, la etapa 2 tiene dos nodos terminales, 5 y 6. La figura 12. 2 muestra que se puede llegar al nodo 5 desde los nodos 2 , 3 y 4 por las rutas ( 2 , 5 ), ( 3 , 5 ) y ( 4 , 5 ). Esta información, junto con los resultados resumidos (distancias más cortas) en la etapa 1 , determina la distancia (acumulativa) más corta al nodo 5 como:

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)

▪ Resumen de la etapa 2. a) Distancia más corta del nodo 1 al nodo 5 = 12 millas (desde el nodo 4 ) b) Distancia más corta del nodo 1 al nodo 6 = 17 millas (desde el nodo 3 )

12.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (PD)

1. Los cálculos en cada etapa son una función de las rutas factibles de dicha etapa, y sólo de esa etapa.
2. Una etapa actual está conectada a la etapa inmediatamente precedente sólo (sin tener en cuenta las etapas anteriores) con base en el resumen de distancias más cortas de la etapa inmediatamente precedente.

Ejemplo 2 (Problema de la ruta más corta). Determine la ruta más corta en el siguiente escenario: 1 2 4 5 3 6 7 8 7 25 7 10 20 9 4 15 18 40 9 Resumen de la etapa 1. a) Distancia más corta del nodo 1 al nodo 2 = 7 millas (desde el nodo 1 ) b) Distancia más corta del nodo 1 al nodo 4 = 25 millas (desde el nodo 1 ) c) Distancia más corta del nodo 1 al nodo 5 = 5 millas (desde el nodo 1 )

K A B C R E F I 15 24 7 Resumen de la etapa 1. a) Distancia más corta del nodo K al nodo A = 15 millas (desde el nodo K) b) Distancia más corta del nodo K al nodo B = 24 millas (desde el nodo K) c) Distancia más corta del nodo K al nodo C = 7 millas (desde el nodo K) G H 17 24 16 23 15 18 19 15 19 18 15 13 16 18 Ejemplo 3 (Problema de la ruta más corta). Determine la ruta más corta en el siguiente escenario:

min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐴 = 15 + 17 = 32 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐵 = 24 + 16 = 40 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐶 = 𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 } min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐴 = 15 + 24 = 39 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐵 = 24 + 23 = 47 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐶 = 7 + 15 = 22 } min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐴 = 𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐵 = 24 + 19 = 43 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐶 = 7 + 18 = 25 } Etapa II ▪ Distancia más corta al nodo R: ▪ Distancia más corta al nodo E: ▪ Distancia más corta al nodo F: Etapa III Distancia más corta al nodo G: min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝑅 = 32 + 15 = 47 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐸 = 24 + 18 = 40 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐹 = 25 + 13 = 38 } K C E H Ruta más Corta: Debido a que solo necesita 56 millas. min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝑅 = 𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐸 = 22 + 16 = 38 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐹 = 25 + 15 = 40 } Distancia más corta al nodo H: Etapa IV Distancia más corta al nodo I: min = { 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐺 = 38 + 19 = 57 𝑁𝑜𝑑𝑜 𝐻 = 38 + 18 = 56 } I 7 15 16 18

Ejemplo 1: Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o más de tres artículos. La siguiente tabla da el peso

unitario, w i, en toneladas y el ingreso unitario en miles de dólares, ri, para el artículo i. El objetivo es

determinar la cantidad de unidades de cada artículo que maximizará el rendimiento total. Articulo I Wi Ri 1 2 31 2 3 47 3 1 14 Paso 1: Determinar una escala para la X que cubra todos los valores de Wi Paso 2: Determinar los valores de m que se evaluaran en cada articulo, el cual dependerá del peso Wi y la capacidad máxima del sistema. Paso 3: Evaluar en cada fila de X cada valor de m, y anotar el valor de Ri en la casilla respectiva.

Etapa III:

Ejemplo 2: Un excursionista debe empacar tres artículos: alimento, botiquín de primeros auxilios y ropa. La mochila tiene una capacidad de 3 pies 3. Cada unidad de alimento ocupa 1 pie 3 , el botiquín de primeros auxilios ocupa 1 / 4 pie 3 , y cada pieza de ropa ocupa aproximadamente 1 / 2 pie 3. El excursionista asigna pesos de prioridad de 3 , 4 y 5 al alimento, el botiquín, y la ropa, respectivamente, lo que significa que la ropa es el más valioso de los tres artículos. Por experiencia, el excursionista debe llevar al menos una unidad de cada artículo y no más de dos botiquines. ¿Cuántas unidades de cada artículo debe llevar el excursionista? Articulo I Wi Ri Condición Conversion

3. Alimento 1 ft3 3 >1 4U
   2. Botiquín 0.25 ft3 4 1<Bt<2 1U
      1. Ropa 0.5 ft3 5 1> 2U

Etapa III (alimento): X3 M3=1 M3=2 F3(x3) M 4 3 -- 3 1 5 3 -- 3 1 6 3 -- 3 1 7 3 -- 3 1 8 3 6 6 2 9 3 6 6 2 La escala en X se define como mínimo 4 , debido a que es el peso de cada unidad de alimento, y termina en 9 , debido a que a La capacidad máxima de la mochila que es de 12 , se le debe de restar 3 ft 3 que será el espacio que ocuparan al menos una unidad de botiquín ( 1 ft 3 ) y una unidad de ropa ( 2 ft 3 ) Los valores de M solo son 1 y 2 , debido a que el ejercicio condiciona que al menos se debe de llevar una unidad de alimentos, y 2 como máximo debido a que en este escenario ocupa 8 ft 3 , ya una tercera unidad ocuparía un total de 12 ft 3 y el ejercicio condiciona que deben llevarse tambien una unidad de los demás artículos, los cuales implican 3 ft 3.