Ejercicios de Formulación de un Problema de Programación Lineal, Apuntes de Investigación de Operaciones

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Ing. Fernando Yépez Villamil, MBA.

La Programación lineal es una clase de modelo de programación matemática destinada a la asignación eficiente de recursos limitados en actividades conocidas con el objeto de conseguir las metas trazadas (maximización de utilidades, minimización de costos). La característica esencial de este modelo es que, tanto la función objetivo como las limitaciones o restricciones son ecuaciones y/o inecuaciones.

SUPUESTOS B Á SICOS Linealidad: Todo proceso, actividad o relación lineal identificada con la cantidad unitaria de los factores con respecto a los demás y a las cantidades unitarias de los productos. Divisibilidad: Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos. Finitud: Tanto el número de procesos identificados cuanto los recursos disponibles deberán corresponder a cantidades finitas, estas conocidas y cuantificadas de manera determinista. Algoritmo o iteraciones: La programación lineal utiliza métodos mediante aproximaciones sucesivas, ensayos e intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones y según las cuales se determinan pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado.

El problema de programaci ó n lineal por la limitaci ó n de recursos

trata de distribuir en la mejor forma. Los recursos que a la vez

son limitados pueden ser distribuidos en tantas formas como

combinaciones matem á ticas permitan relacionarse a un mismo

objetivo; de all í que es necesario distribuirlos en forma

equilibrada y arm ó nica entre los factores que intervienen en el

problema a fin de encontrar las alternativas m á s ó ptimas de uso,

cumpliendo con el prop ó sito fijado.

Un problema de la Programaci ó n lineal trae impl í citamente el

sentido de la funci ó n prop ó sito o meta, recursos disponibles y

habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor

alternativa.

Los problemas de Programación Lineal planteados y resueltos

por cualquiera de los métodos deberán cumplir 4 condiciones

básicas necesarias y sus fuentes.

• Restricciones o Limitaciones: Es el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema denominados también coeficientes técnicos, tecnológicos de producción según sea el caso. 𝐴11.𝑋1+𝐴12.𝑋2+𝐴13.𝑋3.……+𝐴 1 n .𝑋𝑛 𝐴21.𝑋1+𝐴22.𝑋2+𝐴23.𝑋3.……+𝐴 2 n .𝑋𝑛 𝐴31.𝑋1+𝐴32.𝑋2+𝐴33.𝑋3.……+𝐴 3 n .𝑋𝑛 𝐴 m 1.𝑋1+𝐴 m 2.𝑋2+𝐴 m 3.𝑋3.……+𝐴𝑚 n .𝑋𝑛

𝐴11+𝐴12+𝐴13.……..+𝐴1n 𝐴21+𝐴22+𝐴23.……..+𝐴2n 𝐴31+𝐴32+𝐴33.……..+𝐴3n 𝐴 m 1+𝐴 m 2+𝐴 m 3.……..+𝐴 mn

Coeficientes

técnicos

• X 1 , X 2 , X 3 ,….Xn ➔ Variables
• T 1 , T 2 , T 3 ,….Tm ➔ Signos = ≤ ≥
• b 1 , b 2 , b 3 ,…..bm ➔ L í mites del Sistema

Condiciones de Optimización: Se van obteniendo por aproximaciones sucesivas. Solución factible: Es aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema. Solución básica factible: Es aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema, pero éstas deben ser positivas. Solución óptima factible: Es aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema y la función objetivo.

PASOS PARA LA

FORMULACIÓN DE UN

PROBLEMA DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

Una empresa dedicada a la elaboraci ó n de art í culos de vidrio de alta calidad de (puertas y ventanas) en 3 plantas diferentes produce lo siguiente: Planta 1 : modulares y marcos de aluminio. Planta 2 : modulares y marcos de madera. Planta 3 : Se elabora y se ensambla el vidrio. Se tiene un programa de cambio en la producci ó n y se propone incursionar con 2 nuevos productos. Producto 1 : Puerta de Vidrio con marco de Aluminio. Producto 2 : Ventana de Vidrio con marco de Madera. Seg ú n el Departamento de comercializaci ó n toda la producci ó n de é stos, podría venderse en el mercado. Si en la Planta 1 solo se produce puertas, en la Planta 2 solo se produce ventanas pero con una producci ó n del doble con respecto a las puertas, y en la Planta 3 por cada 2 ventanas se producen 3 puertas. Determinar la producci ó n de los 2 productos para maximizar las utilidades sujeto a las limitaciones que tiene la empresa; sabiendo que hay una ganancia por lote de $ 3000 en las puertas y $ 5000 en las ventanas. Se conoce que el tiempo de producci ó n disponible a la semana en horas es de 4 para la Planta 1 , 12 para la Planta 2 y 18 para la Planta 3.

Definición de variables

• X 1 = número de lotes del producto 1 fabricados por semana
• X 2 = número de lotes del producto 2 fabricados por semana
• Z= ganancia semanal total (en miles de dólares) al producir los 2 productos Funci ó n objetivo Z MAX = 3 X 1 + 5 X 2 X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1+2X2 ≤ 18 X1, X2 ≥ 0 Sujeto a ➔ (^) Restricciones de capacidad de Producción

Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabrica biombos decorativos. Se han vendido bien estos modelos, de manera que se limitan a producir sólo dos tipos. Le cuesta fabricar $ 90 el Modelo 1 y $ 60 el Modelo 2. Se estima que el Modelo 1 requiere 2 Unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el Modelo 2 requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son de $ 120 y $ 80 respectivamente. ¿Cuantos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su utilidad en la venta?

Ejercicios para Formulaci ó n de

un Problema de Programación

Lineal

1 ) Una compañía manufacturera fabrica 2 productos ( 1 y 2 ); y es lo suficientemente afortunada para vender todo lo que produce actualmente. Como se indica en la tabla 1 cada producto requerirá de un tiempo de manufactura en los 3 departamentos. En la tabla 2 se indica que cada departamento tiene una cantidad fija de horas de Mano de Obra disponible por semana. El problema consiste en decidir qué cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción. Se supone que la ganancia por cada unidad de producto 1 es $ 1 , 00 y de producto 2 es de $ 1 , 50. En realidad la administración debe asignar los recursos fijos con el propósito de Maximizar la ganancia y satisfacer las otras condiciones definidas. PRODUCTO TIEMPO DE MANUFACTURA Dpto A Dpto B Dpto C 1 2 1 4 2 2 2 3 DEPARTAMENTO HORAS – HOMBRE Disponible por Semana A 160 B 120 C 280