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Programacion lineal Ejemplo, Transcripciones de Sistemas de Control

Ejemplos varios sobre programacion lineal

Tipo: Transcripciones

2019/2020

Subido el 11/06/2020

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Modelos de programación entera
1. El modelo tipo “mochila”
2. Formulación de modelos con variables enteras
3. Ejercicios. Modelos de programación entera
4. Problemas de planeación
5. Modelos de programación entera
Un modelo se dice de programación entera si incluye
alguna(s) variable(s) entera(s)
TIPOS DE VARIABLES ENTERAS
1. Variables Enteras Generales
2. Variables Binarias
CLASES DE MODELOS DE PE
Dependiendo del tipo de variables que incluyen pueden ser:
1. Modelos de PE pura
2. Modelos Mixtos
Los Modelos Mixtos son útiles cuando se incluyen
Costos Semifijos
COSTOS SEMIFIJOS
Son costos cuya magnitud no depende del volúmen producido, pero que sólo ocurren si se produce.
El modelo tipo “mochila”
EJEMPLO:
Una persona dispone de $14,000 y desea escojer la mejor combinación de entre cuatro alternativas de
inversión:
La solución de este modelo Binario indica la mejor combinación.
Formulación del Modelo “Mochila”
OBJETIVO: incluir el máx # de productos de distinto valor (ci) en un espacio limitado (b)
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Modelos de programación entera

  1. El modelo tipo “mochila”
  2. Formulación de modelos con variables enteras
  3. Ejercicios. Modelos de programación entera
  4. Problemas de planeación
  5. Modelos de programación entera Un modelo se dice de programación entera si incluye alguna(s) variable(s) entera(s) TIPOS DE VARIABLES ENTERAS
  6. Variables Enteras Generales
  7. Variables Binarias CLASES DE MODELOS DE PE Dependiendo del tipo de variables que incluyen pueden ser:
  8. Modelos de PE pura
  9. Modelos Mixtos Los Modelos Mixtos son útiles cuando se incluyen Costos Semifijos COSTOS SEMIFIJOS Son costos cuya magnitud no depende del volúmen producido, pero que sólo ocurren si se produce.

El modelo tipo “mochila”

EJEMPLO:

Una persona dispone de $14,000 y desea escojer la mejor combinación de entre cuatro alternativas de inversión: La solución de este modelo Binario indica la mejor combinación. Formulación del Modelo “Mochila” OBJETIVO: incluir el máx # de productos de distinto valor (ci) en un espacio limitado (b)

Formulación de modelos con variables enteras

APLICACIONES TIPICAS

Modelos tipo Mochila: se busca incluir el máximo número de diversos productos con diferente valor, en un espacio limitado. Selección de Cartera: seleccionar la mejor combinación de alternativas para alcanzar el máximo rendimiento. Modelos con Costos Semi-Fijos Modelos con costos variables y costos semi-fijos (de preparación o de instalación.) Problemas de Cobertura Determinar el número mínimo de localizaciones con el objeto de proveer cobertura a un grupo de areas Problemas de Asignación Se busca asignar uno-a-uno recursos en forma óptima. Programación de Recursos: asignar optimamente recursos de manera secuencial. Problema del Agente Viajero (TSP) Determinar la mejor secuencia de actividades ejecutando cada actividad una sola vez. 2.1 USO DE VARIABLES BINARIAS (se usan para indicar decisiones lógicas) Suponga que se disponen de k alternativas y sea Xj = 1 si se escoje la alternativa j 0 si no ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS Alternativas que no pueden aparecer juntas en la solución x 1 + x 2  1 MAXIMO # ACEPTABLE DE ALTERNATIVAS Cuando todas las alternativas no pueden estar juntas en la solución x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5  2 ALTERNATIVAS DEPENDIENTES El valor de una variable depende del valor de otra(s)

VARIABLES BINARIAS Y CONTINUAS

RANGOS CONDICIONADOS

Si una variable contínua puede tomar valor CERO ó, POSITIVO pero dentro de un intervalo específico Ejemplo: MAXIMO # DE RESTRICCIONES Cuando una solución factible solo necesita satisfacer un subconjunto de todas las restricciones del modelo Ejemplo:

Ejercicios. Modelos de programación entera

  1. Un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compania tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1 es una planta antigua que opera con doble turno de 80 horas por semana. La planta 2 es una planta mas nueva y no opera a su capacidad total. Cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana y la planta opera 2 turnos. La siguiente tabla muestra el tiempo de producción (horas/unidad) y los costos estándar ($/unidad) en cada planta. Tambien se muestran los precios de venta de cada escritorio. Debido a que la compañía ha estado experimentando un exceso de costos durante el ultimo periodo presupuestal, los administradores han fijado una restricción semanal sobre los costos de producción. El Costo Semifijo por producir en cada planta asciende a $ 600 y $900 para las plantas 1 y 2 respectivamente. Además en caso de producir algun modelo de escritorio se debe asegurar una producción mínima de 100 unidades. El presupuesto semanal para la producción en miles de pesos tambien se muestra en la tabla. Se le pide a usted averiguar cuál es el numero óptimo de escritorios de cada tipo, a producirse en cada planta con el objeto de maximizar las ganancias.
  1. A un paciente hospitalizado se le han restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir. De acuerdo con lo prescrito por el doctor, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día: 1000 unidades de nutriente A, 2000 del nutriente B, y 1500 unidades del nutriente C. Existen dos fuentes alimenticias disponibles F1 y F2. Cada onza de la fuente alimenticia F1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B, y unidades del C. Cada onza de F2 contiene 200 unidades de A, 250 unidades de B, y 200 unidades de C. Las fuentes alimenticias cuestan $6 y $ por onza. a) Si se considera que los costos de pedidos no son despreciables y ascienden a $5 y $7.5 para las fuentes F1 y F2, cuál es la mejor combinación de fuentes alimenticias? b) Si además sólo es necesario satisfacer dos de los tres requerimientos nutritivos , cuál es la mejor combinación de fuentes alimenticias? PROBLEMA 2:

SUBJECT TO

  • MIN 5 Y1 + 7.5 Y2 + 6 X1 + 8 X
        • 99999 W1 + 100 X1 + 200 X2 >= -
        • 99999 W2 + 400 X1 + 250 X2 >= -
        • 99999 W3 + 200 X1 + 200 X2 >= -
        • 99999 Y1 + X1 <=
        • 99999 Y2 + X2 <=
      1. W1 + W2 + W3 >=
  • INT Y END
  • INT Y
  • INT W
  • INT W
  • INT W
  1. La companía OVM fabrica un producto cuya demanda es estacional y cambia mes con mes. El pronóstico de la demanda para los proximos cuatro meses es 1800, 2200, 3400, y 2800 unidades. Debido a la demanda variable, se ha encontrado que en algunos meses existe producción en exceso lo cual ocasiona grandes costos de almacenaje y mantenimiento. En otros meses la compania no puede cubrir la demanda resultando en perdidas de oportunidades de venta. La capacidad de la planta es de 2400 articulos por mes utilizando turnos normales. De requerirse subcontratos es posible disponer hasta de 800 articulos adicionales. El costos variable de produccion es de $ 400 dolares por unidad, para articulos fabricados. El costo de subcontrato implica pagar un costo unitario de $450. De no venderse un articulo y almacenarse para el proximo mes se incurre en un costo de 15 dolares por mes. De producir unidades en un mes particular es necesario realizar la preparación de maquinaria, hacer corridas de prueba y echar a andar ciertos equipos especiales, por lo quese incurriría en costos semifijos de $150. De ordenar un artículo al subcontratista se requiere incurrir en un costo semifijo de $50/orden. Se le pide a usted que determine un programa óptimo de adquisición que minimice los costos de producción, almacenaje y subcontrato para el período de 4 meses. El programa debe satisfacer la demanda pronosticada. PROBLEMA 4:

Nuevas Variables y Restricciones:

  1. Una compañia tiene tres localizaciones alternativas para ubicar nuevos almacénes que den servicio a la región norte del país. Existen 5 clientes (C1,C2,C3,C4,C5) importantes es esta región. Se desea determinar en cuáles localizaciones se instalarán almacenes como puntos de distribución para surtir a los clientes. SOLUCIÓN
  1. ( Maximizar Cobertura con recursos limitados ) Un banco está planeando abrir 2 sucursales en Monterrey. La dirección ha dividido la ciudad en 7 zonas así como ha estimado el número de clientes potenciales en c/u.. Se supone que un local ubicado en una zona podría atender a los clientes de zonas vecinas así como a los de su propia zona. (Vease la tabla siguiente) a) Plantee un modelo de PE para encontrar las zonas dónde ubicar las sucursales con el objeto de maximizar el número de clientes potenciales atendidos.

b) Suponga que la cobertura del banco no es igual si los clientes potenciales son atendidos a través de un local que no está ubicado en la misma zona. La cobertura es del 50% en la misma zona de la sucursal establecida y 25% si los clientes acuden a sucursales fuera de su zona. Modifique el modelo para este caso.

  1. Una companía necesita contratar personal de seguridad. Se estima que los guardias trabajaran turnos de 8 horas y que cada dia se necesitan seis turnos para cubrir las 24 horas. Las siguientes tablas muestran el número requerido de personal de seguridad por cada 4 horas del día y los horarios de entrada y salida de cada turno. Se necesita determinar cuántos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el número de ellos. SOLUCION:

SOLUCIÓN

Tour : secuencia de visitas Subtour : tour en el que se visita una localización más de una vez (o su base más de veces) Como eliminar subtours (son soluciones infactibles)? EJEMPLO Una pequeña empresa tiene un contrato para llevar a cabo varios trabajos de preparación de pinturas utilizando una máquina de alta velocidad. Cuando la máquina cambia de trabajo deba limpiarse por completo antes de realizar un trabajo diferente en el que la combinación de pinturas y colorantes sea distinta. En la tabla a continuación se muestran los tiempos de limpieza en minutos para todas las posibles secuencias de trabajos. El objetivo es minimizar la suma de todos los tiempos de limpieza eligiendo la mejor secuencia de trabajos. Trabajo

Modelos de programación entera

METODOS DE SOLUCION

Se requiere que una solución factible tenga valores enteros para alguna o todas las variables de decisión. La Región Factible no es una región contínua sino que está formada por puntos separados. Un Modelo de PE se llama Relajado si no se toma en cuenta la restricción de soluciones enteras. El modelo de PE relajado es el modelo de PL Redondear una solución de PL puede resultar en una solución lejos de la óptima ó en una solución No factible. No existe un procedimiento de analisis de sensibilidad para modelos de PE (tal como en PL). Tampoco se genera información sobre sensibilidad al usar la computadora. 3 MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA METODOS DE SOLUCION

  1. METODO GRAFICO Solo 2 variables
  2. REDONDEO DE LA SOLUCION DE PL No se asegura obtener la solución óptima En algunos casos se obtiene una solución muy lejos de la óptima
  3. ENUMERACION COMPLETA Si hay 2 variables binarias, 4 soluciones posibles Si hay 50 variables binarias, 2^50 soluciones posibles
  4. RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO (Branch & Bound)
  5. PLANOS DE CORTE (Strong Cutting Planes) 2.1 ENUMERACION COMPLETA EJEMPLO

2.2 REDONDEO DE LA SOLUCION DE PL

EJEMPLO:

La solución óptima de PE tiene un valor en Z que es 43% superior a la solución redondeada! Al redondear se debe tener en cuenta la magnitud las variables

Siempre verificar que la solución redondeada se mantenga factible 2.3 RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO (Land & Doig, 1960) RAMIFICAR (Un modelo de PL con solución no entera): Dividir la región factible en 2 regiones que

_- no contengan la solución del modeloPL relajado

  • sí contengan todas sus soluciones enteras factibles_ CRITERIO BASICO: Agregar restricciones a un modelo no puede producir un modelo con mejor solución Z PROCEDIMIENTO DE MAXIMIZACION
  1. Resolver Modelo PE relajado (Si solución es entera es la óptima)
  2. Definir Cotas Superior e Inferior Cota Superior (CS) = Modelo relajado Cota Inferior (CI) = Redondeo factible
  3. Ramificar
  4. Para cada nodo, resolver su modelo relajado y definir su CS y CI Si solución es entera, o Si solución es infactible, o Ya no ramificar Si Z  CI más el nodo
  5. Si ya no se puede ramificar la solución óptima es la del nodo con mejor solución entera
  6. Si se puede ramificar, volver al paso 3
  • La CI es igual a la mejor solución entera hasta el momento
  • La CS en un nodo es igual a Z encontrado
  • A medida que se ramifica y se desciende del árbol la CS tiende a disminuir