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PROGRAMAS QUE USAR EN SCILAB CONTROL DE PROCESOS
Tipo: Apuntes
1 / 15
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1. Problema 3.
Considérese el proceso de mezclado que se ilustra en la figura P3- l. Se puede
suponer que la densidad de los caudales de entrada y de salida son muy similares y
que los flujos
1 y
2 son constantes. Se desea saber cómo afecta cada
concentración de entrada la concentración de salida. Desarrollar el modelo
matemático, determinar las funciones de transferencia y trazar el diagrama de
bloques para este proceso de mezclado. Indicar las unidades de todas las ganancias y
las constantes de tiempo.
Solución
(1) Análisis del sistema y del proceso
Unidad de proceso: Mezclador
Asunciones
transversal del mezclador
cilíndrico constante.
zonas muertas).
(2) Cálculos de balance de materia y energía
Se consideró la ecuación general del balance molar (sin reacción química),
c
A
,
,
ft
D
,
ft
1
,
2
,
gpm c
A 2
,
mol
cm
3
c
A 1
,
mol
cm
3
Además, sean:
2
1
2
Donde
τ
se definió como la constante de tiempo, cuyas unidades son
[tiempo].
K
1
=
f
1
f
1
2
(11)
K
2
=
f
2
f
1
+f
2
(12)
Donde
1
y
2
se definieron como ganancias de estado estacionario y
son parámetros adimensional.
A continuación, se sustituyen las expresiones (10), (11) y (12) en la ecuación
(9),
τ
dC
A
( t )
dt
+C
A
( t )=K
1
C
A
1
(t ) +K
2
C
A
2
( t )
(13)
Se aplicó la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial,
τ sC
A
( s) +C
A
( s )=K
1
C
A
1
( s ) + K
2
C
A
2
( s)
( τs+ 1 ) C
A
( s )=K
1
C
A
1
( s )+ K
2
C
A
2
( s ) (14)
Se ordenó la ecuación (14) para, finalmente, obtener la siguiente forma:
C
A
( s) =
K
1
τs+ 1
C
A
1
( s ) +
K
2
τs+ 1
C
A
2
( s )
(15)
Si la concentración del componente A en el flujo de entrada 2 es constante,
entonces:
C
A
( s )
C
A
1
( s )
=
K
1
τs+ 1
(16)
Si la concentración del componente A en el flujo de entrada 1 es constantes,
entonces:
C
A
( s )
C
A
2
( s )
=
K
2
τs+ 1
(17)
a) Caso 1.
c
A
1
( t )
{
t< 0 → ¯
c
A
1
t≥ 0 →¯c
A
1
A
1
Entonces, se define:
C
A
1
( s) =Δcc
A
1
u ( t )
Cuya transformada de Laplace equivale a la siguiente expresión:
C
A
1
( s) =
Δcc
A
1
s (18)
La ecuación (18) se sustituyó en la ecuación (15),
C
A
1
( s) =
K
1
τs+ 1
Δcc
A
1
s
La función transformada se expresó en fracciones parciales,
C
A
( s) =−
K
1
Δcc
A
1
τ
τs+ 1
K
1
Δcc
A
1
s
Finalmente, se calculó su transformada inversa,
C
A
( t )= Δcc
A
1
K
1
−t / τ
(19)
La ecuación (19) se sustituyó en la ecuación (5),
Modelo dinámico del proceso
c
A
( t
¯
c
A
+Δcc
A
1
K
1
1 −e
−t /τ
(20)
La ecuación (20) establece la dependencia de la concentración del flujo de
salida en función del tiempo cuando existe una fuerza de forzamiento de tipo
escalón unitario en la concentración del flujo de entrada (1).
El valor en estado estacionario se calculó mediante el teorema del valor
final,
C
A
( ∞
) =lim
t →∞
Δcc
A
1
K
1
−t / τ
C
A
(
∞
)
=Δcc
A
1
K
1
c
A
(
∞
)
= ¯
c
A
A
1
K
1
(21)
Asimismo, el mismo valor pudo calcularse mediante la siguiente forma:
ΔcC
A
s→ 0
s
K
1
τs+ 1
Δcc
A
1
s
C
A
( 0 )=Δcc
A
1
K
1
b) Caso 2.
Debido a que el procedimiento en similar al Caso 1, solo se atinó a redactar
la transformada inversa considerando una función de forzamiento tipo
escalón:
C
A
( t )= Δcc
A
2
K
2
−t / τ
(22)
Se obtuvo, además, la expresión para la concentración en el flujo de salida
sustituyendo la ecuación (22) en la ecuación (5),
A continuación, se graficaron las respuestas del proceso frente a cambios en la
concentración de cada uno de los flujos de entrada en base a una fuerza de
forzamiento tipo escalón.
Se consideraron los siguientes valores relativos:
1
: 1,32 gpm
2
: 2,64 gpm
¯
c
A
1 : 0,100 mol/cc
¯c
A
2 : 0,200 mol/cc
D
: 3,28 ft
: 6,56 ft
A
(para ambos flujos): 0,
mol/cc
Tiempo, t [min]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Respuesta de salida
Gráfico 1. Respuesta de salida en función de la concentración del flujo (1).
El MATLAB proporcionó los siguientes resultados para el caso 1, ver Gráfico 1:
τ
: 104.80 min
1 : 0.
cc
Tiempo, t [min]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Respuesta de salida
Gráfico 2. Respuesta de salida en función de la concentración del flujo (2).
El MATLAB proporcionó los siguientes resultados para el caso 2, ver Gráfico 2:
τ
: 104.80 min
2 : 0.
cc
a) Obténgase la ganancia de estado estacionario, la constante de tiempo y el tiempo
muerto para este proceso.
b) La condición inicial de la variable
y
es
¿Cuál es el valor final de
para la función de forzamiento que se muestra en la figura?
Solución
Parte a)
Se tiene la ecuación del proceso,
−0,5 s
(25)
Asimismo, se recuerda la función de transferencia de primer orden más tiempo
muerto,
=
Ke
t
0
s
τs+ 1 (26)
Se ordenó la ecuación (25) en base a la ecuación (26),
−0,5 s
(27)
A partir de la ecuación (27), se determinaron los siguientes parámetros:
K=
15
(28)
τ
= 25 (29)
agua en el tiempo.
Adh(t )
dt
=q
i
−q
o
Adh(t )
dt
=K
1
α (t−Ɵ ) u ( t−a )−K
2
h(t)
AsH ( s )=K
1
e
−as
α ( s )−K
2
H (s)
H ( s )=
K
1
e
−as
α ( s)
As+ K
2
H (s )
α (s)
=
K
1
e
−as
As+K
2
×
K
2
K
2
H (s )
α (s)
=
K e
−as
As
K
2
⟹
H (s )
α (s)
=
K e
−as
τs+ 1
α (t )= At ; α ( s )=
A
s
2
H
( s
KA
τ
(
e
−as
s
2
(
s+
1
τ
)
)
h ( t )=
KA
τ
× τ
2
(e
−a−t
τ
− 1 +(
t−t
0
τ
))
h
( t
) = AKτ
(
e
a−t
τ
− 1 +
t−a
τ
)
u(t−a)
K= 15 ; τ= 25 ; a=0.
h
( t
) = 375 A
(
e
0.5−t
25
t−0.
25
− 1
)
u(t−0.5)
(30)
L
= 5 kmol/s;
α
= 2,5;
= 0,
Obtener la función de transferencia que relaciona la composición del líquido de
salida,
, con la composición de entrada,
. Determinar asimismo el valor
numérico de todos los términos de la función de transferencia.
Solución
Función de transformación X(s)/Z(s)
Balance total de moles: F-V-L =
dM
dT
= 0
V=F-V = 10 kmol/s -5 kmol/s = 5 kmol/s
Balance de los componentes volátiles: Fz(t) – Vy(t) – Lx(t)=
d ( Mx ( t) )
dT
(31)
y (t )=
∝ x (t)
∝ +( ∝ − 1 ) x (t)
Al inicio, en el estado estacionario: F ´z−V ´y−L ´x= 0 (32)
Restando (32) – (31) se tiene:
Z(t)= z(t) - ´z ; Y(t)= y(t) - ´y ; X(t)= x(t) -´x
Hacemos: a =
∝
∝ +( ∝ − 1 )
´ x
; cuando y(t)=ax(t) (33)
Sustituyendo (33) en (31):
Fz(t)-(Va+L)x(t) =
Mdx (t)
dt
Y usando la transformada de Laplace
X (s)
Z ( s)
=
K
τ. s+ 1
(34)
Donde:
K=
F
Va+ L
; τ =
M
Va+ L
Evaluando para ´x=x ( 0 )=0.4 :
a=
( 1 +1.5 x 0.4)
2
=0.
K=
10
5 ( 0.9766+ 5 )
=1.
τ =
500
5 ( 0.9766 )+ 5
=50.
una función de perturbación escalón.
Solución
Tomando en cuenta el dato:
= 0,
Para obtener la respuesta escalón ante un cambio de magnitud, se hace
, donde
representa la función escalón unitario en el tiempo
cero.
Como se tiene:
: Variable de salida
: Variable de entrada
Entonces:
(31)
La función escalón:
(32)
Se sustituyó la ecuación (32) en la ecuación (31),
(33)
Se aplicó la transformada de Laplace inversa,
− 1
[ X ( s ) ]=L
− 1
[
]
(
−t /τ
)
(34)
Los parámetros calculados,
K
= 1,
τ
= 50,
