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En los siguientes ejercicios del 1 al 12 establecer, por medio de una tabla de valores, si cada uno de los esquemas moleculares es contingente, tautológico o contradictorio:
- ~[~p→~ (~q ٨ ~p)] ٧~ (~p ٧ ~q) p q (^) ~[~p→~ (~q ٨ ~p)] ٧~ (~p ٧ ~q) V V F F V V F F F V V F F F V F F F V V V F F F F F V V F V F V V V F F V F F V V F F F V V F F V V V V F V V V
- [(p٧~q )٨ ~p)] ∆ ~ (~q →p) p q (^) [(p٧~q )٨ ~p)] ∆ ~ (~q →p) V V V V F F F F F F V V V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F V F F F F V V V V F V V F F
- ~ (p→q ) ↔ ~ (~q →~p) p q (^) ~ (p→q ) ↔ ~ (~q →~p) V V F VV V V F F V F V F V VF F V V V F F F V F FV V V F F V V F F F FV F V F V V V CONTINGENCIA CONTRADICCION TAUTOLOGIA
- [p →(q→ r )] ↔[(p٨ ~r ) →~q] p q r (^) [p →(q→ r )] ↔[(p٨ ~r ) →~q] V V V V V VV V V V F F V F V V F V F VF F V V V V F F V F V V V FV V V V F F V V V F F V V FV F V V V V V V F V V F V VV V V F F F V F F V F F V VF F V F F V V F F F V F V FV V V F F F V V F F F F V FV F V F F V V V
- [(p٨ ~q) ٨ (~p↔ r )] → (p٧ ~q )] p q r (^) [(p٨ ~q) ٨ (~p↔ r )] → (p٧ ~q )] V V V VF F F F F V V VV F V V F VF F F F V F V VV F V F V VV V F F F V V VV V V F F VV V V F V F V VV V F V V FF F F V V V V FF F F V F FF F F V F F V FF F F F V FF V F V V V V FV V F F F FF V F V F F V FV V TAUTOLOGIA TAUTOLOGIA
- ~{(p٨ q) ٧ [p٨ (~p ٧ q)]} ↔ (p→~q ) p q (^) ~{(p٨ q) ٧ [p٨ (~p ٧ q)]} ↔ (p→~q ) V V F VV V V VV F V V V V F F V F V VF F F V F F F F V V V V F V V FF V F FF V V V V F V F F F V FF F F FF V V F V F V V
- [p٨ (~q→ p)] ٨ ~[(p↔~q)→(q٧ ~p)] p q (^) [p٨ (~q→ p)] ٨ ~[(p↔~q)→(q٧ ~p)] V V VV F VV F F V F F V VV F V F VV V VV V V V V V F FF F F V FF F VF F F F V F V VV V F F FF V FF F F F F V V FV V 10.[~p٨ (q٧ ~r)] ↔ [(~p٨ q)٧ ~(p٧ r)] p q r (^) [~p٨ (q٧ ~r)] ↔ [(~p٨ q)٧ ~(p٧ r)] V V V F F VV F V F F V F F VVV V V F F F VV V V F F V F F VVF V F V F F FF F V F F F F F VVV V F F F F FV V V F F F F F VVF F V V V V VV F V V V V V F FVV F V F V V VV V V V V V V V FFF F F V V F FF F V V F F F F FVV F F F V V FV V V V F F V V FFF TAUTOLOGIA CONTINGENCIA TAUTOLOGIA
- [(p∆ ~q)٨ ~ (r٨ q)] ↔ ~[(p∆ ~q) →(q٨ r) p q r (^) [(p∆ ~q)٨ ~ (r٨ q)] ↔ ~[(p∆ ~q) →(q٨ r) V V V VV F F F VVV V F VV F V VVV V V F VV F V V FFV V V VV F F VFF V F V VF V F V VFF V F VF V V FFV V F F VF V F V FFF V F VF V V FFF F V V FF F F F VVV V F FF F V VVV F V F FF F F V FFV V F FF F V VFF F F V FV V V V VFF V V FV V F FFV F F F FV V V V FFF V V FV V F FFF
- {[(~p٨ r) → q] ↔ [~q↔ (p٧ r)]} ∆ {(p↔ q) ∆ (q٧~r)} p q r (^) {[(~p٨ r) → q] ↔ [~q↔ (p٧ r)]} ∆ {(p↔ q) ∆ (q٧~r)} V V V F FV V V F F F VVV F V VV F VVF V V F F FF V V F F F VVF F V VV F VVV V F V F FV V F V V V VVV V V FF F FFF V F F F FF V F V V V VVF F V FF V FVV F V V V VV V V F F F FVV V F FV V VVF F V F V FF V V V F V FFF F F FV V VVV F F V V VV F F F V V FVV F F VF V FFF F F F V FF V F F V F FFF F F VF F FVV TAUTOLOGIA CONTINGENCIA
C: [(r٨~q) → q] ↔ [(~q→ r)]…………FALSA p q (^) [(r٨~q) → q] ↔ [(~q→ r)] V V VF F V V V F V V V F FF F V V V F V F F V VV V F F F V V V F F FF V V F F V F F
- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Es necesario y suficiente que p y q sean falsos para que: ~(p٨r) → (q٧~r) sea falsa. b) Es necesario que q sea falsa y r verdadera para que: (p٨~q) →(~r٧~p) sea falsa. c) No es necesario que p y q sean verdaderas para que: ~ (p∆ q) ٧ (~p∆ ~q) sea verdadera. Solución: a) ~ (p٨r) → (q٧~r) sea falsa. ~ (p٨r) → (q٧~r)=F F V V=r ~(F) F F V F F *Necesariamente p y q tienen que ser falsos para que cumpla la condición. b) (p٨~q) → (~r٧~p) sea falsa. (p٨~q) → (~r٧~p)= F F=q V=r V V F F V F F *Necesariamente q tiene que ser falsa y r verdadera para que cumpla la condición.
c) ~(p∆ q) ٧ (~p∆ ~q) sea verdadera. ~(p∆ q) ٧ (~p∆ ~q)= V *No es necesario que p y q sean verdaderas porque q también puede ser falsa.
- Dados los esquemas lógicos: P= (p→q) ٨~(~p٨q) ; R=~ (~p↔q); Q=~ (p٧~q). Solución: P= (p→q) ٨~ (~p٨q) a. Aplicamos la condicional: P= (~p٧q) ٨~ (~p٨q) b. Aplicamos la negación: P= (~p٧q) ٨ (p٧~q) R= ~ (~p↔q) a. Aplicamos la bicondicional: R= ~ [(~p→q) ٨ (q→~p) b. Aplicamos la condicional: R= ~ [~ (~p٧q) ٨ (~q٧~p)] c. Aplicamos la negación: R= (~p٨~q) ٧ (q٨p)] R= [(~p٨~q) ٧ q] ٨ [(~p٨~q) ٧ p)] d. Aplicamos la absorción: R= (~p٧q) ٨ (~q٧p)] e. Aplicamos la conmutativa: R= (~p٧q) ٨ (p ٧~q)] Q=~ (p٧~q) a. Aplicamos la negación: Q=~p٨q) ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) P =R b) R =Q c) P= R d) Ninguna
V V F F
~(F)
V V
V
V F F V
~(V)
F V
V
V V F F
~(F)
V V
V
Ó
b) p∆ q = q∆ p: FALSA *Remplazamos en la tabla de valores:
- p∆ q * q∆ p p q r (^) (p٨ ~q) ٧ [(p٨ r) ٨ ~q] (q٨ ~p) ٧ [(q٨ r) ٨ ~p] V V V VF F F VVV F F VF F F VVV F F V V F VF F F VFF F F VF F F VFF F F V F V VV V V VVV V V FF F F FFV F F V F F VV V V VFF F V FF F F FFF F F F V V FF F F FFV F F VV V V VVV V V F V F FF F F FFF F F VV V V VFF F V F F V FF V F FFV F V FF V F FFV F V F F F FF V F FFF F V FF V F FFF F V c) q∆ t = q٨ ~t: FALSA
- q∆ t * q∆ ~t p t r (^) (q٨ ~t) ٧ [(q٨ r) ٨ ~t] (q٨ t) ٧ [(q٨ r) ٨ t] V V V VF F F VVV F F VV V V VVV V v V V F VF F F VFF F F VV V V VFF F V V F V VV V V VVV V V VF F F VVV F F V F F VV V V VFF F V VF F F VFF F F F V V FF F F FFV F F FF V F FFV F V F V F FF F F FFF F F FF V F FFF F V F F V FF V F FFV F V FF F F FFV F V F F F FF V F FFF F V FF F F FFF F F d) p∆~q = p٨ (~p ٧ q): FALSA
- p∆~q p q r (^) (p٨ q) ٧ [(p٨ r) ٨ q] V V V VV V V VVV V v V V F VV V V VFF F V V F V VF F F VVV F F
V F F VF F F VFF F F
F V V FF V F FFV F V
F V F FF V F FFF F V
F F V FF F F FFV F V
F F F FF F F FFF F F
- p٨ (~p ٧ q) p q r (^) (p٨~q) ٧ [(p٨ r) ٨ (P٨~q)] V V V VF F F VVV F VF F V V F VF F F VFF F VF F V F V VV V V VVV V VV V V F F VV V V VFF F VV V F V V FF F F FFV F FF F F V F FF F F FFF F FF F F F V FF V F FFV F FF V F F F FF V F FFF F FF V 18.Dada la siguiente información: pq = (~p→q) ٨ (~q↔p); p# q= (~p↔q) ٧ (~q→p) Evaluar la fórmula: [(p q) ٨ (q٧ r)] → (~p# q) Solución: [(p* q) ٨ (q٧ r)] → (~p# q) (p* q)= (~p→q) ٨ (~q↔p) (~p# q)= [(p↔q) ٧ (~q→~p)] /Remplazamos en la fórmula: {[(~p→q) ٨ (~q↔p)] ٨ (q٧ r)} ↔ [(p↔q) ٧ (~q→~p)] /Evaluamos el esquema:
b) Si la disyunción de A y B implica a C. p q r (^) (p∆~q ) ٧ (p٨~r) → ~(q٨~r) V V V VV F V VF F V V VF F V V F VV F V VV V F F V V V V F V VF V F VF F V V F F F V F F VF V V VV V V V F F V F V V FF F V FV F V V V F F F V F FF F V FV V F F V V V F F V FV V V FV F V V F F F F F F FV V V VV V V V F F V *La disyunción de A y B no implica a C.
- Determinar si cada una de las proposiciones que aparecen a continuación implica a K = ~ (p ٨ q) ٧~r. A= p↔~ (q٨r) ; B= (q ٨~r) ; C= ~p∆~r Solución: a) A implica a K: p q r (^) p↔~ (q٨r) → ~ (p ٨ q) ٧~r V V V VV V FFV F F VVV F F V V F VV V FFF V F VVV V V V F V VF F VVV V V VFF V F V F F VV V VFF V V VFF V V F V V FF V FFV V V FFV V F F V F FF V FFF V V FFV V V F F V FV F VVV V V FFF V F F F F FF V VFF V V FFF V V *A no implica a K
b) B implica a K: p q r (^) (q ٨~r) → ~ (p ٨ q) ٧~r V V V VF F V F VVV F F V V F VV V V F VVV V V V F V FF F V V VFF V F V F F FF V V V VFF V V F V V VF F V V FFV V F F V F VV V V V FFV V V F F V FF F V V FFF V F F F F FF V V V FFF V V *B si implica a K. c) C implica a K: p q r (^) (~p∆~r) → ~ (p ٨ q) ٧~r V V V FF F V F VVV F F V V F FV V V F VVV V V V F V FF F V V VFF V F V F F FV V V V VFF V V F V V VV F V V FFV V F F V F VF V V V FFV V V F F V VV F V V FFF V F F F F VF V V V FFF V V *C si implica a K.
- Sean las siguientes proposiciones: M= (p→~q)٨(r→p); S=[~(~p٧q)] ٨ q; L= q→~r , analizar: a) M implica a L b) M implica a S
Evaluar las formulas: a) (p→q) 𝜃 (q # r) b) (q ٨ r)#( (r ٨ q) c) (m↔n)*(n # q) d) (~n𝜃~q)#(q * n) Solución: a) (p→q) 𝜃 (q # r) *(q # r)= (p # q) *(p→q) 𝜃 (p # )= p 𝜃 q p q (^) (p→q) 𝜃 (q # r) V V V V F V F F F F F V V V F F F V F V b) (q ٨ r)#( (r ٨ q) (q ٨ r)#( (r ٨ q)= (p # q) p q (^) (q ٨ r)#( (r ٨ q) V V V F V V F F V F F V F V F F F F V F c) (m↔n)(n # q) (n # q)= (p # q) (m↔n)(p # q)= (p * q) p q (^) (m↔n)(n # q) V V V V F V F F V F F V F V F F F V F V
d) (~n𝜃~q)#(q * n) *(~n𝜃~q)= ~(n𝜃q) *(q * n)= (p * q) *~(n𝜃q)# (p * q)= (p * q) p q ~(n𝜃q)#(p * q) V V V F F V F F F V F V F F V F F V F V
