Proyecto de álgebra lineal | Ejercicios de Álgebra

LA SERIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRICA

Fecha de entrega: lunes 28 de noviembre.

Integrantes:

Martinez Derramadero Roberto

Linares Veloz Samara Abigail

Gasca Ugalde Orlando

El proyecto consiste en aplicar los conocimientos obtenidos en el tema de espacios vectoriales:

conjuntos o bases de vectores ortogonales y extrapolarlo a funciones.

Objetivos:

•Conocer su contexto histórico.

•Obtener las fórmulas para las series de Fourier.

•Expresar una función periódica en términos de series senoidales y/o cosenoidales.

•Conocer las aplicaciones de la serie y transformada de Fourier en la ingeniería.

1. ¿Quién fue Fourier?

Jean-Baptiste Joseph Fourier [Auxerre (Francia), 1768 – París, 1830]. Matemático y científico francés.

Elaboró un método matemático para determinar la conducción del calor mediante la descomposición de

funciones periódicas en series trigonométricas convergentes

2. Menciona un poco de la historia de las series de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y

continua. Puede ser solo a trozos de funciones (por partes), pero continúa en esas partes. Las series de

Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar

funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones

sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El

nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando

estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus

resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis

armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente

útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica,

óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los

sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una

señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al

uso de un analizador de espectro.

Las series de Fourier tienen la forma:

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LA SERIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRICA

Fecha de entrega: lunes 28 de noviembre. Integrantes: Martinez Derramadero Roberto Linares Veloz Samara Abigail Gasca Ugalde Orlando El proyecto consiste en aplicar los conocimientos obtenidos en el tema de espacios vectoriales: conjuntos o bases de vectores ortogonales y extrapolarlo a funciones. Objetivos:

Conocer su contexto histórico.
Obtener las fórmulas para las series de Fourier.
Expresar una función periódica en términos de series senoidales y/o cosenoidales.
Conocer las aplicaciones de la serie y transformada de Fourier en la ingeniería. 1. ¿Quién fue Fourier? Jean-Baptiste Joseph Fourier [Auxerre (Francia), 1768 – París, 1830]. Matemático y científico francés. Elaboró un método matemático para determinar la conducción del calor mediante la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes 2. Menciona un poco de la historia de las series de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua. Puede ser solo a trozos de funciones (por partes), pero continúa en esas partes. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectro. Las series de Fourier tienen la forma:

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo iii a. C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo. La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier. Desde un punto de vista más actual, los resultados de Fourier son algo informales debido a la falta de precisión en la noción de la función matemática y la integración a inicios del siglo xix. Después, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad. Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado. Forma compacta En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

Formulación general Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x. Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo". Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

3. Investigar que son las funciones ortogonales. El conjunto de funciones seccionalmente continuas definidas sobre un intervalo [a, b], con la suma de funciones y el producto de una función por un número real es un espacio vectorial. Así como en los espacios vectoriales V2 y V3 está definido el producto escalar, que se utiliza para definir analíticamente la noción de vectores perpendiculares o vectores ortogonales, en forma más general se define en los espacios vectoriales el producto interior, extendiendo el concepto de ortogonalidad a elementos cuyo producto interior es nulo. 4. Investigar que son las funciones ortonormales.

Un conjunto ortogonal de funciones go, g1,g2,......... en el intervalo a<t<b, tal que cuyas funciones tiene norma 1 satisface las relaciones: un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjunto “ortonormal” de funciones en el intervalo a<t<b.

**5. Demostrar que las siguientes funciones son ortogonales.

¿Qué es una función periódica y da ejemplos?** Las funciones periódicas son funciones que se comportan en una manera cíclica (repetitiva) sobre un intervalo especificado (llamado un periodo). La gráfica se repite a sí misma una y otra vez así como es trazada de izquierda a derecha.

8. Obtener la serie de Fourier y graficar el resultado

9. ¿Qué es una función par y sus propiedades? Una función es para si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ). Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y. 10. ¿Qué es una función impar y sus propiedades? Una función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen. 11. Demostrar la serie de Fourier para una función par definidas entre (-p, p)

12. Mencionar aplicaciones de la Serie de Fourier. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc. 13. ¿Qué es la transformada de Fourier? Mencionar sus aplicaciones. La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Uso en ingeniería. La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

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