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APUNTES
SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
PUNTO RECTA PLANO
El presente documento es un fragmento, consistente en páginas bajo licencia de creative commons, de la obra
SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL. FUNDAMENTOS Y PROCEDIMIENTOS
FORMATO DIGITAL Primera edición, diciembre de 2019. ISBN: 978-84-09-17555- Texto, imágenes, maquetación y edición: Joaquim García | www.laslaminas.es | [email protected]
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TÍTULO DE PÁGINA
APUNTES
SDO INTRODUCCIÓN
ALFABETO DEL PUNTO
ALFABETO DE LA RECTA
RECTA, PERTENENCIAS Y TRAZAS
ESTUDIO DE VISIBILIDAD DE LA RECTA
ALFABETO DEL PLANO
EL PLANO, PERTENENCIAS 3: EL PLANO, PERTENENCIAS 4: POLÍGONOS MÁXIMA INCLINACIÓN Y MÁX. PENDIENTE
EL PLANO, PERTENENCIAS 1
EL PLANO PERTENCIAS 2
3ª PROYECCIÓN DEL PUNTO Y LA RECTA
TIPO DE CÓDIGO LICENCIA
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SDO_PRP5d
SDO_PRP6d
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SDO_PRP8d
SDO_PRP9d
SDO_PRP10d
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SDO_PRP1d
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SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
INTRODUCCIÓN
El sistema diédrico es un método gráfico que se encarga de representar sobre un plano
figuras o cuerpos de dos o tres dimensiones. Se trata de un conjunto de reglas o principios
aplicados a dos planos perpendiculares sobre los que se proyectan los objetos (puntos, rectas,
curvas o figuras).
Este metodo que fue mecanizado, desarrollado o estudiado en 1799 por el geómetra Gaspard
Monge , considerado el padre de la geometría descriptiva.
FUNDAMENTOS
El sistema diédrico tiene como base fundamental dos planos de proyección que forman cuatro ángulos rectos y
cuatro cuadrantes. A estos planos los llamamos Plano Horizontal (PH) y Plano Vertical (PV) , ambos se cortan en
una recta llamada Línea de tierra (LT).
Todos los elementos (puntos, aristas, cuerpos) se representan mediante sus dos proyecciones.
Las proyecciones son Cilíndricas : todos los rayos proyectantes son paralelos entre sí.
Las proyecciones son ortogonales : los rayos proyectantes forman siempre 90º respecto a los planos de
proyección.
Para poder representar el diedro en dos dimensiones, es decir sobre un plano, el plano horizontal de proyección se abate sobre el vertical, usando como charnela (eje de giro) la línea de tierra, llevando con él todas sus proyecciones de los elementos en el espacio. (ver los cuatro dibujos arriba)
COORDENADAS
Para situar los puntos se emplean las coordenadas. Primero estudiaremos los nombres de las distintas
coordenadas:
La lateralidad : (x) es la situación (derecha o izquierda) del punto respecto a la linea de tierra.
El Alejamiento : (y) es la distancia existente entre el punto y el plano vertical de proyección.
La Cota : (z) es la distancia existente entre el punto y el plano horizontal de proyección (la altura).
Así, un punto siempre se situa de la siguiente manera P(x,y,z), o lo que es lo mismo P (lateralidad, alejamiento,
cota). Por ejemplo: P( -2, 3,4).
NOMENCLATURAS
Para nombrar los puntos en el espacio usamos las letras
mayúsculas P
Para nombrar las proyecciones horizontales usamos
letras minúsculas: p
Para nombrar las proyecciones verticales usamos letras
minúsculas seguidas de ' :p'.
Este es el sistema de nomenclatura que usamos en el
levante español, en honor al profesor de geometría Don
Enrique Bonet. En otras zonas o ejercicios se emplean el
(p 1 , p 2 ), o el (p', p"), o estas mismas pero con letras
mayúsculas para las proyecciones. De cualquier modo
siempre la nomenclatura de las proyecciones verticales
suele tener "mayor carga".
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L1 L
SDO_PRP3d
A la izquierda se encuentra la recta de perfil, la más particular de todas.
Debido a su posicion relativa respecto a los planos de proyección no se puede observar correctamente con solo dos vistas.
Esta circunstancia hace necesario un plano de perfil, sobre el cual se proyecta una tercera vista de la recta que permite observar su inclinación respecto a PV y PH.
RECTA OBLICUA O CUALQUIERA
RECTA HORIZONTAL (paralela al plano horizontal) (^) RECTA FRONTAL (paralela al plano vertical)
RECTA PARALELA A LT
RECTA DE PUNTA RECTA VERTICAL
RECTA DE PERFIL
En este "alfabeto" se pueden observar todos los tipos de recta que podemos encontar en el sistema diédrico. Todas están representadas con una perspectiva caballera (izq.) y junto a ella la representación en diédrico (dcha.).
En diédrico, una recta se representa mediante sus proyecciones horizontal y vertical.
A la izquierda se puede observar una recta paralela a la línea de tierra la cual no tiene trazas.
Abajo las rectas vertical y de punta, las cuales sólo tienen una traza sobre uno de los planos de proyección. Las rectas frontales y horizontales también tienen una única traza..
SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
ALFABETO DE LA RECTA
r'
r
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h
v'
v
v'
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t' T
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h' (^) h
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t h
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n (^) h
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v h'
h
b''
v''
h''
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L18 L
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A la derecha vemos el mismo dibujo, esta vez representado en sistema diédrico.
SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
RECTA, PERTENENCIAS Y TRAZAS
Un punto pertenece a una recta si ambas proyecciones del punto están sobre ambas
proyecciones de la recta.
v
v'V
a' A
r’
a r
B
R
b'
b
c' C
c h' Hh
A la izquierda observamos una serie de puntos, en mayúsculas (en el espacio, sobre la recta), También vemos sus proyecciones sobre las proyecciones de la recta.
LAS TRAZAS DE UNA RECTA
Las trazas de una recta son los puntos de la recta que cortan a los planos de proyección.
Una recta puede tener dos trazas: La traza horizontal H (h'h), es el punto en que la recta corta el plano horizontal de
proyección. La traza vertical V (v v') es el punto en que la recta corta el plano vertical de proyección.
No todas las rectas tienen dos trazas, una recta puede tener solo una traza si es paralela a algún plano de proyección, o ninguna si es paralela a ambos.
RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL (^) RECTA PARALELA A LT
v
v'
h'
h
ENCONTRAR LAS TRAZAS DE UNA RECTA
Muchas veces nos encontraremos con segmentos que no se cortan con los planos de proyección pero, por necesidades del ejercicio, necesitaremos encontrar las trazas de la recta a la cual pertenece el segmento.
a
a'
b'
b
a
a'
b'
b
1º- Prolongaremos ambas proyecciones hasta encontrar la línea de tierra. Las prolongaremos desde ambos extremos.
2º- Desde esos puntos de corte con la LT trazaremos perpendiculares a LT hasta que corten las otras proyecciones.
Los puntos de corte con la línea de tierra y de la perpendicular con la otra proyección son las trazas de la recta.
El punto de la recta con cota 0 es la traza horizontal , H(h,h’).
Mientras que el punto de la recta con alejamiento 0 es la traza vertical de la recta, V(v,v’).
Ambos puntos, como todos en diédrico, tienen dos proyecciones.
A la izquierda se puede observar todo esto representado en perspectiva caballera.
En geometría descriptiva una recta se puede definir de dos formas :
1º- Dos puntos describen una recta.
2º- La intersección de dos planos también define una recta.
Vemos como los puntos pertenecientes a la recta tienen sus proyecciones sobre las proyecciones homómimas (”con el mismo nombre”, vertical u horizontal) de la recta.
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SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
3ª PROYECCIÓN DEL PUNTO Y LA RECTA
TERCERA PROYECCIÓN DE UN PUNTO Si bien en sistema diédrico contamos con la proyección vertical y la proyección horizontal como las vistas principales y necesarias del sistema, en algunos casos podemos necesitar observar los elementos (principalmente rectas y planos) en una tercera proyección auxiliar. En primer lugar vamos a estudiar la tercera proyección con un punto genérico en el 1er cuadrante:
PV
PH
p
p' p''
La operación consiste en trazar un plano de perfil , podemos hacerlo en la lateralidad que más nos convenga, a la izquierda o a la derecha. En la mayoría de los casos nos conviene apartarlo para poder tener la zona de las proyecciones horizontal y vertical despejada.
1- Una vez hemos trazado el plano de perfil proyectamos sobre este, ortogonalmente, el punto (este quedará a la misma cota).
2- Para hacerlo debemos proyectar sobre el plano de perfil la proyección horizontal y la vertical.
3- Finalmente abatimos el P. de perfil sobre el PH de proyección empleando como charnela (eje de giro) la traza vertical del plano de perfil.
p'
p
p'
p
p'
p
p''
La mecánica siempre es la misma. Hay que andarse con ojo cuando el punto a proyectar en tercera proyección cambia de cuadrante pues, aunque el método no cambia si que cambia, la disposición y el sentido del abatimiento. Veamos abajo que sucede cuando hacemos la tercera proyección de un punto en el tercer cuadrante.
Como se observa a la izquierda el arco, que representa el abatimiento del plano de perfil, en este caso se encuentra sobre la línea de tierra y a la izquierda del plano de perfil. Esto se debe a que el abatimiento siempre afecta al alejamiento y no a la cota, que permanece al ser el abatimiento del plano de perfil sobre el plano vertical de proyección.
Como se observa en ambos puntos (1er cuadrante arriba y 3er cuadrante a la izquierda) las trazas de plano de perfil auxiliar ayudan a ver el punto como si estuvieramos observando el sistema, propiamente dicho, de perfil.
Para observar una recta en tercera proyección deberemos llevar a la tercera proyección dos puntos pertenecientes a esta.
En realidad las únicas rectas que, en sí mismas, necesitan de una tercera proyección en el sistema diédrico son las rectas de perfil, que por su naturaleza no se pueden observar bien en las dos proyecciones más convencionales (PH y PV).
p'
p
q'
q
r'
r
p'
p
p''
q' q''
q
r'
r
1º- Trazamos el plano de perfil auxiliar, proyectamos los dos puntos en él y lo abatimos sobre el vertical, de este modo ya observamos las terceras proyecciones de ambos puntos.
2º-Trazamos la recta r", así podemos observar su inclinación respecto a ambos planos de proyección e incluso observar sus trazas vertical y horizontal que podemos llevar a las dos proyecciones corrientes.
A la derecha observamos como se ha llevado a cabo el mismo procedimiento de las ilustraciones arriba de estas líneas, pero en este caso trazando el plano auxiliar de perfil de modo que contiene a la propia recta de perfil esto puede ahorrar espacio y en algunos casos es aconsejable, pero en muchos otros, la mayoría de los problemas, suele ser más indicado sacar la tercera proyección a un lado para que no se confunda con el resto del problema.
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p'
p
p''
1ER CUAD
2º CUAD
3er CUAD
4º CUAD
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L2gh L3fg L6 L7f
L6 L
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PLANO OBLICUO, GENÉRICO O CUALQUIERA
PLANO HORIZONTAL (paralelo al plano horizontal) PLANO FRONTAL (paralelo al plano vertical)
PLANO DE PERFIL
PLANO PROYECTANTE VERTICAL O DE CANTO PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL
PLANO PARALELO A LT
En este "alfabeto" se pueden observar todos los tipos de plano que podemos encontar en el sistema diédrico. Todos están representados con una perspectiva caballera (izquierda) y junto a ella la representación en diédrico (derecha).
A la izquierda vemos el tipo de plano más común.
Abajo dos planos: "paralelo a la LT" y que "contiene a LT" Debido a su posición relativa respecto a los planos de proyección no se puede observar, u operar con ellos, correctamente con solo dos proyecciones. Esta circunstancia hace necesario un plano de perfil sobre el cual se corta proporcionando una tercera vista del plano que permite observar su inclinación respecto a PV y PH. Los planos que contienen a la LT se representan con un punto contenido en el un trazo a cada lado de la línea de referencia que une las proyecciones. Estos planos también son muy susceptibles de ser representados en tercera proyección.
SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
ALFABETO DEL PLANO
Un plano se representa mediante sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas
intersección del plano con los planos de proyección.
Mientras al punto en el espacio le dábamos nombre con una letra mayúscula y a sus proyecciones con
la minúscula y minúscula prima, A(a,a'), a un plano lo nombraremos siempre con mayúsculas, P(PP').
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P
P'
Q
O
L'
L
N'
N
K'
K
Y'
Y
Y''
PLANO QUE CONTIENEA LT
W''
Abajo a la izquierda podemos observar un plano de perfil cuyas trazas forman una línea perpendicular a LT. Este tipo de plano es, más que nada, muy útil para representar puntos, rectas, planos y cuerpos con una tercera proyección.
a'
a
W' W
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SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
EL PLANO PERTENCIAS 2
CASO 4: Dos rectas paralelas definen un plano Se trata en realidad del mismo caso que el primero, ya que podemos elegir dos puntos pertenecientes a la recta que delimitan el tercer segmento de un triángulo cuyos vértices son estos dos extremos del segmento y el otro punto, no perteneciente a la recta.
Determinar las trazas del plano que contiene a las rectas R y S.
v'
v
h'
h
r'
r
s'
s
1- Hallamos las trazas de la recta R. 2- Hallamos las trazas de la recta S. 3- Unimos las h ( proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas) de ambas rectas y las v’ (proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas).
Trazar las trazas del plano que contiene a las rectas r y s. En este caso ambas rectas son paralelas a LT
r'
r
s'
s
r'
r
s'
s
1-Trazamos un plano de perfil que corta a todas las proyecciones de ambas rectas. Abatiendo este y sus intersecciones con las dos rectas podremos visualizar mejor el plano que buscamos.
2- Respresentamos las rectas sobre el plano de perfil abatido esta tercera proyección serán los puntos r’’ y s’’.
r'
r
s'
s
La mayoría de problemas en sistema diédrico requieren contener rectas en planos, hacer pasar rectas por puntos o planos por puntos.
Si necesitamos contener una recta en un plano o un punto en un plano los planos proyectantes nos sirven para este fin de manera rápida y limpia.
PASAR PLANOS PROYECTANTES POR RECTAS.
Trazar un plano proyectante vertical u horizontal que contenga a una recta cualquiera
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4º- Por v’’ trazamos una recta horizontal que será la traza horizontal desabatida, P’. Llevamos, con el compás, la distancia del alejamiento de h’’ sobre el plano de perfil inicial y a partir de esta distancia trazamos una horizontal que será la traza horizontal desabatida.
3- Trazamos la recta que une r’’ con s’’. Esta representa al plano buscado de perfil. El punto v’’ representa su traza vertical y el punto h’’ la horizontal.
Los planos proyectantes reciben dicha denominación porque todo lo que contienen queda proyectado en la traza proyec- tante. Por ejemplo: todos los puntos, rectas y figuras planas contenidas en un plano proyectante vertical se proyectarán sobre su traza vertical, la otra traza es siempre prependicular a la LT. Dicho esto, es sencillo trazar planos planos proyectantes que contengan a rectas oblicuas haciendo coincidir una de las proyecciones de la recta con la traza homónima del plano.
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SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL:
EL PLANO, PERTENENCIAS 3:
R. FRONTALES Y HORIZONTALES
Hallar la proyección horizontal del punto A, del cual conocemos su proyección vertical a',
perteneciente al plano P.
a'
P'
P
La mayoría de problemas en sistema diédrico requieren contener rectas en planos, hacer pasar rectas por puntos, o planos por puntos.
Si necesitamos contener una recta en un plano el tipo de recta idóneo para ello son las rectas horizontales y las frontales. Estas en la mayoría de ocasiones sirven para nuestros propósitos dentro del problema y se contienen en los planos de forma limpia y rápida.
CONTENER RECTAS HORIZONTALES Y FRONTALES EN PLANOS.
Contener una recta horizontal en un plano oblícuo
P'
P
P'
P
r'
P'
P
v' r'
v
Contener una recta frontal en un plano oblícuo
P'
P
r h
h'
P'
P
r
P'
P
1º- Trazamos la proyección vertical de la recta R, r’, (si nos piden alguna cota particular lo haremos a esa distancia de LT). Esta proyección en este tipo de recta es siempre paralela a LT, horizontal. 2º- En la intersección de r' con P' se encuentra v' (traza vertical de la recta R) trazamos por v' una perpendicular a LT hasta cortarla, en esta intersección se encuentra v (proyección horizontal de la traza vertical de la recta R). 3º- Por v trazamos una paralela a P (traza horizontal del plano).
1º- Trazamos la proyección horizontal a de la recta R, r, (si nos piden algún alejamiento particular lo haremos a esa distancia de LT). Esta proyección en este tipo de recta es siempre paralela a LT, horizontal.
2º- En la intersección de r con P se encuentra h (proyección horizontal de la traza horizontal de la recta), trazamos por h una perpendicular a LT hasta cortarla, en esta intersección se encuentra h' (proyección vertical de la traza horizontal de la recta R).
3º- Por h' trazamos una paralela a P' (traza vertical del plano).
APLICACIONES O PROBLEMAS BÁSICOS
Hallar la traza vertical P' del plano P, del cual conocemos su traza horizontal P y que contiene al
punto A(a',a)
a'
P
a
1º- Trazamos una recta horizontal cuya traza vertical pasa por a'.
2º-Trazamos una perpendicular a LT por a', donde esta corta a la proyección horizontal de la recta encontramos a.
1º- Trazamos una recta frontal cuya traza horizontal pasa por A(a,a’).
A partir de h' (proyección vertical de la traza horizontal de la recta) trazamos la proyección vertical de la recta por a'.
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2º- Trazamos una paralela a la proyección vertical de la recta, a partir de la intersección de la traza horizontal del plano con LT.
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