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Contenido Nº 4: Teorema de Pitágoras y Euclides Reseña histórica: Pitágoras Es considerado el primer matemático. Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol. El teorema de Pitágoras se aplica en un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene las siguientes características: Los lados que conforman el ángulo recto se llaman catetos: en la figura corresponden a: a y b El lado que se opone a al ángulo recto se llama hipotenusa: en la figura es: c. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.
Así, su Perímetro que corresponde a la suma de sus lados será: P a b c
y su Área será el producto de los catetos dividido por dos, es decir, 2 2 b · c a ha A El Teorema de Pitágoras es uno de los Teoremas más conocidos de las matemáticas y uno de los más estudiados y como sabemos, fue propuesto por el matemático y filósofo griego Pitágoras de Samos. “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es iguala la suma de los cuadrados de los catetos” Actividad de nivel básico a b c
5. Utilizando tríos pitagóricos en triángulos rectángulos. Completa la información del triángulo rectángulo de la figura, utilizando tríos pitagóricos: a) Si ^ ^ h^ p a (^108) b) Si ^ ^ h^ q b (^135) c) Si ^ ^ b^ c a 53 d) Si ^ ^ ^ h^ p a (^178) e) Si ^ ^ h^ q 247 b f) Si ^ ^ h^ p 2410 a g) Si ^ ^ ^ h^ p 3016 a h) Si ^ ^ ^ b c a (^129)
Georgina Salas Dinamarca Marco Pitriqueo Soluciones: h=6; h=12; b=4; h=15; b=25; a=26: a=34; c= Aplicación del teorema de Pitágoras a la geometría 1.- Diagonal de un cuadrado de lado a La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por Demostración: Utilizando el teorema de Pitágoras: d^2 = a^2 + a^2 d^2 = 2a^2 / 2.- Altura de un triángulo equilátero de lado a La altura de un triángulo equilátero equivale a la mitad del lado por Demostración: Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras: Así su área será: Actividad de nivel intermedio
a^2
A
a
a h^ a
A
base altura
A
Actividad de nivel avanzado
1. Aplicando el Teorema de Pitágoras en la vida real, en problemas de de selección múltiple, contextualizados de PSU. 1. Si la medida de la diagonal de un cuadrado es (^5 2) .. cm , entonces la medida de su perímetro en cm es: a) 5 b) 10 c) 20 d) 25 e) 40 2. La diagonal de un cuadrado mide 4 8 .. cm. Entonces su Área en cm^2 mide: a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 3. Si un volantín ha quedado enredado en un poste de 12m de altura y el niño que lo tenía ha dejado el carrete en el suelo a 5m de este, calcule cuánto hilo en m pierde si lo corta. a) 7 b) 13 c) 17 d) 26 e) 34 4. Para rescatar a un joven de un piso superior de un edificio los bomberos deben usar una escalera de 25m de largo. Sin embargo, sólo pueden acercarse a 7m de la base del edificio por efectos del fuego. ¿Cuál es la altura máxima h en m que alcanzan con la escalera? 5. El tamaño de los televisores que se mide en pulgadas equivale a la longitud de su diagonal. ¿Si un televisor de un tamaño de 7 pulgadas de ancho por 24 pulgadas de alto, ¿cuál será su clasificación en pulgadas? 6. Una escalera está ubicada a 8m de una pared. Si la altura que alcanza en el muro es 15m ¿cuánto vale la longitud en m de la escalera?
Página 7
12m 5m hilo 7m 25m h x 8m 15m
7. Si el área de un triángulo equilátero es 25 3 m^2 , entonces la medida de su lado es:
a) 10 b) 25 c) 50 d) 100 e) 200
8. Un rombo de lado a 10 cm posee una diagonal de longitud f^ ^12 cm. Su área en cm^2 mide:
Nota: En el Rombo , las diagonales se dimidian y se cruzan formando un ángulo recto de 90 grados. Además su área se puede calcular por la multiplicación de las diagonales partido dos, es decir,
e · f
A
a) 48 b) 96 c) 8 d) 16 e) 192
9. Si el área de un triángulo equilátero mide 25 3 m^2 , entonces su lado mide: E) 50 3 m D) 20 3 m C) 100 m B) 10 m A) 5 3 m 10. En la figura ABCD es un rombo cuyas diagonales DB^ y ACmiden 12 y 16 cm respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del rombo? a) 10 cm b) 20 cm c) 24 cm d) 40 cm e) 96 cm Respuestas:^1 C^ ,^2 D ,^3 B ,^4 E ,^5 A ,^6 C ,^7 A ,^8 B ,^9 B ,^10 D Teoremas de Euclides Euclides Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.
a b c p q h Perímetro Área 8 cm 10 cm 8 cm 2 cm 10 cm 4 cm Respuestas: Fila 1: (^) ^ ^ ^ ^ ^ 24244 ,^82 63 ,, 46 6 PA cm cm hq^ cm cm ap cm cm c Fila 2: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1020 62 5 44 5 (^1025) PA cm cm ha cm^ cm bc^ cm cm c (^) Fila 3: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 10102 662 152 2 10 (^221015) 6 PA cm cm ha cm^ cm bp^ cm cm c Actividad de nivel intermedio Resolver los siguientes ejercicios aplicando los Teoremas de Euclides y Pitágoras cuando sea necesario, en forma directa y con el completo desarrollo en su cuaderno: Dada la siguiente figura: Resuelve los siguientes ejercicios:
1. CD = 6 cm.; AD = 3 cm; área del triángulo ABC es: R: 45cm^2 2. AD = 3,6 cm.; BD = 6,4 cm.; AC es: R: 6cm 3. BD = 4 m.; AB = 16 m.; BC es: R: 8m 4. AD = 4 cm.; BD = 9 cm.; CD es: R: 6cm 5. AD = 16 cm.; AB = 52 cm.; CD es: R: 24cm 6. AB = 12 cm.; AD = 9 cm.; BC es: R: 6cm 7. AC = 6 cm.; BC = 8 cm ; CD es: R: 4,8cm
A D
C
B
8. CD = 2 m.; AC = 5 m.; AD es: R: 1m 9. AD = 9 cm.; AC = 15cm.; área del triángulo ABC es: R: 150cm^2
10. AC = 12 cm.; BC = 9 cm.; CD es: R: cm
Actividad de nivel avanzado Aplicando Teoremas de Euclides y Pitágoras en problemas de selección múltiple, contextualizados de PSU.
11. ABCD: rectángulo. Si , la medida de DE es: a) 10. b) 3, c) 4, d) 10 e) 23, 12. En la figura, AD = 1 cm y AB = 4 cm. la medida de CD es: a) b)
c) 3
d) e)
13. En la figura, AD = 4 cm y DB = 5 cm, entonces CB es: a) 2
b) 3 5 c) d) e)
14. En la figura, AC = y CB = , entonces CD = a) 1 b) 2 c) 3 d) 3, e) 4 15. ABFD es un cuadrado de lado 4 cm y. Si CF = 1 cm, entonces AC mide a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 7 cm
c) 7 d) 5 e) Ninguna de las anteriores
22. En el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura adjunta, CD es la altura relativa a la hipotenusa. BC = 5 cm y DB = 4 cm, entonces AC = 5 cm 2
E )
D) 4 cm cm 4
C )
cm 2
B )
A) 3 cm
23. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 y 21 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? E) 3 14 y 21 D) 3 14 y 6 C) 16 y 56 B) 3 6 y 3 21 A) 9 2 y 9 7 24. En el siguiente triángulo rectángulo, si a = 6 y b = 8, entonces p^2 + q^2 + 2pq = a) 100 b) 196 c) 100 + 2pq d) 196 + 3pq e) Ninguna de ellas 25. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Entonces la altura hc mide: a) 1,2 cm b) 1,8 cm c) 2,4 cm d) 3,0 cm e) 3,6 cm 26. Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1: 2 y su hipotenusa es 10 m, entonces su área mide: 2 2 2 2 2 E) 5 3 m D) 5 5 m C) 4 5 m B) 10 3 m A) 20 m 27. El triángulo ABC es rectángulo en C. Entonces la medida de x es:
A )
B) 1
C) 5
D) 6,
E) Ninguna de las anteriores
28. En el triángulo ABC rectángulo en C, q = 4 cm y p = 12 cm. Entonces la medida del lado a es: a) 8 3 cm b) 8 cm c) 6 cm d) 4 cm e) Ninguna de las anteriores 29. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entonces la altura correspondiente a la hipotenusa mide:
cm
C )
cm
B )
cm
A )
D) 30 cm E) Ninguna de las anteriores
30. En un triángulo rectángulo en C, un cateto mide 8 cm y la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 12 cm. Entonces la medida de la proyección del primer cateto es: a) 6 cm b) 20 cm c) 4 cm d) 18 cm e) 16 cm Respuestas: 1 C , 2 A , 3 B , 4 B , 5 C , 6 E , 7 B , 8 B , 9 B , 10 D , 11 A , 12 C , 13 A , 14 A , 15 C , 16 A , 17 D , 18 A , 19 C , 20 C
1º: Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el lado BC: 2º: Aplicando la definición, calculamos seno : 3º: Aplicando la definición, calculamos coseno : 4º: Aplicando la definición, calculamos tangente : Ra zones trigonométricas rec íproca s para el ángulo Consideremos el triángulo ABC de la figura, rectángulo en C. Se definen las siguientes razones trigonométricas recíprocas, llamadas también cofunciones: Cosecante del ángulo : Secante del ángulo : Cotangente del ángulo : Algunas observa ciones acerca de las funciones trigonomé tricas fundame ntales Observación 1: las tres primeras funciones (seno, coseno y tangente) se llaman principales y las tres restantes (cosecante, secante y cotangente) son sus recíprocas. Es decir:
De donde: Observación 2: Si se cumplen las siguientes igualdades: Razones Trigonométricas de Ángulos Es pecia les Para algunos casos, es importante conocer los valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos que son muy comunes en su utilización. Entre ellos, destacan los de 30º, 45º y 60º. Razones trigonomé tricas de 45° Para determinar el valor de las razones trigonométricas de 45°, se utiliza un triángulo rectángulo isósceles. E n el triá ngulo de la figura:
- AC = AB = a
- = 45°
- BC = a , calculado por el teorema de Pitágoras. Entonces, aplicando las definiciones correspondientes:
cos 60° = = tg 60° = = Obsérvese que se verifica que: sen 30° = cos 60° cos 30° = sen 60° etc. Resumen de ra zones trigonométrica s de á ngulos especia les Razón /Ángulo 30° 45° 60° sen cos tg 1 Identida des Trigonomé tricas Son igualdades que se cumplen para un ángulo cualquiera. El listado de identidades fundamentales es:
Ejemplo: Si , entonces es igual a: Solución: Aplicando la identidad fundamental: Desde tiempos inmemoriales, la trigonometría ha tenido importantes aplicaciones. En este punto, veremos las más básicas. Resoluc ión de triángulos rec tá ngulos Resolver un triángulo implica determinar el valor de sus seis componentes: tres ángulos y tres lados. Procedemos de la siguiente forma: Conocidos un lado y un ángulo Si se conoce uno de los ángulos agudos, y uno de los lados, podemos determinar el otro ángulo agudo como el complemento del ángulo conocido (ambos suman 90°). El largo de los otros dos lados se determina mediante ecuaciones que involucran las razones trigonométricas apropiadas. [ Ver Ejemplo ] Ejemplo: En el triángulo de la figura, rectángulo en C, calcule lado x, si cos 28° = 0,883. Solución: En la figura, se conoce la hipotenusa (50) y se pide calcular x, que es el cateto adyacente al ángulo de 28°. La razón trigonométrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es el coseno. Aplicando la definición de coseno: cos 28° = Despejando x: x = 50 cos 28° x = 50 0, x = 44,15 cm. Conocidos dos lados Si se conoce el largo de dos lados, el tercero se determina usando el teorema de Pitágoras. Los dos ángulos agudos se determinan mediante ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas apropiadas.
