¡Descarga Práctica 5: Modelos de Probabilidad con R - Binomial y más Ejercicios en PDF de Estadística Aplicada solo en Docsity!
SESSIÓ PRÀCTICA 5 – MODELS DE
PROBABILITAT
L'objectiu principal d'aquesta pràctica és:
- Veure les distribucions o models de probabilitat més importants –binomial, Poisson, normal.
- Resoldre problemes clàssics de variable aleatòria amb l’ajut de R.
- La distribució normal i les seves propietats, a partir de la generació de valors aleatoris.
El model Binomial
Recordeu que una llei binomial B(n;) és una v.a. discreta i que les probabilitats es calculen:
P [ X = k ]=
n
k )
π k ( 1 − π ) n − k , per k=0,1,...,n Per veure les possibilitats de treball que tenim amb l’R-Commander ho exemplificarem amb la distribució o model Binomial. Aneu al menú: Distribucions Ø Distr. discretes Ø Distr. Binomial Podem veure que ens ofereix diferents possibilitats: Quantils binomials Probabilitats binomials acumulades Probabilitats binomials Traça una distribució binomial Mostra d’una distribució binomial Aquest serà el menú que se’ns oferirà habitualment per a una distribució discreta. En les contínues el càlcul de probabilitats està unificat. Suposem que tenim un problema de model Binomial on se’ns informa que els paràmetres són n=10 i =0.70 i ens demanen: 1.- Representeu gràficament les probabilitats d’aquest model P(X = k). 2.- Calculeu la probabilitat de tenir exactament 8 èxits[P(X = 8) = 0.23347] 3.- Representeu gràficament la probabilitat acumulada d’aquest model P(X ≤ k). 4.- Calculeu la probabilitat de tenir com a màxim 8 èxits. [P(X ≤ 8) = 0.85069] 5.- Calculeu la probabilitat de tenir més de 8 èxits. [P(X > 8) = 0.14931] 6.- Calculeu per a quants èxits tindré acumulada el 80% de la probabilitat. [8] En el primer i tercer apartats ens demanen la representació de la probabilitat per a cada valor discret i la representació de la probabilitat acumulada a cada valor.
NOTA: Cada vegada que vulguem el gràfic en una finestra nova haureu d’anar a la finestra d’instruccions escriure windows() i executar-ho. Si no, el gràfic nou es sobre-escriurà en la finestra gràfica activa. Per a obtenir les gràfiques de les probabilitats, tant puntuals com acumulades, anem al menú: Distribucions Ø Distr. discretes Ø Distr. BinomialØ Traça una distribució binomial Indiquem quin és el nombre d’assaigs binomials (n=10) i quina és la probabilitat d’èxit (=0.7) i deixem activada l’opció Gràfic de la funció de probabilitat, si volem veure les probabilitats P(X=k), o activem l’opció Gràfic de la funció de distribució, si volem veure les probabilitats acumulades P(X≤k). Fixeu-vos en el gràfic de les probabilitats de la B(n=10,=0.7). És simètrica? _____. Per què? ___________________________________. Quina és la moda d'aquestes dades? ______. Per què?______________________________. Quina és la probabilitat aproximada de tenir 5 èxits? P(X=5)= _______. Dibuixeu ara el gràfic de les probabilitats acumulades de la B(n=10,=0.7). Quina forma té?___________________. És coherent el gràfic amb el fet de ser una distribució discreta? __________________________. Per què? _________________. Quina és la probabilitat aproximada de tenir fins a 5 èxits? P(X5)= _______. Aproximadament a quants èxits hem acumulat una probabilitat del 15%? P(X____)=0.15. En el segon apartat del problema ens demanen el càlcul directe d’una probabilitat. Anem al menú Distribucions Ø Distr. discretes Ø Distr. BinomialØ Probabilitats binomials Indiquem els valors d’n=10 i de =0. Escrivim la comanda windows() Cliquem a Executar Indiquem els valors d’n=10 i de =0.
Distribucions Ø Distr. discretes Ø Distr. BinomialØ Quantils binomials Indiquem primer de tot que volem acumular fins a un 80% de la probabilitat. A continuació indiquem quin és el nombre de d’assaigs binomials (n=10) i quina és la probabilitat d’èxit (=0.7) i deixem activada l’opció Cua a l’esquerra, ja que volem que la P(X valor )=0.80. Finalment cliquem d’acord. A la finestra de resultats ens sortirà el resultat. A quin valor tinc acumulats el 80% dels casos? _______. Si ens fixem en l’apartat anterior, la probabilitat acumulada en el 8 era: P(X8)= 0.85069. Això és superior al 80%, però en les distribucions discretes la probabilitat s’acumula també discretament, amb salts, i aconseguir una probabilitat exacta és molt difícil. Podeu comprovar que en el 7 no arribo encara al 80% (P(X7)= 0.61722) però entre el 7 i el 8 no tinc cap més valor i passem d’una probabilitat acumulada del 61.72% al 85.07%. Amb R-Commander podem fer tots aquests càlculs amb la majoria de models de probabilitat. Ara bé, quan el model és de variable aleatòria contínua, com els models normal o exponencial, no hi ha el menú que calcula una probabilitat puntual ja que P(X=k)=0. La resta de menús (quantils, probabilitats acumulades, traça i mostra) es mantenen.
La llei Normal
Anem a generar 5000 valors aleatoris de diferents distribucions normals, per a diferents valors dels paràmetres i . Voldrem generar les distribucions: N(100,3) N(100,4) N(100,5) N(50,3) N(150,3) Per a generar la mostra de 5000 valors aleatoris provinents d’una N(100,3) a través del menú del R Commander farem: Distribucions Ø Distrib. contínues Ø Distrib. Normal Ø Mostra d’una distribució Normal Indiquem els valors de la probabilitat, n i Acumulem per l’esquerra
- A la primera casella escrivim N100.3 com a nom de la taula
- A la casella Mu(mitjana) escriurem 100 per indicar que el paràmetre =100.
- A la casella Sigma escriurem 3 per indicar el paràmetre =3.
- A la casella Nombre de mostres (files) escriurem 5000 perquè volem generar 5000 valors aleatoris.
- A la casella Nombre d’observacions (columnes) escriurem 1, perquè només volem 1 columna.
- Desactivem l’opció d’afegir la mitjana mostral.
- Acabeu amb D’acord. A l’arxiu Normal.RData hi ha el resultat de repetir un procés similar per a generar 5000 valors aleatoris per a la resta de lleis utilitzant els noms N100.4, N100.5, N50.3 i N150.3. Recuperem aquest arxiu: DadesØ Carrega taula de dades... Triem el fitxer Normals.RData. Tot seguit representarem simultàniament els histogrames de les 3 primeres mostres amb mateixa mitjana però diferent desviació tipus, és a dir N(100,3), N(100,4) i N(100,5). Ho farem a partir de les següents comandes que podeu copiar i executar: par(mfrow=c(1,3)) #ens divideix la finestra gràfica en tres columnes hist(Normals$N100.3,breaks=seq(65,135,length=71),ylim=c(0,1300),main="norm(100,3)", col="green") hist(Normals$N100.4,breaks=seq(65,135,length=71),ylim=c(0,1300),main="norm(100,4)", col="orange") hist(Normals$N100.5,breaks=seq(65,135,length=71),ylim=c(0,1300),main="norm(100,5)", col="red") par(mfrow=c(1,1)) #recuperem les opcions per defecte de la finestra gràfica De forma aproximada, en quins valors estan centrats els histogrames? ________ ______________ Amb quin dels dos valors del paràmetres de la llei normal es corresponen? ____________________________________________________. Els histogrames presenten aproximadament la mateixa variabilitat al voltant de la mitjana? ______ Per què?_________________________________________. Quin paràmetre de la llei normal regula la variabilitat de les dades? _________. Tot seguit representarem simultàniament els histogrames de les 3 variables amb diferent mitjana però igual desviació tipus, és a dir N(100,3), N(50,3) i N(150,3). Com que els tres histogrames estan prou diferenciats, els representarem sobre un mateix eix nom = N100. Desactivem mitjanes mitjana = 100 i desviació = 3 5000 fileres i 1 columna
Dades Ø Modifica variables de la taula de dades activa Ø Calcula una nova variable... On el nom de la nova variable serà resta i l’expressió a calcular N100.3 - N100. Podeu comprovar que ha creat una nova variable mitjançant la finestra de missatges o visualitzant les dades. Ara posarà NOTA: La taula de dades Normals té 5000 fileres i 7 columnes. Comproveu amb un histograma que els valors de la variable resta segueixen una normal. Gràfics Ø Histograma... Comproveu que, aproximadament, la mitjana de resta és 0 i la desviació tipus 5. Estadístics Ø Resums Ø Resums numèrics... 3) Suma d’una constant Sumeu 100 a la variable N100.4 , guardeu els resultats a la variable suma100 : Dades Ø Modifica variables de la taula de dades activa Ø Calcula una nova variable... On el nom de la nova variable serà suma100 i l’expressió a calcular 100 + N100. Podeu comprovar que ha creat una nova variable mitjançant la finestra de missatges o visualitzant les dades. Ara posarà NOTA: La taula de dades Normals té 5000 fileres i 8 columnes. Comproveu amb un histograma que els valors de la variable suma100 segueixen una normal. Gràfics Ø Histograma... Comproveu que, aproximadament, la mitjana de suma100 és 200 i la desviació tipus 4. 4) Multiplicació d’una constant Multipliqueu per 2 la variable N100.4 , guardeu els resultats a la variable per2 : Dades Ø Modifica variables de la taula de dades activa Ø Calcula una nova variable... On el nom de la nova variable serà per2 i l’expressió a calcular 2 * N100. Podeu comprovar que ha creat una nova variable mitjançant la finestra de missatges o visualitzant les dades. Ara posarà NOTA: La taula de dades Normals té 5000 fileres i 9 columnes. Comproveu amb un histograma que els valors de la variable per2 segueixen una normal. Gràfics Ø Histograma... Comproveu que, aproximadament, la mitjana de per2 és 200 i la desviació tipus 8.
