¡Descarga Rectas y Planos en Rn y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE BOGOT ´A
ALGEBRA LINEAL
SEGUNDO SEMESTRE DE 2019
TALLER 6
Profesor: Brayan Cabra
RECTAS Y PLANOS EN R
n
EJERCICIOS
- En los siguientes problemas encuentre una ecuaci´on vectorial, las ecuaciones param´etricas
y las ecuaciones sim´etricas de la recta indicada.
(a) Contiene a (2, 1 , 3) y (1, 2 , −1)
(b) Contiene a (− 1 , − 2 , 5) y es paralela al vector v = − 3
j + 7
k
(c) Contiene a (− 2 , 3 , 7) y es ortogonal al vector v = 3
j
(d) Contiene a (4, 1 , −6) y es paralela a la recta
x − 2
y + 1
z − 5
- Sea L 1 la recta dada por las ecuaciones sim´etricas:
x 1
− a 1
u 1
x 2
− a 2
u 2
x n
− a n
u n
y sea L 2
la recta dada por las ecuaciones sim´etricas:
x 1
− a 1
v 1
x 2
− a 2
v 2
x n
− a n
vn
Demuestre que L 1 es ortogonal a L 2 si y s´olo si u 1 v 1 + u 2 v 2 + · · · + unvn = 0.
- Demuestre que las rectas
L
1
x − 1
y + 3
z + 3
y L 2
x − 3
y − 1
z − 8
son ortogonales.
- Demuestre que las rectas
L
1
x = 1 + t
y = −3 + 2t
z = − 2 − t
y L 2
x = 17 + 3s
y = 4 + s
z = − 8 − s
tienen en com´un el punto (2, − 1 , −3).
Observaci´on: Las rectas en R
n para n ≥ 3 que no son paralelas, no necesariamente tienen un
punto en com´un. Este es el caso en que las dos rectas pertenezcan a planos paralelos distintos
y tengan direcciones distintas. Dos rectas que satisfagan esto se dicen alabeadas.
A continuaci´on se ilustra esto con dos rectas s y r en planos paralelos distintos de R
3 :
- Demuestre que las rectas
L 1 :
x = 2 − t
y = 1 + t
z = − 2 t
y L 2 :
x = 1 + s
y = − 2 s
z = 3 + 2s
son alabeadas.
- Sea L una recta dada por la ecuaci´on vectorial
OP =
OP
0
- tv. Encuentre un n´umero t tal
que
OP sea ortogonal a v.
- Utilice el resultado del problema anterior para encontrar la distacia entre el origen y la recta
L que contiene a P y es paralela a v.
(a) P (2, 1 , −4); v =
i +
j +
k
(b) P (1, 2 , −3); v = 3
i −
j −
k
(c) P (− 1 , 4 , 2); v = −
i +
j + 2
k
- En los siguientes problemas encuentre una recta L ortogonal a las dos rectas dadas y que
pase a trav´es del punto dado.
(a)
x + 2
y − 1
z
x − 3
y + 2
z − 8
(b)
x + 1
y − 2
z + 1
x − 1
y + 2
z + 3
(c) x = 4 + 10t, y = − 4 − 8 t, z = 3 + 7t; x = − 2 t, y = 1 + 4t, z = − 7 − 3 t; (4, 6 , 0)
- Calcule la distancia entre las rectas
L
1
x − 2
y − 5
z − 1
y L 2
x − 4
y − 5
z + 2
[Sugerencia: La distancia se mide a lo largo del vector v que es perpendicular a L 1
y a L 2
Sea P un punto en L 1
y Q un punto en L 2
. Entonces la longitud de la proyecci´on de
P Q sobre
v es la distancia entre ellas, medida a lo largo del vector que es perpendicular a ambas.]
Demuestre que la distancia (perpendicular) D entre el punto Q y el plano Π est´a dada por la
f´ormula:
D = ||proy N
P Q|| =
P Q · N|
‖N‖
- En los siguientes problemas encontrar la distancia del punto al plano dados.
(a) (4, 0 , 1); 2x − y + 8z = 3 (b) (− 7 , − 2 , −1); − 2 x + 8z = − 5
- Demuestre que la distancia entre el plano ax + by + cz = d y el punto (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R
3 est´a
dada por:
D =
|ax 0
− d|
a
2
2
2
Definici´on: El ´angulo entre dos planos se defne como el ´angulo agudo formado por sus
vectores normales.
- En los siguientes problemas halle el valor del ´angulo entre los dos planos.
(a) (4, 0 , 1); 2x − y + 8z = 3 (b) (− 7 , − 2 , −1); − 2 x + 8z = − 5
- Sean u y v dos vectores no paralelos diferetes de cero en un plano Π. Demuestre que si w
es cualquier otro vector en Π, entonces existen escalares α y β tales que w = αu + βv. Esto se
denomina representaci´on param´etrica del plano Π.
[Sugerencia: Dibuje un paralelogramo en el que αu y βv formen lados adyacentes y el vector
diagonal sea w.]
Definici´on: Tres vectores u, v y w se llaman coplanares si est´an en el mismo plano Π.
- Demuestre que si u, v y w tienen cola en el origen, entonces son coplanares si y s´olo si el
triple producto escalar es igual a cero, es decir, si u · (v × w) = 0.
- En los siguientes problemas diga si los tres vectores de posici´on dados (es decir, con cola
en el origen) son coplanares. Si son coplanares, encuentre la ecuaci´on del plano que los contiene.
(a) u = 2
i − 3
j + 4
k; v = 7
i − 2
j + 3
k; w = 9
i − 5
j + 7
k
(b) u = − 3
i +
j + 8
k; v = − 2
i − 3
j + 5
k; w = 2
i + 14
j − 4
k
(c) u = 3
i − 2
j +
k; v =
i +
j − 5
k; w = −
i + 5
j − 16
k
