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Ajuste de redes de nivelación

por la metodología de

mínimos cuadrados

Por: Ing. & Top. José Alipio Sullca Llerena

Agenda

• Red altimétrica
  • Exigencias
• Métodos de ajuste
• Algoritmo de mínimos cuadrados
  • Método paramétrico
  • Ecuaciones de condición
• Ejercicio paso a paso

Red de nivelación Nacional

• No existe una superficie única equipotencial debido

a multiplicidad (diferentes puntos de referencia).

• Números geopotenciales
• Establecimiento de niveles reales
• La superficie de referencia en sistemas existentes

no están situados sobre el mismo nivel difiriendo

por varios factores

• Temperatura.
• Cambios en el tiempo
• Topografía

Red geodésica vertical nacional

• Tiene como superficie de referencia el nivel

medio del mar, conformado por marcas de cota

fija (MCF) o bench mark (BM) distribuidos dentro

del ámbito del territorio nacional (Instituto

Geográfico Nacional, 2023)

Exigencias

• Para las miras se deberán utilizar estacas metálicas o placas de apoyo.
• La distancia máxima entre el nivel y la mira no deberá de exceder de 100

metros procurando en lo posible que el nivel tenga una separación máxima del

Exigencias

• La metodología de la nivelación deberá ser compuesta cerrada sobre el

circuito.

• El trabajo de nivelación no deberá exceder 4 horas continuas de duración.
• Las lecturas sobre las miras no debe de ser menos de 0,500 metros sobre la

superficie.

• El error de cierre de la nivelación no deberá exceder a la tolerancia.

Métodos de ajuste

• Determina la condición que de debe de cumplir en un conjunto de observaciones.
• Las observaciones en topografía son distancias y ángulos.
• Las observaciones se deben de considerar como una observación corregida. E = estimador O = observación r = residuo

Mínimos cuadrados

• Determina la condición que de debe de

cumplir los residuos de un conjunto de

observaciones.

• Reduce a un MINIMO los residuos.
• Satisface las propiedades de las

observaciones.

MC

Mínimos cuadrados (método paramétrico)

• Tenemos 4 observaciones de la distancia

“d”:

ଵ ଶ ଷ ସ ଵ ଵ ଵ ଵ ଶ ଶ ଶ ଶ ଷ ଷ ଷ ଵ ସ ସ ସ ସ

En forma general

Vector de Infografía creado por freepik - www.freepik.es ଵ ଶ ଷ ସ ଵ ଶ ଷ ସ

N=

்

P = matriz identidad

t=

்

x=

ି ଵ

t

Mínimos cuadrados (método de ecuaciones de condición)

• Método general de r ecuaciones y n

residuos.

• Desplazar todos los términos a la parte

izquierda y sumamos los n residuos.

• Estos términos son multiplicadores de

LAGRANGE.

• Derivamos parcialmente la expresión como

tantas observaciones tengamos

Ejercicio paso a paso

• Se tiene BN = 3357,894 m.s.n.m.m a través

de la red se establecen las BN: A, B, C y D.

Se hacen las observaciones con las

variaciones en los itinerarios mostrados

cumpliendo con la tolerancia exigida.

஺ି஻ே ஽ି஻ே ஼ି஻ே ஻ି஺ ஼ି஺ ஼ ି ஻

método de ecuaciones de condición

஺ି஻ே ଵ ஽ି஻ே ଶ ஼ି஻ே ଷ ஻ି஺ ସ ஼ି஺ ହ ஼ି஻ ଺ ஽ି஼ ଻

BN = 3357,

௡ୀ ଷ଻଼ .ସ଺ଵି஺ మା ଷ଼ଷ .଺଼ଷି஽ మା ଷ଻଼ .ହ଺଺ି஼ మା ହ.ଽଷସି஻ା ஺ మା ି଺ .଻଺ସି஼ మା ି଼ .଴ଵ଺ି஼ା஻ మା ଵ଴.ହ଺ସି஽ మ ଶ ௡ ௜ୀଵ

método de ecuaciones de condición

−𝐶 + 2𝐷 = 394. 247 2𝐷 = 394.247 + 𝐶

 - 3𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 379. 

• −𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 13.95
• −𝐴 − 𝐵 + 4𝐶 − 𝐷 = 353. - 3𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 379. Reemplazamos “D” - −2𝐴 − 2𝐵 + 7𝐶 = 1100. - 21𝐴 − 7𝐵 − 7𝐶 = 2655. - 3𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 379. Eliminamos “C” - 𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −13.95 - 4𝐴 − 3𝐵 = 365.341 1 9𝐴 − 9𝐵 = 3755. - 4𝐴 − 3𝐵 = 365. - 1 9𝐴 − 9𝐵 = 3755. - −12𝐴 + 9𝐵 =-1096. Multiplicamos por -3 en la primera ecuación - 1 9𝐴 − 9𝐵 = 3755. - 7 𝐴 = 2659. - 𝐴 = - 𝐵𝑁 = 3357. - A = 3379. Cotas calculadas - 𝐵 = 3384. - 𝐶 = 3375. - 𝐷 = 3385. - 𝑣ଵ = −1. - 𝑣ଶ = −1. - 𝑣ଷ = 2. - 𝑣ସ = 1. - 𝑣ହ = −2. - 𝑣଺ = 1. - 𝑣଻ = 1.

método paramétrico

஺ି஻ே ଵ ஽ି஻ே ଶ ஼ି஻ே ଷ ஻ି஺ ସ ஼ି஺ ହ ஼ି஻ ଺ ஽ି஼ ଻

BN = 3357,

Llevaremos a la forma

Ax-L